Τι είναι η ροπή αδράνειας και πώς να την υπολογίσετε για μια ράβδο;

Η αδράνεια είναι το μέτρο της αντίστασης που προσφέρει ένα σώμα ορισμένης μάζας όταν βυθίζεται σε κίνηση ή, αντίθετα, αγοράζεται να σταματήσει από μια εξωτερική δύναμη. Η αδράνεια, ή η τάση των αντικειμένων να αντιστέκονται στην αλλαγή, ποικίλλει ανάλογα με τη μάζα. Τα βαρύτερα αντικείμενα είναι δύσκολο να επιταχυνθούν όταν βρίσκονται σε ηρεμία και εξίσου δύσκολο να σταματήσουν όταν βρίσκονται σε κίνηση, σε σύγκριση με τα ελαφρύτερα αντικείμενα.

Το πρόθεμα «στιγμή του» στη φυσική χρησιμοποιείται για να απεικονίσει το περιστροφικό αντίστοιχο μιας γραμμικής ποσότητας. Έτσι, η «ροπή αδράνειας» είναι το περιστροφικό ισοδύναμο της μάζας για γραμμική κίνηση. Συμβολίζεται με «εγώ» . Ομοίως, η «ροπή δύναμης» είναι το περιστροφικό ισοδύναμο της γραμμικής δύναμης, επίσης γνωστή ως ροπή .

Πώς υπολογίζουμε τη ροπή αδράνειας;

Η ροπή αδράνειας «Ι» ενός περιστρεφόμενου αντικειμένου ως προς τον άξονα περιστροφής του δίνεται από το γινόμενο της μάζας του και το τετράγωνο της απόστασής του από τον άξονα περιστροφής του. Ωστόσο, αυτό ισχύει μόνο για ομοιόμορφα ή συνηθισμένα αντικείμενα, όπως μια σφαίρα συνδεδεμένη σε μια χορδή που στροβιλίζεται με μια συγκεκριμένη γωνιακή ταχύτητα.

Για μη ομοιόμορφα αντικείμενα, η ροπή αδράνειας υπολογίζεται από το άθροισμα των γινομένων μεμονωμένων σημείων μάζες και την αντίστοιχη απόσταση τους από τον άξονα περιστροφής. Αυτή η γενικευμένη σχέση μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό της ροπής αδράνειας οποιουδήποτε συστήματος, καθώς οποιοδήποτε αντικείμενο μπορεί να συγκροτηθεί ως συνάθροιση παρόμοιου σημείου μάζες.

Για να υπολογίσουμε τη ροπή αδράνειας μιας τέτοιας συνεχούς κατανομής μάζας σε διάφορες αποστάσεις, χρησιμοποιούμε λογισμό, λόγω της επιδεξιότητάς του με συνεχείς μεταβλητές.

Χρησιμοποιούμε ένα διαφορικό στοιχείο μάζας, ένα απειροελάχιστο κομμάτι μάζας dm . Η διαφορική ροπή αδράνειας είναι τότε dI =r²dm . Για να υπολογίσετε τη ροπή αδράνειας ‘I’ ολόκληρης της μάζας ‘M’, αθροίζουμε τη διαφορική ροπή αδράνειας dI συνεισφορά dm σε όλη την επιφάνεια. Ή απλά, ενσωματώνουμε.

Ροπή αδράνειας μιας ράβδου

Θεωρήστε μια ράβδο μάζας «M» και μήκους «L» τέτοια ώστε η γραμμική της πυκνότητα λ είναι M/L. Ανάλογα με τη θέση του άξονα περιστροφής, η ράβδος απεικονίζει δύο στιγμές:μία, όταν ο άξονας κόβει κάθετα από το κέντρο μάζας της ράβδου, ακριβώς από τη μέση. και δύο, όταν ο άξονας βρίσκεται κάθετα σε ένα από τα δύο άκρα του.

Άξονας μέσω του κέντρου μάζας

Παρόμοιο με το απειροελάχιστο στοιχείο μάζας dm, θεωρήστε ένα απειροελάχιστο στοιχείο μήκους dl που αντιστοιχεί σε αυτό. Σχεδιάζοντας την αρχή στο κέντρο μάζας που στηρίζεται στη γραμμή του άξονα, συνειδητοποιούμε ότι η απόσταση της ράβδου προς τα αριστερά από την αρχή έως το άκρο της είναι -L/2, ενώ η απόσταση από την αρχή μέχρι το άλλο άκρο στα δεξιά της είναι +L/2.

Υποθέτοντας ότι η ράβδος είναι ομοιόμορφη, η γραμμική πυκνότητα παραμένει σταθερή έτσι ώστε:

Αντικατάσταση της τιμής του dm στην έκφρασή μας για τον υπολογισμό της ροπής αδράνειας, παίρνουμε:

Επειδή η μεταβλητή της ολοκλήρωσης είναι πλέον μήκος (dl), τα όρια έχουν αλλάξει από το M που απεικονίστηκε προηγουμένως σε ένα απαιτούμενο κλάσμα του L.

Άξονας μέσω άκρου

Για να υπολογίσουμε τη ροπή αδράνειας μιας ράβδου όταν ο άξονας βρίσκεται σε ένα από τα άκρα της, σχεδιάζουμε την αρχή σε αυτό το άκρο.

Πρέπει να χρησιμοποιούμε την ίδια έκφραση, ωστόσο, με διαφορετικό όριο τώρα. Επειδή ο άξονας βρίσκεται στο άκρο, το όριο πάνω από το οποίο ενσωματώνουμε είναι τώρα μηδέν (η αρχή) στο L (το αντίθετο άκρο).

Μετά την ενσωμάτωση, παίρνουμε:

Μπορούμε επίσης να φτάσουμε στο ίδιο αποτέλεσμα για τη στιγμή αδράνειας ως προς το άκρο χρησιμοποιώντας το θεώρημα παράλληλου άξονα, Συμφωνα με το οποίο: