Όρια προβλεψιμότητας:Εξερευνώντας τη Θεωρία του Χάους και την Κβαντική Μηχανική

Ο Γάλλος λόγιος Pierre-Simon Laplace διατύπωσε ξεκάθαρα την προσδοκία του ότι το σύμπαν ήταν πλήρως γνωστό το 1814, υποστηρίζοντας ότι ένας αρκετά έξυπνος «δαίμονας» θα μπορούσε να προβλέψει ολόκληρο το μέλλον με πλήρη γνώση του παρόντος. Το σκεπτικό του πείραμα σηματοδότησε το απόγειο της αισιοδοξίας για το τι θα μπορούσαν να προβλέψουν οι φυσικοί. Από τότε, η πραγματικότητα έχει επανειλημμένα ταπεινώσει τις φιλοδοξίες τους να το καταλάβουν.

Ένα χτύπημα ήρθε στις αρχές του 1900 με την ανακάλυψη της κβαντικής μηχανικής. Όποτε τα κβαντικά σωματίδια δεν μετρώνται, κατοικούν σε ένα θεμελιωδώς ασαφές βασίλειο πιθανοτήτων. Δεν έχουν ακριβή θέση για να ξέρει ένας δαίμονας.

Ένα άλλο ήρθε αργότερα τον ίδιο αιώνα, όταν οι φυσικοί συνειδητοποίησαν πόσο πολύ «χαοτικά» συστήματα ενίσχυαν τις όποιες αβεβαιότητες. Ένας δαίμονας μπορεί να είναι σε θέση να προβλέψει τον καιρό σε 50 χρόνια, αλλά μόνο με άπειρη γνώση του παρόντος μέχρι κάθε χτύπο του φτερού κάθε πεταλούδας.

Τα τελευταία χρόνια, ένας τρίτος περιορισμός διεισδύει στη φυσική — κατά κάποιο τρόπο ο πιο δραματικός μέχρι σήμερα. Οι φυσικοί το βρήκαν σε συλλογές κβαντικών σωματιδίων, μαζί με κλασικά συστήματα όπως τα στροβιλιζόμενα ωκεάνια ρεύματα. Γνωστό ως αναποφασιστικότητα, ξεπερνά το χάος. Ακόμη και ένας δαίμονας με τέλεια γνώση της κατάστασης ενός συστήματος δεν θα ήταν σε θέση να κατανοήσει πλήρως το μέλλον του.

«Σας δίνω την άποψη του Θεού», είπε ο Toby Cubitt, ένας φυσικός που έγινε επιστήμονας υπολογιστών στο University College του Λονδίνου και μέλος της πρωτοπορίας του τρέχοντος φορτίου στο άγνωστο, και «ακόμα δεν μπορείτε να προβλέψετε τι πρόκειται να κάνει».

Η Εύα Μιράντα, μαθηματικός στο Πολυτεχνικό Πανεπιστήμιο της Καταλονίας (UPC) στην Ισπανία, αποκαλεί την αναποφασιστικότητα ως «χαοτικό πράγμα επόμενου επιπέδου».

Ο Pierre-Simon Laplace υπέθεσε ότι ένας παντογνώστης δαίμονας θα μπορούσε να προβλέψει τέλεια το μέλλον οποιουδήποτε φυσικού συστήματος. Έκανε λάθος.

Johann Ernst Heinsius/Wikimedia Commons

Η αναποφασιστικότητα σημαίνει ότι ορισμένες ερωτήσεις απλά δεν μπορούν να απαντηθούν. Είναι ένα άγνωστο μήνυμα για τους φυσικούς, αλλά είναι ένα μήνυμα που οι μαθηματικοί και οι επιστήμονες υπολογιστών γνωρίζουν καλά. Πριν από περισσότερο από έναν αιώνα, διαπίστωσαν αυστηρά ότι υπάρχουν μαθηματικά ερωτήματα που δεν μπορούν ποτέ να απαντηθούν, αληθινές δηλώσεις που δεν μπορούν ποτέ να αποδειχθούν. Τώρα οι φυσικοί συνδέουν αυτά τα άγνωστα μαθηματικά συστήματα με έναν αυξανόμενο αριθμό φυσικών και έτσι αρχίζουν να χαρτογραφούν τα σκληρά όρια της γνώσης και στον τομέα τους.

Αυτά τα παραδείγματα «θέτουν σημαντικούς περιορισμούς στο τι μπορούμε να καταλήξουμε εμείς οι άνθρωποι», είπε ο David Wolpert, ερευνητής στο Ινστιτούτο Santa Fe που μελετά τα όρια της γνώσης αλλά δεν συμμετείχε στην πρόσφατη εργασία. "Και είναι απαραβίαστα."

The Blackest of Boxes

Ένα εντυπωσιακό παράδειγμα άγνωστης γνώσης ήρθε στη φυσική το 1990 όταν ο Cris Moore, τότε μεταπτυχιακός φοιτητής στο Πανεπιστήμιο Cornell, σχεδίασε μια μη αποφασιστική μηχανή με ένα μόνο κινούμενο μέρος.

Η διαμόρφωσή του - η οποία ήταν καθαρά θεωρητική - έμοιαζε με ένα εξαιρετικά προσαρμόσιμο μηχάνημα φλίπερ. Φανταστείτε ένα κουτί, ανοιχτό στο κάτω μέρος. Ένας παίκτης γέμιζε το κουτί με προφυλακτήρες, μετακινούσε τον εκτοξευτή σε οποιαδήποτε θέση κατά μήκος του κάτω μέρους του κουτιού και έβαζε ένα φλίπερ στο εσωτερικό. Η κατασκευή ήταν σχετικά απλή. Αλλά καθώς η μπάλα έτρεχε τριγύρω, εκτελούσε κρυφά έναν υπολογισμό.

Ο Μουρ είχε γοητευτεί με τους υπολογισμούς αφού διάβασε τους Gödel, Escher, Bach , ένα βραβευμένο με Πούλιτζερ βιβλίο για συστήματα που αναφέρονται στον εαυτό τους. Το σύστημα που αιχμαλώτισε περισσότερο τη φαντασία του ήταν μια φανταστική συσκευή που είχε ξεκινήσει το πεδίο της επιστήμης των υπολογιστών, τη μηχανή Turing.

Καθορισμένη από τον μαθηματικό Άλαν Τούρινγκ σε ένα έγγραφο-ορόσημο του 1936, η μηχανή Τούρινγκ αποτελούνταν από μια κεφαλή που μπορούσε να κινηθεί πάνω-κάτω σε μια απείρως μεγάλη ταινία, διαβάζοντας και γράφοντας 0 και 1 σε μια σειρά βημάτων σύμφωνα με μια χούφτα απλούς κανόνες που της έλεγαν τι να κάνει. Μια μηχανή Turing, ακολουθώντας ένα σύνολο κανόνων, μπορεί να διαβάσει δύο αριθμούς και να εκτυπώσει το προϊόν της. Ένας άλλος, ακολουθώντας ένα διαφορετικό σύνολο κανόνων, μπορεί να διαβάσει έναν αριθμό και να τυπώσει την τετραγωνική του ρίζα. Με αυτόν τον τρόπο, μια μηχανή Turing θα μπορούσε να σχεδιαστεί για να εκτελεί οποιαδήποτε ακολουθία μαθηματικών και λογικών πράξεων. Σήμερα θα λέγαμε ότι μια μηχανή Turing εκτελεί έναν «αλγόριθμο» και πολλοί (αλλά όχι όλοι) φυσικοί θεωρούν ότι οι μηχανές Turing καθορίζουν τα ίδια τα όρια του υπολογισμού, είτε εκτελούνται από υπολογιστή, άνθρωπο ή δαίμονα.

Kristina Armitage/Quanta Magazine

Ο Μουρ αναγνώρισε τους σπόρους της συμπεριφοράς της μηχανής Turing στο θέμα των μεταπτυχιακών του σπουδών:το χάος. Σε ένα χαοτικό σύστημα, καμία λεπτομέρεια δεν είναι αρκετά μικρή για να αγνοηθεί. Η προσαρμογή της θέσης μιας πεταλούδας στη Βραζιλία κατά ένα χιλιοστό, σε μια διαβόητη μεταφορά, θα μπορούσε να σημαίνει τη διαφορά μεταξύ ενός τυφώνα που χτυπά το Τόκιο και ενός ανεμοστρόβιλου που διασχίζει το Τενεσί. Η αβεβαιότητα που ξεκινά ως σφάλμα στρογγυλοποίησης μεγαλώνει τελικά τόσο που κατακλύζει ολόκληρο τον υπολογισμό. Σε χαοτικά συστήματα, αυτή η ανάπτυξη μπορεί να αναπαρασταθεί ως κίνηση κατά μήκος ενός γραμμένου αριθμού:Η άγνοια στη θέση του ενός δέκατου απλώνεται αριστερά, τελικά μετακινείται κατά μήκος της υποδιαστολής για να γίνει άγνοια στη θέση των δεκάδων.

Ο Moore σχεδίασε το φλιπεράκι του για να ολοκληρώσει την αναλογία με τη μηχανή Turing. Η αρχική θέση του φλίπερ αντιπροσωπεύει τα δεδομένα στην ταινία που τροφοδοτείται στη μηχανή Turing. Είναι κρίσιμο (και μη ρεαλιστικό), ο παίκτης πρέπει να μπορεί να προσαρμόσει την αρχική θέση της μπάλας με άπειρη ακρίβεια, πράγμα που σημαίνει ότι ο καθορισμός της θέσης της μπάλας απαιτεί έναν αριθμό με μια ατελείωτη ακολουθία αριθμών μετά την υποδιαστολή. Μόνο σε έναν τέτοιο αριθμό θα μπορούσε ο Μουρ να κωδικοποιήσει τα δεδομένα μιας απείρως μεγάλης ταινίας Turing.

Στη συνέχεια, η διάταξη των προφυλακτήρων οδηγεί τη μπάλα σε νέες θέσεις με τρόπο που αντιστοιχεί στην ανάγνωση και τη γραφή σε κάποια ταινία της μηχανής Turing. Ορισμένοι καμπύλοι προφυλακτήρες μετατοπίζουν την ταινία προς μία κατεύθυνση, καθιστώντας τα δεδομένα που είναι αποθηκευμένα σε μακρινά δεκαδικά ψηφία πιο σημαντικά με τρόπο που θυμίζει χαοτικά συστήματα, ενώ οι αντίθετα καμπυλωτοί προφυλακτήρες κάνουν το αντίστροφο. Η έξοδος της μπάλας από το κάτω μέρος του κουτιού σηματοδοτεί το τέλος του υπολογισμού, με αποτέλεσμα την τελική θέση.

Ο Μουρ εξόπλισε τη διάταξη του φλίπερ με την ευελιξία ενός υπολογιστή - μια διάταξη προφυλακτήρων θα μπορούσε να υπολογίσει τα πρώτα χίλια ψηφία του pi και μια άλλη θα μπορούσε να υπολογίσει την καλύτερη επόμενη κίνηση σε μια παρτίδα σκάκι. Αλλά με αυτόν τον τρόπο, του εμφύσησε επίσης ένα χαρακτηριστικό που συνήθως δεν συνδέουμε με υπολογιστές:απρόβλεπτο.

Ορισμένοι αλγόριθμοι σταματούν, βγάζοντας ένα αποτέλεσμα. Άλλοι όμως τρέχουν για πάντα. (Σκεφτείτε ένα πρόγραμμα που έχει ως αποστολή την εκτύπωση του τελικού ψηφίου του pi.) Υπάρχει κάποια διαδικασία, ρώτησε ο Turing, που μπορεί να εξετάσει οποιοδήποτε πρόγραμμα και να καθορίσει εάν θα σταματήσει; Αυτή η ερώτηση έγινε γνωστή ως το πρόβλημα διακοπής.

Ο Τούρινγκ έδειξε ότι δεν υπάρχει τέτοια διαδικασία εξετάζοντας τι θα σήμαινε αν ίσχυε. Εάν ένα μηχάνημα μπορούσε να προβλέψει τη συμπεριφορά ενός άλλου, θα μπορούσατε εύκολα να τροποποιήσετε το πρώτο μηχάνημα - αυτό που προβλέπει τη συμπεριφορά - ώστε να λειτουργεί για πάντα όταν το άλλο μηχάνημα σταματά. Και το αντίστροφο:Σταματάει όταν το άλλο μηχάνημα λειτουργεί για πάντα. Στη συνέχεια - και εδώ είναι το συγκλονιστικό μέρος - ο Turing φαντάστηκε να τροφοδοτεί μια περιγραφή αυτής της τροποποιημένης μηχανής πρόβλεψης στον εαυτό του. Εάν το μηχάνημα σταματήσει, λειτουργεί επίσης για πάντα. Και αν τρέχει για πάντα, σταματάει επίσης. Δεδομένου ότι καμία επιλογή δεν θα μπορούσε να είναι, κατέληξε ο Turing, η ίδια η μηχανή πρόβλεψης δεν πρέπει να υπάρχει.

(Το εύρημα του συνδέθηκε στενά με ένα πρωτοποριακό αποτέλεσμα από το 1931, όταν ο λογικός Kurt Gödel ανέπτυξε έναν παρόμοιο τρόπο τροφοδοσίας ενός αυτοαναφορικού παραδόξου σε ένα αυστηρό μαθηματικό πλαίσιο. Ο Gödel απέδειξε ότι υπάρχουν μαθηματικές δηλώσεις των οποίων η αλήθεια δεν μπορεί να εξακριβωθεί.)

Εν ολίγοις, ο Turing απέδειξε ότι η επίλυση του προβλήματος διακοπής ήταν αδύνατη. Ο μόνος γενικός τρόπος για να μάθετε εάν ένας αλγόριθμος σταματά είναι να τον εκτελείτε όσο περισσότερο μπορείτε. Αν σταματήσει, έχετε την απάντησή σας. Αλλά αν δεν το κάνει, δεν θα μάθετε ποτέ αν λειτουργεί πραγματικά για πάντα ή αν θα είχε σταματήσει αν απλώς περιμένατε λίγο περισσότερο.

"Γνωρίζουμε ότι υπάρχουν αυτού του είδους οι αρχικές καταστάσεις που δεν μπορούμε να προβλέψουμε εκ των προτέρων τι πρόκειται να κάνει", είπε ο Wolpert.

Δεδομένου ότι ο Moore είχε σχεδιάσει το κουτί του για να μιμείται οποιαδήποτε μηχανή Turing, θα μπορούσε επίσης να συμπεριφέρεται με απρόβλεπτους τρόπους. Η έξοδος της μπάλας σηματοδοτεί το τέλος ενός υπολογισμού, επομένως το ερώτημα εάν κάποια συγκεκριμένη διάταξη των προφυλακτήρων θα παγιδεύσει την μπάλα ή θα την οδηγήσει στην έξοδο πρέπει επίσης να είναι αδιευκρίνιστη. «Πραγματικά, οποιαδήποτε ερώτηση σχετικά με τη μακροπρόθεσμη δυναμική αυτών των πιο περίτεχνων χαρτών είναι αναποφάσιστη», είπε ο Μουρ.

Ο Cris Moore ανέπτυξε ένα από τα παλαιότερα και απλούστερα φυσικά συστήματα που δεν μπορούν να αποφασιστούν.

Cressandra Thibodeaux

Το φλιπεράκι του Μουρ ξεπέρασε το συνηθισμένο χάος. Ένας προγνώστης ανεμοστρόβιλων δεν μπορεί να πει ακριβώς πού θα αγγίξει ένας ανεμοστρόβιλος για δύο λόγους:την άγνοια του προγνώστη για την ακριβή θέση κάθε πεταλούδας της Βραζιλίας και την περιορισμένη υπολογιστική ισχύ. Αλλά το φλιπεράκι του Μουρ παρουσίαζε μια πιο θεμελιώδη μορφή απρόβλεπτου. Ακόμη και για κάποιον με πλήρη γνώση της μηχανής και απεριόριστη υπολογιστική ισχύ, ορισμένα ερωτήματα σχετικά με την τύχη του παραμένουν αναπάντητα.

«Αυτό είναι λίγο πιο δραματικό», είπε ο David Pérez-García, μαθηματικός στο Πανεπιστήμιο Complutense της Μαδρίτης. "Ακόμη και με άπειρους πόρους, δεν μπορείτε καν να γράψετε το πρόγραμμα που λύνει το πρόβλημα."

Άλλοι ερευνητές έχουν καταλήξει στο παρελθόν σε συστήματα που λειτουργούν σαν μηχανές Turing - κυρίως πλέγματα σκακιέρας με τετράγωνα που τρεμοπαίζουν και σβήνουν ανάλογα με τα χρώματα των γειτόνων τους. Αλλά αυτά τα συστήματα ήταν αφηρημένα και περίπλοκα. Ο Μουρ κατασκεύασε μια μηχανή Turing από μια απλή συσκευή που θα μπορούσατε να φανταστείτε να κάθεστε σε ένα εργαστήριο. Ήταν μια ζωντανή απόδειξη ότι ένα σύστημα που δεν υπακούει σε τίποτα περισσότερο από τη φυσική του γυμνασίου θα μπορούσε να έχει απρόβλεπτο χαρακτήρα.

«Είναι λίγο σοκαριστικό που δεν μπορεί να αποφασιστεί», είπε ο Cubitt, ο οποίος έκανε διάλεξη για τη μηχανή του Moore αφού αιχμαλώτισε τη φαντασία του ως μεταπτυχιακός φοιτητής. "Είναι κυριολεκτικά ένα μόνο σωματίδιο που αναπηδά γύρω από ένα κουτί."

Αφού πήρε το διδακτορικό του στη φυσική, ο Cubitt μεταπήδησε στα μαθηματικά και την επιστήμη των υπολογιστών. Αλλά ποτέ δεν ξέχασε το φλιπεράκι και πώς η επιστήμη των υπολογιστών έθεσε όρια στη φυσική του μηχανήματος. Αναρωτήθηκε μήπως η αναποφασιστικότητα άγγιξε προβλήματα φυσικής που έχουν πραγματικά σημασία. Την τελευταία δεκαετία, ανακάλυψε ότι το κάνει.

Σύγχρονα Υλικά Μυστηρίου

Ο Cubitt έβαλε το ακαθόριστο σε μια πορεία σύγκρουσης με μεγάλα κβαντικά συστήματα το 2012.

Αυτός, ο Pérez-García και ο συνάδελφός τους Michael Wolf είχαν μαζευτεί για καφέ κατά τη διάρκεια μιας διάσκεψης στις αυστριακές Άλπεις για να συζητήσουν εάν ένα εξειδικευμένο πρόβλημα μπορεί να είναι αναπάντητο. Όταν ο Wolf πρότεινε να αφήσουν αυτό το πρόβλημα στην άκρη και αντ 'αυτού να αντιμετωπίσουν την αποφασιστικότητα ενός από τα μεγαλύτερα προβλήματα της κβαντικής φυσικής, ούτε καν υποψιαζόταν ότι θα μπορούσαν πραγματικά να πετύχουν.

"Ξεκίνησε ως αστείο. Μετά αρχίσαμε να φτιάχνουμε ιδέες", είπε ο Pérez-García.

Ο Wolf πρότεινε τη στόχευση μιας καθοριστικής ιδιότητας κάθε κβαντικού συστήματος που ονομάζεται φασματικό χάσμα, το οποίο αναφέρεται στο πόση ενέργεια χρειάζεται για να τιναχτεί ένα σύστημα από τη χαμηλότερη ενεργειακή του κατάσταση. Εάν χρειάζεται λίγη ώρα για να γίνει αυτό, ένα σύστημα έχει "κενό". Εάν μπορεί να ενθουσιαστεί ανά πάσα στιγμή, χωρίς καμία έγχυση ενέργειας, είναι «χωρίς κενό». Το φασματικό χάσμα καθορίζει το χρώμα που λάμπει από μια πινακίδα νέον, τι θα κάνει ένα υλικό όταν αφαιρέσετε όλη τη θερμότητα από αυτό και — σε διαφορετικό πλαίσιο — ποια πρέπει να είναι η μάζα του πρωτονίου. Σε πολλές περιπτώσεις, οι φυσικοί μπορούν να υπολογίσουν το φασματικό χάσμα για ένα συγκεκριμένο άτομο ή υλικό. Σε πολλές άλλες περιπτώσεις, δεν μπορούν. Ένα έπαθλο ενός εκατομμυρίου δολαρίων περιμένει όποιον μπορεί να αποδείξει αυστηρά από τις πρώτες αρχές ότι το πρωτόνιο πρέπει να έχει θετική μάζα.