Στιγμή αδράνειας Μια σφαίρα Πώς το αποδεικνύετε χρησιμοποιώντας τον Λογισμό όπως στην απόκτηση της πυκνότητας εξίσωσης και της μάζας είναι ομοιόμορφη;
1. Ρύθμιση του προβλήματος
* σφαίρα: Θα εξετάσουμε μια σφαίρα ακτίνας *r *και ομοιόμορφη πυκνότητα *ρ *.
* Άξονας περιστροφής: Θα επιλέξουμε έναν άξονα περιστροφής που περνά μέσα από το κέντρο της σφαίρας.
* Στιγμή αδράνειας: Η στιγμή της αδράνειας (i) της σφαίρας είναι το άθροισμα των στιγμών της αδράνειας όλων των απεριόριστων στοιχείων μάζας (DM) που αποτελούν τη σφαίρα.
2. Ορισμός του Infinitesimal Mass Element (DM)
*Φανταστείτε να διαιρέσετε τη σφαίρα σε λεπτά σφαιρικά κελύφη ακτίνας *r *και πάχος *dr *.
*Ο όγκος κάθε κελύφους είναι περίπου *4πr² dr *.
*Η μάζα κάθε κελύφους είναι *dm =ρ (4πr² dr) *.
3. Στιγμή αδράνειας ενός ενιαίου κελύφους
*Η στιγμή της αδράνειας (DI) ενός μόνο κελύφους γύρω από τον άξονα περιστροφής είναι *di =(dm) r² *.
*Αντικαθιστώντας την έκφραση για *dm *:*di =ρ (4πr² dr) r² =4πρρ. Dr *.
4. Ενσωμάτωση πάνω από τη σφαίρα
*Για να βρούμε τη συνολική στιγμή της αδράνειας (i) της σφαίρας, ενσωματώνουμε *di *από *r =0 *έως *r =r *:
* I =∫di =∫₀ᴿ 4πρρ.
5. Επίλυση του ολοκληρωμένου
* I =4πρ ∫₀ᴿ r⁴ dr =4πρ [r⁵/5] ₀ᴿ =(4πρρχ)/5
6. Σχετική μάζα και πυκνότητα
*Η συνολική μάζα (m) της σφαίρας είναι *m =ρ (4/3) πρ * *.
*Επίλυση για *ρ *δίνει *ρ =(3m)/(4πr³) *.
7. Τελικό αποτέλεσμα
* Αντικαθιστώντας την έκφραση για * ρ * στη στιγμή της αδράνειας:
* I =(4π ((3m)/(4πr³)) r⁵)/5
* i =(2/5) mr²
Ως εκ τούτου, η στιγμή της αδράνειας μιας στερεάς σφαίρας ομοιόμορφης πυκνότητας και μάζας γύρω από έναν άξονα που διέρχεται από το κέντρο του είναι (2/5) MR², όπου m είναι η μάζα και r είναι η ακτίνα.
