Συστήματα Σωματιδίων και Περιστροφική Κίνηση

Άκαμπτο σώμα

Για να κατανοήσετε το σύστημα περιστροφικών σωματιδίων, πρέπει πρώτα να ορίσετε ένα άκαμπτο σώμα. Ορίζεται ως:

• Η απόσταση μεταξύ των σωματιδίων σε ένα άκαμπτο σώμα παραμένει σταθερή παρά την εφαρμογή σταθερής δύναμης.
• Ένα μη σταθερό άκαμπτο σώμα μπορεί να κινηθεί προς οποιαδήποτε κατεύθυνση ή προς πολλές κατευθύνσεις ταυτόχρονα.
• Η γωνιακή ταχύτητα ενός περιστρεφόμενου άκαμπτου σώματος είναι σταθερή ανά πάσα στιγμή.

Τι ακριβώς είναι το Κέντρο Μάζας;

Το σημείο στο οποίο η συνολική μάζα της δομής έχει σχεδιαστεί ώστε να εστιάζεται για μεταφορική κίνηση είναι γνωστό ως Κέντρο Μάζας. Το κέντρο μάζας ενός πλαισίου δύο μορίων βρίσκεται πάντα στη γραμμή που συνδέει τα δύο σωματίδια και βρίσκεται στη μέση του τα σωματίδια.

Η κίνηση του Κέντρου Μάζας

Το κέντρο μάζας μιας διάταξης σωματιδίων κινείται σαν να είχε συσσωρευτεί ολόκληρη η μάζα του πλαισίου σε αυτό το μέρος και όλες οι εξωτερικές δυνάμεις να ασκήθηκαν εκεί. Το κέντρο μάζας θα έχει σταθερή ενέργεια εάν δεν υπάρχει εξωτερικός παράγοντας στο σώμα.

Διανυσματικό γινόμενο δύο διανυσμάτων

ab  υποδηλώνει το διάνυσμα ή το σταυρό αποτέλεσμα δύο διανυσμάτων a και b. Το μέγεθος ενός τέτοιου διανύσματος είναι ab sin και η κατεύθυνση του διανύσματος υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του δεξιού κανόνα.

Περιπτώσεις μηχανικής ισορροπίας σε άκαμπτα σώματα

Η μηχανική ισορροπία ενός άκαμπτου σώματος μπορεί να προσδιοριστεί από δύο καταστάσεις στο κεφάλαιο για τα συστήματα σωματιδίων και την περιστροφική κίνηση, όπως:

• Αν Μεταφραστική ισορροπία =0 και 
• Αν Περιστροφική ισορροπία =0 

Τότε η συνολική εξωτερική ροπή είναι 0 και όπου η ροπή είναι μια ροπή δύναμης που υπολογίζεται από το μέγεθος της δύναμης που πολλαπλασιάζεται και εφαρμόζεται στο σωματίδιο με την κάθετη απόσταση δύναμης από τον άξονα περιστροφής του σωματιδίου.

Η σχέση μεταξύ γωνιακής και γραμμικής ταχύτητας

Ας υποθέσουμε ότι κάθε άκαμπτο σώμα περιστρέφεται γύρω από οποιονδήποτε άξονα περιστροφής με γωνιακή ταχύτητα (ω). Εάν η κάθετη απόσταση του σωματιδίου α από τον σταθερό άξονα είναι r και οποιοδήποτε σωματίδιο στο άκαμπτο σύστημα έχει γραμμική ταχύτητα v, τότε η σχέση μεταξύ τους δίνεται από

ωρ =v

Ροπή

Η ροπή είναι η κλίση μιας δύναμης να περιστρέφει το σώμα στο οποίο εφαρμόζεται. Η ροπή στρέψης υπολογίζεται πολλαπλασιάζοντας το μέγεθος της συνιστώσας του διανύσματος δύναμης που βρίσκεται στο επίπεδο που είναι κάθετο στον άξονα με τη μικρότερη απόσταση μεταξύ του άξονα και της συνιστώσας. η κίνηση της δύναμης

Το Κέντρο Βάρους 

Είναι η θέση στο σώμα όπου προορίζεται να εστιαστεί ολόκληρο το βάρος του σώματος. Το κέντρο βάρους ενός σώματος ορίζεται ως το σημείο όπου ολόκληρη η βαρυτική ροπή που ενεργεί σε αυτό είναι μηδέν.

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα σύστημα n σωματιδίων με μάζες W1, W2, W3…Wn που ταξιδεύουν σε ευθεία γραμμή σε x1, x2, x3…xn αποστάσεις από την αρχή. Στη συνέχεια, το κέντρο βάρους του συστήματος δίνεται από το

Xcd =W1x1 + W2x2 + … Wnxn / W1 + W2 + … Wn

Ροπή Αδράνειας

Όταν ένα αντικείμενο περιστρέφεται γύρω από οποιονδήποτε άξονα, έχει την τάση να αντιστέκεται στην ίδια του την κίνηση, η οποία είναι γνωστή ως ροπή αδράνειας. Το γράμμα I το αντιπροσωπεύει και η μονάδα SI είναι kg/m2. Το γινόμενο της μάζας ενός αντικειμένου και του τετραγώνου της κάθετης απόστασής του προς τον άξονα περιστροφής είναι η ροπή αδράνειας του. I =MR²

Σύστημα σωματιδίων και θεωρήματα περιστροφικής κίνησης

Το Σύστημα των Σωματιδίων και η Περιστροφική Κίνηση αποτελείται από δύο βασικά θεωρήματα που πρέπει να κατανοηθούν για την πλήρη κατανόηση του θέματος. Ακολουθούν ορισμένα θεωρήματα:

Το θεώρημα του κάθετου άξονα

Η ροπή αδράνειας I ενός σώματος για έναν συγκεκριμένο κάθετο άξονα είναι πάντα ίση με το άθροισμα των ροπών αδράνειας αυτού του σώματος περίπου δύο άξονες στο επίπεδο αυτού του σώματος που βρίσκονται πάντα σε γωνία 90° μεταξύ τους και συναντώνται σε θέση από όπου διέρχεται ο κάθετος άξονας, I =Ix+Iy.

Το θεώρημα του παράλληλου άξονα

Το θεώρημα του παράλληλου άξονα δηλώνει ότι η ροπή αδράνειας I ενός σώματος ως προς οποιονδήποτε άξονα είναι πάντα ίση με τη ροπή αδράνειας Icm ως προς έναν παράλληλο άξονα.

I =Icm+ Ma2

Γωνιακή ορμή και νόμος διατήρησης γωνιακή ορμή

Το γινόμενο της ορμής και της κάθετης απόστασης της γραμμής ορμής από τον άξονα περιστροφής καθορίζει το μέγεθος της γωνιακής ορμής γύρω από έναν άξονα περιστροφής και η διεύθυνσή της είναι κάθετη στο επίπεδο που περιέχει την ορμή. Η συνολική γωνιακή ορμή ενός άκαμπτου σώματος ή ενός συστήματος σωματιδίων διατηρείται εάν δεν ασκείται εξωτερική δύναμη, σύμφωνα με το νόμο της διατήρησης της γωνιακής ορμής.

Η Κυλιόμενη Κίνηση

Μια κίνηση κύλισης συνδυάζει τις μεταφορικές και περιστροφικές κινήσεις μιας σφαιρικής μάζας σε μια επιφάνεια. Όταν ένα σώμα κινείται, κάθε σωματίδιο έχει δύο ταχύτητες:μία λόγω περιστροφής και η άλλη λόγω μετατόπισης, με το διανυσματικό άθροισμα όλων των ταχυτήτων σε όλα τα σωματίδια να είναι το αποτέλεσμα.

Η καθαρή κύλιση και η κύλιση με ολίσθηση είναι οι δύο τύποι κίνησης κύλισης. Η καθαρή κύλιση συμβαίνει όταν δεν υπάρχει σχετική κίνηση μεταξύ του κυλιόμενου σώματος και της επιφάνειας στο σημείο επαφής και το σώμα θεωρείται ότι περιστρέφεται γύρω από αυτό το πλαίσιο επαφής.

Συμπέρασμα 

Η κίνηση κύλισης ενός άκαμπτου σώματος είναι ένας συνδυασμός περιστροφικής και μεταφορικής κίνησης. Η συνολική γωνιακή ορμή ενός άκαμπτου σώματος ή ενός συστήματος σωματιδίων διατηρείται εάν δεν υπάρχει εξωτερικό ζεύγος που να ενεργεί, σύμφωνα με το νόμο της διατήρησης της γωνιακής ορμής. Η δύναμη, η ενέργεια και η ισχύς σχετίζονται όλα με την περιστροφική κίνηση.