Τι είναι η εφαπτομενική ταχύτητα;

Η εφαπτομενική ταχύτητα είναι η συνιστώσα της κίνησης κατά μήκος της άκρης ενός κύκλου που μετράται σε οποιαδήποτε αυθαίρετη στιγμή. Η εφαπτομενική ταχύτητα περιγράφει την κίνηση ενός αντικειμένου κατά μήκος της άκρης αυτού του κύκλου του οποίου η διεύθυνση σε οποιοδήποτε δεδομένο σημείο του κύκλου είναι πάντα κατά μήκος της εφαπτομένης σε αυτό το σημείο.

Η εφαπτομενική ταχύτητα μετριέται σε οποιοδήποτε σημείο εφάπτεται σε έναν περιστρεφόμενο τροχό. Έτσι, η γωνιακή ταχύτητα, ω, σχετίζεται με την εφαπτομενική ταχύτητα, Vt μέσω του τύπου:Vt =ω r. Εδώ το r είναι η ακτίνα του τροχού. Η εφαπτομενική ταχύτητα είναι η συνιστώσα της κίνησης κατά μήκος της άκρης ενός κύκλου που μετράται σε οποιαδήποτε αυθαίρετη στιγμή. Όπως υποδηλώνει το όνομα, η εφαπτομενική ταχύτητα περιγράφει την κίνηση ενός αντικειμένου κατά μήκος της άκρης αυτού του κύκλου του οποίου η διεύθυνση σε οποιοδήποτε δεδομένο σημείο του κύκλου είναι πάντα κατά μήκος της εφαπτομένης σε αυτό το σημείο.

Το άλμα από ένα λεωφορείο που κινείται είναι επικίνδυνο και έτσι η συνειδητή απόφαση να κάνετε το άλμα προκαλεί μια αίσθηση συγκίνησης. Το να πηδάς από την άκρη ενός στροβιλιζόμενου καρουζέλ είναι η 9χρονη εκδοχή του, εκτός κι αν έχεις έναν αδερφό που σου δίνει οικειοθελώς μια κλωτσιά τύπου This-is-Sparta και σε πετάει στη λήθη.

Εκτός από το να εκτροχιάζομαι συνήθως από ό,τι είναι σημαντικό και να μοιράζομαι άσκοπα αυτά που θεωρώ ως τραύματα που αλλάζουν τη ζωή μου, είχα επίσης περισσότερα από κάτι που είναι γνωστό ως εφαπτομενική ταχύτητα . Αχα! Γι' αυτό λοιπόν είναι αυτό το άρθρο!

Τι είναι η εφαπτομένη;

Μια εφαπτομένη είναι απλώς μια ευθεία που αγγίζει μια συνάρτηση σε ένα μόνο σημείο. Ο όρος συνάρτηση Εδώ χρησιμοποιείται για να ορίσει οποιαδήποτε μη γραμμική καμπύλη. Αντιπροσωπεύει μια εξίσωση - μια σχέση μεταξύ των συντεταγμένων "x" και "y" σε ένα δισδιάστατο γράφημα.

Για παράδειγμα, λάβετε υπόψη την καμπύλη με την οποία είμαστε περισσότερο εξοικειωμένοι - τον κύκλο του καλού. Ένας κύκλος ορίζεται από την εξίσωση . Αυτό σημαίνει ότι για μια σταθερή ακτίνα "r", συγκεκριμένες τιμές των "x" και "y" διαγράφουν ένα υπέροχο τόξο που μοιάζει με το τέλος ενός παιχνιδιού Snake συναντά το δικό του τέλος.

Οπτικοποίηση της ανίχνευσης ενός κύκλου με κέντρο την αρχή.

Ωστόσο, για λόγους απλότητας, σκόπιμα εξέτασα μια εξίσωση που περιγράφει έναν ορθόδοξο κύκλο του οποίου το κέντρο βρίσκεται στην αρχή — το σημείο αναφοράς ή οι συντεταγμένες (0,0), και όπου «r», η ακτίνα, είναι η απόσταση από το αρχή μέχρι την άκρη αυτού του κύκλου.

Όπως υποδηλώνει το όνομα, η εφαπτομενική ταχύτητα περιγράφει την κίνηση ενός αντικειμένου κατά μήκος της άκρης αυτού του κύκλου του οποίου η διεύθυνση σε οποιοδήποτε δεδομένο σημείο του κύκλου είναι πάντα κατά μήκος της εφαπτομένης σε αυτό το σημείο. Ωστόσο, η ιδέα δεν περιορίζεται μόνο σε ομοιόμορφη κυκλική κίνηση. ισχύει επίσης για όλες τις μη γραμμικές κινήσεις . Εάν ένα αντικείμενο κινείται από το σημείο Α στο σημείο Β μέσω μιας μη γραμμικής καμπύλης, τότε τα κόκκινα βέλη αντιπροσωπεύουν την εφαπτομενική ταχύτητα σε διάφορα σημεία αυτής της τροχιάς.

Ας μείνουμε στον κύκλο προς το παρόν.

Ο τύπος για την εφαπτομενική ταχύτητα

Αρχικά, υπολογίζουμε τη γωνιακή μετατόπιση, «q», η οποία είναι ο λόγος του μήκους του τόξου «s» που διαγράφει ένα αντικείμενο σε αυτόν τον κύκλο προς την ακτίνα του «r». Είναι το γωνιακό τμήμα κάτω από τη σκιά του τόξου, ανάμεσα στις δύο γραμμές που προέρχονται από το κέντρο και συνδέονται με τα άκρα του. Μετριέται σε ακτίνια.

Ο ρυθμός μεταβολής της γωνιακής μετατόπισης ενός αντικειμένου ονομάζεται γωνιακή του ταχύτητα. Συμβολίζεται με «w» και η τυπική του μονάδα είναι ακτίνια/δευτερόλεπτο (rad/s). Διαφέρει από τη γραμμική ταχύτητα, καθώς ασχολείται μόνο με αντικείμενα που κινούνται σε κυκλική κίνηση. Βασικά, μετρά τον ρυθμό με τον οποίο σαρώνεται η γωνιακή μετατόπιση.

Παραγωγή γραμμικής ή εφαπτομενικής ταχύτητας σε ομοιόμορφη κυκλική κίνηση.

Η γραμμική συνιστώσα της γωνιακής ταχύτητας είναι γνωστή ως γραμμική ταχύτητα, η οποία είναι ο ρυθμός μεταβολής της γραμμικής ενός αντικειμένου μετατόπιση. Η γραμμική μετατόπιση είναι το τόξο «s» που αναφέρθηκε παραπάνω - το μήκος του τόξου. Ο ρυθμός μεταβολής του γινομένου της ακτίνας «r» και της γωνιακής μετατόπισης «q» είναι η γραμμική ταχύτητα του αντικειμένου. Η ακτίνα εξαιρείται από τη λειτουργία, καθώς είναι σταθερή. Αντιλαμβανόμαστε ότι η ταχύτητα είναι το γινόμενο της γωνιακής ταχύτητας του αντικειμένου και της ακτίνας του κύκλου που διαγράφει.

Η γραμμική ταχύτητα ενός αντικειμένου Η κίνηση σε κύκλο, μετρημένη σε μια αυθαίρετη στιγμή, είναι η ίδια η εφαπτομενική του ταχύτητα!

Ένας άλλος τρόπος ορισμού της γραμμικής ταχύτητας είναι η χρονική περίοδος. Εάν η χρονική περίοδος είναι ο χρόνος που απαιτείται από ένα αντικείμενο για να γυρίσει τον κύκλο μία φορά, τότε η ταχύτητα με την οποία το κάνει είναι «s/t» (απόσταση/χρόνος).

Σύνδεση μεταξύ γραμμικής ή εφαπτομενικής ταχύτητας 'v' και χρονικής περιόδου 'T'.

Το αντίστροφο του «Τ» είναι γνωστό ως συχνότητα και συμβολίζεται με «f». Αυτός είναι ο αριθμός των κύκλων που επιτυγχάνονται ανά δευτερόλεπτο. Το γινόμενο του 2pf είναι γνωστό ως γωνιακή συχνότητα και συμβολίζεται με «w», το οποίο μας βοηθά να φτάσουμε στο προηγούμενο αποτέλεσμα.

Το Cross-Product

Είναι επιτακτική ανάγκη να γνωρίζουμε ότι η εφαπτομενική ταχύτητα είναι διάνυσμα, δηλαδή έχει και μέγεθος και κατεύθυνση. Τα διανύσματα υποδεικνύονται με ένα βέλος πάνω από το τυπικό τους σύμβολο. Αν και η κατεύθυνσή τους αλλάζει συνεχώς, η συνολική τους αξία παραμένει η ίδια. Κάθε διάνυσμα είναι ένας σταυρός ή το διανυσματικό γινόμενο δύο διανυσμάτων, που είναι ο πολλαπλασιασμός των μεγεθών τους και το ημίτονο της μεταξύ τους γωνίας. Το διάνυσμα που προκύπτει έχει διεύθυνση κάθετη και στα δύο εμπλεκόμενα διανύσματα.

Γιατί η τιμή της εφαπτομενικής ταχύτητας είναι αδιάφορη για τη συνεχώς μεταβαλλόμενη κατεύθυνση και τις εφαπτομενικές ταχύτητες με το ίδιο μέγεθος αλλά διαφορετικές κατευθύνσεις σε αυθαίρετα άκρα ενός κύκλου.

Τα δύο διανύσματα των οποίων το γινόμενο απαιτούμε είναι η ακτίνα «r» και η γωνιακή ταχύτητα «w». Ο κανόνας του δεξιού χεριού λέει ότι εάν κρατάτε τον άξονα με το δεξί σας χέρι και περιστρέψτε τα δάχτυλα προς την κατεύθυνση της κίνησης του περιστρεφόμενου σώματος, τότε ο αντίχειράς σας θα δείχνει προς την κατεύθυνση της γωνιακής ταχύτητας, υπονοεί ξεκάθαρα ότι και Οι είναι κάθετες μεταξύ τους. Και καθώς το ημίτονο του 90 είναι ένα, το προκύπτον κάθετο διάνυσμα από αυτές τις ποσότητες σε οποιοδήποτε σημείο επί ο κύκλος θα παραμένει πάντα ο ίδιος.

Είναι ενδιαφέρον ότι τα αντικείμενα μέσα ή πάνω στον κύκλο έχουν την ίδια γωνιακή ταχύτητα, αλλά διαφορετικές εφαπτομενικές ταχύτητες. Αυτό οφείλεται στην εξάρτησή του από την ακτίνα, όπως φαίνεται στον τύπο του. Ως εκ τούτου, οι άνθρωποι στο χείλος ενός γρίφου θα πετούσαν με μεγαλύτερες ταχύτητες από εκείνους που κάθονταν πιο βαθιά σε αυτό.

Γιατί τα αντικείμενα αποκτούν μεγαλύτερες γραμμικές ταχύτητες καθώς απομακρύνονται από το κέντρο ενός κύκλου.

Σημασία της εφαπτομενικής ταχύτητας

Η εφαπτομενική ταχύτητα μπορεί να παρατηρηθεί σε πολλές περιπτώσεις, συμπεριλαμβανομένης οποιασδήποτε μη γραμμικής κίνησης, όπως το απότομο άλμα από μια ταλάντευση ή η απόκλιση ενός δορυφόρου ή της ίδιας της Γης από την κυκλική τροχιά της. Η κυκλική κίνηση ενός δορυφόρου ή της Γης μας συμβαίνει σε απόκρυφο ζώνη όπου η κεντρομόλος δύναμη που το έλκει προς τα μέσα αντισταθμίζεται από τη γραμμική ταχύτητα που το ωθεί ευθεία προς τα εμπρός.

Η Γη μεγεθύνεται στο διάστημα λόγω της γραμμικής ή της εφαπτομενικής ταχύτητάς της.

Ωστόσο, όταν η Γη ή ο Ήλιος εξαφανιστεί ξαφνικά, σπάμε τον κύκλο μας και πεταχτούμε αμέσως στο διάστημα λόγω της γραμμικής μας ταχύτητας. Η κίνηση χαράζει μια ευθεία γραμμή μέσα από ένα σημείο στο χώρο και το χρόνο που σηματοδοτεί την άμεση στιγμή όπου εξαφανίστηκε η έλξη της βαρύτητας – μια εφαπτομένη.