Εφαρμογή του Θεωρήματος Poincare-Hopf

Στη μαθηματική κοινότητα, είναι γνωστό ότι δεν μπορείς να χτενίσεις έναν σκαντζόχοιρο χωρίς να αφήσεις κάποια φαλακρά σημεία. Είναι αξιοσημείωτο ότι αυτή η μάλλον ασήμαντη εικόνα οδηγεί στο θεμελιώδες θεώρημα του Poincare-Hopf. Αυτό το θεώρημα δηλώνει ότι υπάρχουν διάφοροι τύποι φαλακρών κηλίδων, που ονομάζονται ελαττώματα, προικισμένα με ένα τοπολογικό φορτίο το οποίο πρέπει πάντα να συνοψίζει το χαρακτηριστικό της χτενισμένης επιφάνειας.

Αυτό το χαρακτηριστικό κατηγοριοποιεί ξανά τις επιφάνειες, παραβλέποντας το ακριβές σχήμα τους, το σοβαρό κατά τον αριθμό των οπών και τη διάστασή τους. Για παράδειγμα, μια κούπα καφέ έχει μια τρύπα (τη λαβή) και, επομένως, είναι τοπολογικά πανομοιότυπη με ένα ντόνατ, με τα δύο να έχουν χαρακτηριστικό 0. Μια άλλη πολύ μεγάλη ομάδα σχημάτων είναι οι σφαίρες, συμπεριλαμβανομένου οποιουδήποτε σχήματος σε Ο τρισδιάστατος κόσμος μας που δεν περιέχει τρύπα, εδώ το χαρακτηριστικό είναι 2.

Φυσικά πειράματα παρατήρησαν διάφορα φυσικά συστήματα, π.χ. κρύσταλλοι που αναπτύσσονται σε ένα καμπύλο υπόστρωμα, οι οποίοι επηρεάζονται καθοριστικά από τα χαρακτηριστικά του τομέα τους. Οι φυσικοί επινόησαν τον όρο γεωμετρική απογοήτευση, περιγράφοντας ότι μια φυσική ευνοϊκή κατάσταση, π.χ. κανονική κρυσταλλική δομή, δεν μπορούσε να διαδοθεί σε ολόκληρο το σύστημα οδηγώντας σε εντοπισμένες δυσμενείς καταστάσεις, π.χ. ένα ελάττωμα στην κατά τα άλλα κανονική κρυσταλλική δομή. Σε αυτά τα φυσικά ελαττώματα, μπορούν επίσης να εφαρμοστούν οι έννοιες του θεωρήματος Poincare Hopf.

Η έρευνα σχετικά με τις αλληλεπιδράσεις της φυσικής και τις γεωμετρικές ιδιότητες του τομέα έχει λάβει νέα προσοχή από το ακμάζον πεδίο της βιολογικής εφαρμοσμένης φυσικής. Για παράδειγμα, σε πολλές βιολογικές δομές, οι μεταβολικές διεργασίες ελέγχονται από τη μεμβράνη ενθυλάκωσης. Σε ένα κύτταρο θηλαστικού, τα διαμερίσματα αποθήκευσης και μεταφοράς, που ονομάζονται κυστίδια, καλύπτονται από ένα γαλάκτωμα που αποτελείται από σωματίδια που μοιάζουν με ράβδο. Αυτά τα σωματίδια τείνουν να ευθυγραμμίζονται παράλληλα, αλλά λόγω των γεωμετρικών περιορισμών του εξαιρετικά ακανόνιστου αλλά όμως σχήματος τους σαν σφαίρα, δεν μπορούν να εκφράσουν τέτοια τάξη σε ολόκληρη την επιφάνεια και προκύπτουν ελαττώματα. Η διερεύνηση της διαδικασίας δημιουργίας και διάσπασης τέτοιων κυστιδίων δείχνει ότι οι θέσεις ελαττωμάτων στην επιφάνεια του κυστιδίου είναι κομβικά σημεία όπου πυροδοτείται η διάσπαση του κυστιδίου.

Στην έρευνά μας, εστιάζουμε σε ένα γενικό σύστημα που αποτελείται από σωματίδια που μοιάζουν με ράβδο σε επιφάνειες. Η σειρά τους περιγράφεται από μια ελεύθερη ενέργεια που ορίζει την επιθυμητή βασική κατάσταση όπου όλες οι ράβδοι είναι ευθυγραμμισμένες παράλληλα μεταξύ τους και παράλληλα με την επιφάνεια. Οποιαδήποτε απόκλιση από αυτή τη βασική κατάσταση τιμωρείται, έτσι ώστε τα ελαττώματα αναπόφευκτα να κοστίζουν ενέργεια. Αλλά λόγω του θεωρήματος Poincare Hopf, τα ελαττώματα δεν μπορούσαν να αποφευχθούν, έτσι ώστε η θεμελιώδης κατάσταση να μην μπορεί να εδραιωθεί σε ολόκληρη την επιφάνεια. Μια πτυχή της δουλειάς μας είναι να αναπτύξουμε μεθόδους για την αριθμητική προσομοίωση τέτοιων συστημάτων σωματιδίων και τη δυναμική τους προς το ενεργειακό ελάχιστο. Με αυτές τις μεθόδους, διερευνούμε συστηματικά τις διαμορφώσεις αναδυόμενων ελαττωμάτων και την εξάρτησή τους από τη γεωμετρία του συστήματος, πιο συγκεκριμένα την επίδραση της τοπικής καμπυλότητας. Έχει διαπιστωθεί θεωρητικά και με πειράματα ότι τα ελαττώματα, ανάλογα με το τοπολογικό τους φορτίο, έλκονται από περιοχές με αντίστοιχη καμπυλότητα. Επιπλέον, τα ελαττώματα του αντίθετου φορτίου ελκύονται το ένα το άλλο και εξαφανίζονται κατά την επαφή, μειώνοντας την ενέργεια παραγγελίας.

Τα θεωρητικά μας επιχειρήματα και τα αριθμητικά πειράματά μας παρέχουν πληροφορίες για το πώς η καμπυλότητα προκαλεί τοπικές δυνάμεις στα ελαττώματα. Για επαρκή ισχυρή καμπυλότητα, αυτές οι γεωμετρικές δυνάμεις υπερτερούν των ελκτικών δυνάμεων και καταστέλλουν την κατά ζεύγη εκμηδένιση του ελαττώματος. Αυξάνοντας περαιτέρω την καμπυλότητα, παρατηρούμε τη δημιουργία ζευγών ελαττωμάτων. Επομένως, μπορέσαμε να δείξουμε πώς η τοπική διαμόρφωση καμπυλότητας καθορίζει την υλοποίηση του θεωρήματος Poincare Hopf, επιτρέποντας μη ελάχιστες διαμορφώσεις ελαττωμάτων.

Εκτός από αυτές τις πτυχές, παρέχουμε θεωρητικά επιχειρήματα που γεφυρώνουν το χάσμα μεταξύ της περιγραφής των συστημάτων σωματιδίων σε όγκο (3D) και επιφάνεια (2D). Θεωρώντας τις επιφάνειες ως σωληνωτού όγκου με πάχος που εξαφανίζεται ρίχνει φως στο πώς η καμπυλότητα προκαλεί επίσης μια γενικά προτιμώμενη ευθυγράμμιση των σωματιδίων κατά μήκος γραμμών ελάχιστης καμπυλότητας. Μεταξύ άλλων, αυτά τα αποτελέσματα παρουσιάζονται στις ακόλουθες εργασίες:

• Μ. Nestler, I. Nitschke, S. Praetorius, A. Voigt – Προσανατολική τάξη στις επιφάνειες – η σύζευξη της τοπολογίας, της γεωμετρίας και της δυναμικής
• Εγώ. Nitschke, M. Nestler, S. Praetorius, A. Voigt – Νηματικοί υγροί κρύσταλλοι σε καμπύλες επιφάνειες – όριο λεπτής μεμβράνης

Αυτά τα ευρήματα περιγράφονται στο άρθρο του περιοδικού με τίτλο Orientational Order on Surfaces:The Coupling of Topology, Geometry, and Dynamics, που δημοσιεύτηκε στο περιοδικό Journal of Nonlinear Science. Επικεφαλής αυτής της εργασίας ήταν ο Michael Nestler από το Institut für Wissenschaftliches Rechnen, Technische Universität Dresden, Dresden, Germany.