Αποδείξτε ότι η κίνηση σε έναν εκτοπισμένο u-tube είναι Asimple Harmonic Motion;
1. Ρύθμιση του συστήματος
* u-tube: Φανταστείτε έναν σωλήνα σχήματος U γεμάτο με υγρό (όπως το νερό).
* μετατόπιση: Μετατοπίζουμε το επίπεδο υγρού σε ένα χέρι του σωλήνα κατά ένα μικρό ποσό (ας καλέσουμε αυτήν την μετατόπιση "x").
2. Οι δυνάμεις εμπλέκονται
* βαρύτητα: Η κύρια δύναμη που δρουν στο υγρό είναι η βαρύτητα. Όταν το υγρό μετατοπίζεται, το βάρος της υγρής στήλης στον υψηλότερο βραχίονα δημιουργεί μια προς τα κάτω δύναμη.
* Διαφορά πίεσης: Η μετατόπιση δημιουργεί μια διαφορά πίεσης μεταξύ των δύο βραχιόνων του σωλήνα. Αυτή η διαφορά πίεσης είναι αυτό που οδηγεί το υγρό πίσω προς την ισορροπία.
3. Απαραγωγή της εξίσωσης κίνησης
* Διαφορά πίεσης: Η διαφορά πίεσης μεταξύ των δύο βραχιόνων είναι ανάλογη με τη διαφορά ύψους, η οποία σχετίζεται άμεσα με την μετατόπιση "x". Μπορούμε να το γράψουμε ως:
* ΔΡ =ρGH, πού:
* ρ είναι η πυκνότητα του υγρού
* Το G είναι η επιτάχυνση λόγω βαρύτητας
* H είναι η διαφορά ύψους (η οποία είναι περίπου ίση με την μετατόπιση "x")
* Δύναμη αποκατάστασης: Αυτή η διαφορά πίεσης δρα στην περιοχή διατομής (α) του σωλήνα, δημιουργώντας μια δύναμη αποκατάστασης (F):
* F =ΔΡ * a =ρGHA
* Ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα: Εφαρμογή του δεύτερου νόμου του Νεύτωνα (F =MA), παίρνουμε:
* ρGHA =MA
* a =(ρGHA)/m
* Μάζα και περιοχή: Η μάζα της εκτοπισμένης υγρής στήλης είναι m =ρΑΑ, όπου το 'h' είναι το ύψος της υγρής στήλης σε ένα χέρι. Αντικαθιστώντας αυτό στην παραπάνω εξίσωση, παίρνουμε:
* a =(ρGHA) / (ρΑΗ) =g * (h / h) =g
* Επομένως, η επιτάχυνση είναι άμεσα ανάλογη με την μετατόπιση (h) και δρα προς την αντίθετη κατεύθυνση (δύναμη αποκατάστασης).
4. Απλή αρμονική κίνηση
Η εξίσωση που προέκυψαμε (a =-g * h) είναι το καθοριστικό χαρακτηριστικό της απλής αρμονικής κίνησης (SHM). Στο SHM, η επιτάχυνση είναι άμεσα ανάλογη με την εκτόπιση και ενεργεί προς την αντίθετη κατεύθυνση.
5. Βασικά σημεία
* Μικρή μετατόπιση: Αυτή η ανάλυση αναλαμβάνει μια μικρή μετατόπιση. Εάν η μετατόπιση είναι πολύ μεγάλη, η διαφορά πίεσης δεν θα είναι πλέον γραμμικά ανάλογη προς την μετατόπιση και η κίνηση θα αποκλίνει από το SHM.
* Παραμέληση τριβής: Έχουμε παραμελήσει τις δυνάμεις τριβής (ιξώδες του υγρού, αντίσταση από τους τοίχους του σωλήνα) για απλότητα. Σε σενάρια πραγματικού κόσμου, αυτές οι δυνάμεις θα προκαλέσουν απόσβεση, οδηγώντας σε σταδιακή μείωση του εύρους των ταλαντώσεων.
Συμπερασματικά: Η κίνηση του υγρού σε έναν μετατοπισμένο σωλήνα U είναι περίπου απλή αρμονική κίνηση λόγω της δύναμης αποκατάστασης που δημιουργείται από τη διαφορά πίεσης, η οποία είναι άμεσα ανάλογη προς την μετατόπιση και ενεργεί προς την αντίθετη κατεύθυνση.
