Τι είναι το πρόβλημα των τριών σωμάτων και γιατί είναι δύσκολο να λυθεί;

Το πρόβλημα των τριών σωμάτων αφορά την εύρεση των εξισώσεων κίνησης τριών βαρυτικών σωμάτων που επηρεάζουν το ένα το άλλο. Είναι δύσκολο να λυθεί λόγω μαθηματικής πολυπλοκότητας.

Ο κλάδος της επιστήμης που περιγράφει τον φυσικό κόσμο γύρω μας είναι η Φυσική. Για να είναι όσο το δυνατόν πιο κοντά στην αντικειμενική πραγματικότητα (δηλαδή, να βασίζεται μόνο σε ό,τι μπορεί να περιγραφεί με τη μεγαλύτερη ακρίβεια χωρίς καμία προσωπική προκατάληψη του επιστήμονα), η φυσική βασίζεται στα μαθηματικά ως βασικό όργανο εργασίας της. Έτσι, η πρόοδος στα μαθηματικά συχνά βοηθά στην προώθηση της θεωρητικής φυσικής, η οποία μπορεί στη συνέχεια να επαληθευτεί με πρακτική εφαρμογή. Ωστόσο, εάν τα εμπλεκόμενα μαθηματικά γίνουν πολύ περίπλοκα για επίλυση, επηρεάζεται επίσης η πιθανή πρόοδος στη φυσική.

Η βαρυτική μηχανική (η κίνηση των αντικειμένων λόγω της βαρύτητας) είναι ένας από τους παλαιότερους κλάδους της φυσικής που βασίζεται σε μεγάλο βαθμό στα μαθηματικά. Ένα τέτοιο πρόβλημα στη βαρύτητα είναι το Πρόβλημα των τριών σωμάτων .

Η δήλωση προβλήματος

Η θεωρία της βαρύτητας του Νεύτωνα εξηγεί με αρκετά υψηλή ακρίβεια την αλληλεπίδραση μεταξύ δύο πηγών βαρύτητας. Επειδή όμως ο πραγματικός κόσμος αποτελείται από συστήματα με περισσότερα από δύο σώματα (για παράδειγμα, το ηλιακό σύστημα), απαιτείται εξίσωση για περισσότερα από δύο σώματα.

Το Πρόβλημα τριών σωμάτων στη φυσική ασχολείται με την εξέλιξη (με την πάροδο του χρόνου) ενός κλειστού συστήματος (δεν υπάρχουν εξωτερικές δυνάμεις) με τρεις βαρυτικές πηγές (τρεις πλανήτες, τρία αστέρια ή συνδυασμός τους). Ο στόχος είναι να καταλήξουμε σε μια λύση που θα έδινε την τιμή της θέσης και της ορμής των τριών σωμάτων ανά πάσα στιγμή.

Η αλληλεπίδραση μεταξύ της γης, του ήλιου και της σελήνης είναι ένα πρόβλημα 3 σωμάτων που πρέπει να λυθεί με ακρίβεια προκειμένου να σταλούν δορυφόροι στο φεγγάρι (Photo Credit :grayjay/Shutterstock)

Τύπος λύσης που απαιτείται

Ο στόχος είναι να καταλήξουμε σε μια εξίσωση (ή ένα σύνολο εξισώσεων) που θα προσδιορίζει τη θέση και την ορμή κάθε σώματος στο σύστημα ανά πάσα στιγμή, χρησιμοποιώντας τη Νευτώνεια θεωρία της βαρύτητας.

Αυτές είναι οι απαιτήσεις για να είναι εφικτή η λύση:

• Η λύση πρέπει να είναι γενική , δηλαδή λειτουργεί για όλες τις πιθανές διαμορφώσεις εκκίνησης των τριών σωμάτων. Πιο συγκεκριμένα, απαιτείται μια λύση με τη μορφή μιας εξίσωσης (ή ενός συνόλου εξισώσεων) που θα έδινε τη θέση και την ορμή και των τριών σωμάτων σε οποιαδήποτε μεταγενέστερη στιγμή, συνδέοντας απλώς την τιμή του χρόνου.
• Για παράδειγμα, η εξίσωση y(t) =u t + 0,5 α t2 είναι μια γενική λύση για το y, όπου η απάντηση μπορεί να υπολογιστεί απλά συνδέοντας την τιμή t. Η εξίσωση θα ισχύει για οποιαδήποτε τιμή του u και a (αρχικές συνθήκες).
• Η λύση πρέπει να είναι κλειστή μορφή . Μια λύση κλειστής μορφής είναι μια έκφραση όπου η λύση μπορεί να ληφθεί χρησιμοποιώντας έναν πεπερασμένο αριθμό μαθηματικών πράξεων (+, -, , , , κ.λπ.) μεταξύ των μεταβλητών.
• Για παράδειγμα, η εξίσωση y =mx + c είναι μια λύση κλειστής μορφής επειδή ένας απλός πολλαπλασιασμός και μια απλή προσθήκη χρησιμοποιούνται για να εκφράσουν το y . Ομοίως, η εξίσωση, y =ex + είναι μια έκφραση κλειστής μορφής γιατί υπάρχει μια εκθετική, μια προσθήκη και μια τετραγωνική ρίζα. Ωστόσο, η έκφραση, y =1 + x + x2 + x3 + …… είναι δεν είναι λύση κλειστής μορφής επειδή απαιτείται άπειρος αριθμός προσθηκών για την έκφραση y .

Οι κινηματικές εξισώσεις είναι παραδείγματα εκφράσεων κλειστής μορφής. Για οποιαδήποτε τιμή χρόνου, η θέση μπορεί να προβλεφθεί με απόλυτη ακρίβεια. (Φωτογραφία :zizou7/Shutterstock)

Εάν μια λύση δεν διαθέτει τα αναφερόμενα χαρακτηριστικά, αυτή η λύση απορρίπτεται γιατί:

• Η έλλειψη γενικής λύσης σημαίνει ότι για κάθε μοναδική αρχική διαμόρφωση, πρέπει να προκύψει μια νέα εξίσωση. Δεδομένου ότι θα μπορούσε να υπάρχει άπειρος αριθμός αρχικών θέσεων για τρία σώματα, θα πρέπει να εξαχθεί ένας άπειρος αριθμός λύσεων.
• Η έλλειψη λύσης κλειστής μορφής σημαίνει ότι πρέπει να υπολογιστούν άπειροι όροι, χωρίς καμία ένδειξη για το πότε θα σταματήσει. Επομένως, η ακρίβεια δεν μπορεί να προσδιοριστεί (καθώς δεν υπάρχει τελικό σημείο) και η υπολογιστική ισχύς που χρησιμοποιείται θα ήταν τεράστια.

Εξισώσεις σαν αυτές γενικά δεν προτιμώνται επειδή συγκλίνουν αρκετά αργά, κάτι που είναι ανεπιθύμητο, καθώς απαιτείται μεγάλη υπολογιστική ισχύς και χρόνος. (Φωτογραφία:benjaminec/Shutterstock)

Μαθηματικό αδιέξοδο και φυσική ερμηνεία

Σύμφωνα με τον Νεύτωνα, η δύναμη έλξης μεταξύ δύο σωμάτων, που χωρίζονται με απόσταση r , λόγω βαρύτητας δίνεται από:

όπου,

μα, μ β =μάζες σωμάτων a και b, αντίστοιχα,

=μοναδιαίο διάνυσμα (διάνυσμα μήκους 1) κατά μήκος της γραμμής που ενώνει τα κέντρα των δύο σωμάτων.

Ο νόμος της βαρύτητας του Νεύτωνα (Φωτογραφία:Nasky/Shutterstock)

Αφήστε τρεις μάζες, ma , mb και mc , να τοποθετηθούν στο χώρο σε οποιαδήποτε αυθαίρετη (τυχαία) διαμόρφωση. Έστω οι αποστάσεις μεταξύ καθενός από τα τρία σώματα rab , rac και rbc , αντίστοιχα. Θέλουμε να βρούμε τις θέσεις ra , r β και r γ και momenta pa , p β και pc , αντίστοιχα, για τις τρεις μάζες σε οποιαδήποτε στιγμή του χρόνου t .

Κάθε μάζα επηρεάζεται από τη βαρυτική έλξη που οφείλεται στις άλλες δύο. Αυτό μπορεί να εκφραστεί μαθηματικά ως:

• Δύναμη που αντιμετωπίζεται από m a λόγω mb και mc :
• Δύναμη που αντιμετωπίζεται από mb λόγω ma και mc :
• Δύναμη που αντιμετωπίζεται από τον mc λόγω ma και μα :

όπου , και είναι οι επιταχύνσεις των μαζών a , β και c, αντίστοιχα.

Οι παραπάνω εξισώσεις είναι ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων, που είναι στην πραγματικότητα ο 2ος νόμος του Νεύτωνα που εφαρμόζεται στη βαρύτητα (η βαρυτική δύναμη είναι ίση με το ρυθμό μεταβολής της ορμής).

Εφόσον οι τρεις μάζες επηρεάζουν η μία την άλλη, το παραπάνω είναι ένα ζευγμένο σύστημα εξισώσεων. Η ενέργεια του συστήματος δίνεται από το ακόλουθο σύστημα μερικών διαφορικών εξισώσεων:

όπου,

H =Ολική ενέργεια του συστήματος (κινητική + δυναμικό)

pi =ορμή κάθε μάζας

ri =θέση κάθε μάζας

Εξίσωση (i) μεταφέρει ότι η αλλαγή θέσης με το χρόνο (δηλαδή η ταχύτητα) είναι ίση με τον λόγο της μεταβολής της ενέργειας με την αλλαγή της ορμής (ταχύτητα =μεταβολή της συνολικής ενέργειας αλλαγή στην ορμή)

Εξίσωση (ii) μεταφέρει ότι η αλλαγή της ορμής με το χρόνο (δηλαδή η δύναμη) είναι ίση με την αναλογία μεταβολής της ενέργειας με την αλλαγή θέσης (δύναμη =μεταβολή της συνολικής ενέργειας μετατόπιση μάζας)

Εδώ αντιμετωπίζουμε πρόβλημα .

Το παραπάνω σύστημα εξισώσεων δεν είναι ολοκληρωμένο, επομένως είναι αδύνατο να βρεθεί μια γενική λύση κλειστής μορφής που να προβλέπει τη θέση και την ορμή σε οποιαδήποτε χρονική στιγμή επ' αόριστον στο μέλλον (ή στο παρελθόν).

Φυσικά, αυτό συμβαίνει επειδή η κίνηση κάθε σώματος εξαρτάται από την κίνηση των άλλων δύο και το κέντρο μάζας του συστήματος αλλάζει συνεχώς θέση. Δεδομένου ότι είναι αδύνατο να μετρηθεί με πλήρη ακρίβεια η αρχική θέση και η ορμή των σωμάτων (ακρίβεια ίσως 99,99%, αλλά όχι 100,00%), υπάρχει πάντα μια μικρή αβεβαιότητα (0,01% ή περισσότερο ή λιγότερο) στη μέτρηση των αρχικών συνθηκών. Δεδομένου ότι η τελική κατάσταση εξαρτάται από τις αρχικές συνθήκες, οποιαδήποτε αβεβαιότητα στην τελική κατάσταση πολλαπλασιάζεται σε αυτό το σύστημα καθώς εξελίσσεται από την αρχική στην τελική κατάσταση. Όσο μεγαλύτερη είναι η διάρκεια, τόσο μεγαλύτερη είναι η αβεβαιότητα στην τελική κατάσταση. Εάν έχει περάσει αρκετός χρόνος, η πραγματική τελική κατάσταση μπορεί να είναι εντελώς διαφορετική από τη θεωρητικά υπολογισμένη κατάσταση.

(Ελέγξτε αυτό εάν θέλετε μια αυστηρή μαθηματική μελέτη της μη ολοκλήρωσης)

Επιπτώσεις της μη ολοκλήρωσης και των εναλλακτικών λύσεων

Αυτή η κρίσιμη εξάρτηση της τελικής κατάστασης από τις αρχικές συνθήκες κάνει το σύστημα χαοτικό. Για παράδειγμα, ακόμη και ένα σφάλμα 1 mm στη μέτρηση της αρχικής κατάστασης οδηγεί σε τεράστια αύξηση της αβεβαιότητας της τελικής κατάστασης μετά από εκατομμύρια χρόνια. Έτσι, ο στόχος της εύρεσης μιας έκφρασης που θα έδινε τη θέση και την ορμή επ' αόριστον στο μέλλον αναπόφευκτα αποτυγχάνει.

Το Διπλό Εκκρεμές είναι ένα παράδειγμα χαοτικού συστήματος. Μικρή αλλαγή στις αρχικές συνθήκες μεταφράζεται σε εκθετική αλλαγή στην τελική συνθήκη. (Φωτογραφία:Der Messer/Wikimedia commons)

Αλλά περιμένετε, ίσως τώρα αναρωτιέστε πώς η NASA κάνει προβλέψεις για κομήτες που περνούν από τη Γη εκατοντάδες χρόνια στο μέλλον ή για την ευρέως αποδεκτή μελλοντική κατάσταση του ηλιακού συστήματος χιλιάδες ή εκατομμύρια χρόνια στο μέλλον.

Η απάντηση είναι Αριθμητική Ανάλυση. Υπολογίζονται κατά προσέγγιση λύσεις (εκχωρείται μια αριθμητική τιμή) σε κάθε χρονική στιγμή. Για παράδειγμα, εάν η κατάσταση του συστήματος απαιτείται να υπολογιστεί στα t=50 δευτερόλεπτα, τότε οι διαδοχικές λύσεις υπολογίζονται από t=0, 1, 2, 3, …… 50. Για κάθε χρονική στιγμή, υπάρχει ένα αριθμητικό τιμή που σχετίζεται με τη θέση και την ορμή και αυτή η τιμή χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό της λύσης στο επόμενο χρονικό βήμα.

Οι κατά προσέγγιση λύσεις λαμβάνονται με τη χρήση αριθμητικών αλγορίθμων. Η ακρίβεια των λύσεων καθορίζεται από τη συχνότητα του υπολογισμού των αποτελεσμάτων (Φωτογραφία :Krishnavedala/Wikimedia commons