Ποιο έχει υψηλότερη βαρυτική έλξη, ακίνητο ή περιστρεφόμενο αντικείμενο; Γιατί;

Ένα ακίνητο αντικείμενο έχει μεγαλύτερη βαρυτική έλξη από ένα περιστρεφόμενο αντικείμενο ίδιων διαστάσεων.

Κατά τη διάρκεια των αιώνων, έχουν διατυπωθεί διάφορες θεωρίες για να εξηγήσουν τα φυσικά φαινόμενα. Ένα τέτοιο φαινόμενο είναι η έλξη αντικειμένων προς τη Γη. Πολλοί επιστήμονες και φιλόσοφοι στον αρχαίο κόσμο προσπάθησαν να εξηγήσουν αυτή την παρατήρηση. Τον 17ο αιώνα, ο Νεύτων διατύπωσε το πρώτο ρητό μαθηματικό μοντέλο για τη βαρύτητα στο βιβλίο του, Αρχές Φυσικής Φιλοσοφίας , το οποίο ήταν πρωτοποριακό και ξεκίνησε μια νέα εποχή στις φυσικές επιστήμες.

Ο Σερ Ισαάκ Νεύτων και ο Άλμπερτ Αϊνστάιν θεωρούνται μερικά από τα μεγαλύτερα μυαλά που έχουν περπατήσει στη Γη. (Φωτογραφία:mila kad/Shutterstock)

Η Νευτώνεια βαρύτητα κυριάρχησε στη συζήτηση μέχρι τον 20ο αιώνα, όταν ο Αϊνστάιν διατύπωσε τη Γενική Θεωρία της Σχετικότητας.

Η Γενική Σχετικότητα δίνει την πιο ακριβή εικόνα της βαρύτητας μέχρι σήμερα, αλλά είναι μαθηματικά αρκετά αυστηρή. Επιπλέον, για τις περισσότερες εφαρμογές, η Νευτώνεια βαρύτητα λειτουργεί μια χαρά χωρίς να εμβαθύνει σε προκλητικά μαθηματικά. Επομένως, η απάντηση στο ερώτημα που τίθεται στον τίτλο αυτού του άρθρου θα ληφθεί χρησιμοποιώντας τη θεωρία του Newton. Συγγνώμη εκ των προτέρων σε όσους αγαπούν τη σχετικότητα… μπορείτε να το ελέγξετε για μια βαθύτερη έρευνα σχετικά με τη γενική σχετικότητα.

Βασικές αρχές της Νευτώνειας βαρύτητας

Η Νευτώνεια θεωρία βασίζεται σε παρατηρήσεις της φύσης (εμπειρισμός). Η βαρύτητα είναι μια δύναμη που έλκει δύο μάζες που χωρίζονται από κάποια απόσταση και δρα πάντα κατά μήκος της γραμμής που ενώνει το κέντρο μάζας και των δύο αντικειμένων. Για να είμαστε πιο ακριβείς, η ελκτική δύναμη μεταξύ δύο αντικειμένων είναι ανάλογη με το γινόμενο των δύο μαζών και το αντίστροφο της απόστασης στο τετράγωνο. Μαθηματικά, βαρυτική δύναμη, F:

<πίνακας>

όπου,

Γ =Καθολική Βαρυτική Σταθερά ~ m3/kg/s2

=μάζα αντικειμένου A

=μάζα αντικειμένου B

r =απόσταση μεταξύ των δύο μαζών

Το σύστημα Γης-Σελήνης μπορεί να εξηγηθεί καλά χρησιμοποιώντας τον Νόμο της Παγκόσμιας Βαρύτητας του Νεύτωνα (Photo Credit :Nasky/Shutterstock)

Μηχανική περιστρεφόμενων αντικειμένων

Μια μάζα που περιστρέφεται σε μια κυκλική διαδρομή δέχεται τις ακόλουθες δυνάμεις:

• Μια αδρανειακή δύναμη που δρα κατά μήκος μιας εφαπτομενικής διεύθυνσης (στις 90ο προς την ακτίνα). Εάν η μάζα απελευθερωνόταν από την τροχιά, τότε θα κινούνταν κατά μήκος της εφαπτομενικής διαδρομής.
• Μια δύναμη που κατευθύνεται προς το κέντρο της κυκλικής διαδρομής, κατά μήκος της ακτινικής γραμμής, ονομάζεται κεντρομόλος δύναμη. Αυτή η δύναμη είναι υπεύθυνη για τη διατήρηση της μάζας σε τροχιά.
• Μια δύναμη που κατευθύνεται μακριά από το κέντρο της κυκλικής διαδρομής, κατά μήκος της ακτινικής γραμμής, ονομάζεται φυγόκεντρη δύναμη. Αυτό είναι ένα πλασματικό δύναμη που ωθεί τη μάζα μακριά από το κέντρο της τροχιάς και είναι μια αντίδραση στην κεντρομόλο δύναμη .

Μαθηματικά, κεντρομόλος δύναμη, Fcp :

<πίνακας>

όπου,

μ =μάζα του αντικειμένου που περιστρέφεται σε κυκλική τροχιά

v =γραμμική ταχύτητα περιστροφής

r =ακτίνα κυκλικής διαδρομής

=(v/r ) = γωνιακή ταχύτητα (ποσότητα περιστροφής μέσα σε ένα σταθερό χρονικό διάστημα)

Διάγραμμα δυνάμεων ενός αντικειμένου σε περιστροφική κίνηση (Photo Credit :zizou7/Shutterstock)

F cp είναι μια πραγματική δύναμη που βιώνει το αντικείμενο. Σύμφωνα με τον 3ο νόμο του Νεύτωνα, όταν μια δύναμη ασκεί σε ένα σώμα, το σώμα ασκεί ίση δύναμη αντίδρασης προς την αντίθετη κατεύθυνση. Έτσι, η πλασματική φυγόκεντρος δύναμη, Fcf προκύπτει, το οποίο είναι ίσο σε μέγεθος, αλλά αντίθετο στην κατεύθυνση του F cp .

Επομένως,

<πίνακας>

Εδώ, το αρνητικό πρόσημο (-) δηλώνει την αντίθετη κατεύθυνση από το Fcp .

Dynamics of a two-body system

Στη φυσική, κάθε φορά που δύο ή περισσότερες δυνάμεις δρουν σε ένα σωματίδιο ταυτόχρονα, η δύναμη που προκύπτει είναι το διανυσματικό άθροισμα των επιμέρους δυνάμεων. Ένα διανυσματικό άθροισμα είναι μια μαθηματική πράξη παρόμοια (αλλά όχι ταυτόσημο) με την απλή αλγεβρική πρόσθεση, αλλά λαμβάνει επίσης υπόψη την κατεύθυνση των δυνάμεων.

Για ευκολότερους υπολογισμούς, ας υποθέσουμε την παρουσία μιας τέλειας σφαίρας, που έχει μάζα M και ακτίνα R . Η σφαίρα μπορεί να μοντελοποιηθεί ως μια συλλογή από απειροελάχιστα λεπτοί (εξαιρετικά λεπτοί) κυκλικοί δίσκοι τοποθετημένοι ο ένας πάνω στον άλλο. Η ακτίνα του κεντρικού δίσκου (ισημερινή γραμμή) είναι μέγιστη, δηλ. R , και η ακτίνα των πόλων είναι μηδέν.

Λεπτές κυκλικές φέτες διαφορετικών ακτίνων τοποθετημένες η μία πάνω από την άλλη για να σχηματίσουν μια σφαίρα (Photo Credit :Alhovik/Shutterstock)

Εξετάστε τις ακόλουθες περιπτώσεις:

ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1: Η σφαίρα δεν περιστρέφεται

Η βαρυτική δύναμη που βιώνει ένα μικρό αντικείμενο μάζας m , σε απόσταση r από το M είναι:

<πίνακας>

Εδώ, M>>>μ και r <<<R (αυτή η προσέγγιση είναι ανάλογη με τους δορυφόρους που βρίσκονται σε τροχιά γύρω από τη Γη).

Εφόσον η σφαίρα δεν περιστρέφεται, η φυγόκεντρη δύναμη, Fg είναι μηδέν. Καθαρή δύναμη στο m :

<πίνακας>

ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2:Η σφαίρα αρχίζει να περιστρέφεται

Τώρα, υποθέστε ότι η σφαίρα μάζας M και ακτίνα R αρχίζει να περιστρέφεται, με τον άξονα περιστροφής του κατά μήκος του +z κατεύθυνση. Η βαρυτική δύναμη είναι:

<πίνακας>

Στην επιφάνεια της σφαίρας αρχίζουν να δρουν κεντρομόλους και φυγόκεντρες δυνάμεις. Fcf είναι μέγιστο στον ισημερινό (-Mw2R) και ελάχιστο στους πόλους (πλησιάζει το μηδέν). Το μέγεθος της φυγόκεντρης δύναμης, F βλ. στον ισημερινό και τους πόλους δίνεται από:

<πίνακας>

Επομένως, η καθαρή δύναμη στο m λόγω της βαρυτικής έλξης από το M και η περιστροφή του M σχετικά με το +z ο άξονας είναι:

<πίνακας>

Η απάντηση

Η ανάπτυξη της φυγόκεντρης δύναμης λόγω της περιστροφής ενός αντικειμένου έχει ως αποτέλεσμα τη μείωση της καθαρής δύναμης που βιώνεται από m στο ισημερινό επίπεδο. Η καθαρή δύναμη αυξάνεται μακριά από τον ισημερινό και φτάνει στο μέγιστο στους πόλους, ακριβώς ίση με τη βαρυτική δύναμη. Αυτή η μείωση της βαρυτικής έλξης, ωστόσο, είναι αμελητέα για αργή περιστροφή, όπως αυτή της Γης. Στην πραγματικότητα, η επιτάχυνση λόγω βαρύτητας, g, είναι 9,764 m/s2 στον ισημερινό και 9,863 m/s2 στους πόλους.

Έτσι, ένα ακίνητο αντικείμενο έχει μεγαλύτερη βαρυτική έλξη από ένα περιστρεφόμενο αντικείμενο ίδιων διαστάσεων.