Ύψος και Απόσταση στην Τριγωνομετρία

Η τριγωνομετρία είναι ένας κλάδος της επιστήμης ή των μαθηματικών που ασχολείται με τον υπολογισμό των υψών, των αποστάσεων ή των γωνιών οποιουδήποτε τριγώνου. Βοηθά επίσης στην κατανόηση της σχέσης μεταξύ των υψών και της απόστασης σε ένα τρίγωνο. Η τριγωνομετρία πρωτοεμφανίστηκε στην αστρονομία και στη συνέχεια απέκτησε μεγάλη σημασία σε όλους τους άλλους τομείς όπως η γεωγραφία και η ναυσιπλοΐα. Στην αστρονομία, η τριγωνομετρία βοηθά στην απόσταση της Γης από τους πλανήτες και τα αστέρια. Επιπλέον, τα ύψη και οι αποστάσεις στην τριγωνομετρία μας βοηθούν στον υπολογισμό της επίλυσης καθημερινών προβλημάτων όπως η εύρεση της απόστασης μεταξύ δύο ή περισσότερων αντικειμένων ή των υψών μεταξύ βουνών και λόφων.

Όροι που σχετίζονται με το ύψος και την απόσταση στην τριγωνομετρία

Γραμμή όρασης

Γραμμή όρασης είναι η νοητή γραμμή που τραβιέται από το μάτι ενός παρατηρητή προς το αντικείμενο. Η οπτική επαφή μας δίνει μια ιδέα για τη θέση που βλέπει ο παρατηρητής. Για παράδειγμα, για ένα κορίτσι που παρακολουθεί μια γάτα, η νοητή διακεκομμένη γραμμή από το μάτι του κοριτσιού μέχρι τη γάτα θα είναι η γραμμή όρασης.

Η γωνία ανύψωσης

Η γωνία ανύψωσης παρατηρείται όταν ένα άτομο βλέπει ένα αντικείμενο προς τα πάνω. Είναι η γωνία που σχηματίζεται από τη γραμμή όρασης και την οριζόντια γραμμή μόνο όταν ο θεατής ή ο παρατηρητής παρακολουθεί προς τα πάνω — για παράδειγμα, ένα κορίτσι που παρακολουθεί τη γάτα κάθεται στον τοίχο (δηλαδή σε ένα υψόμετρο).

Η γωνία της κατάθλιψης

Η γωνία κατάθλιψης είναι αντίθετη από τη γωνία ανύψωσης, δηλαδή όταν ένας θεατής ή ένας παρατηρητής παρακολουθεί προς τα κάτω. Η γωνία κατάθλιψης είναι η γωνία μεταξύ της οπτικής γραμμής και της οριζόντιας γραμμής που ενώνει ένα σημείο παρατήρησης κάτω από το οριζόντιο επίπεδο—για παράδειγμα, ένα κορίτσι που παρακολουθεί τη γάτα στο δρόμο από το μπαλκόνι.

Μπορούμε να μετρήσουμε τη γωνία ανύψωσης και κατάθλιψης με ένα ειδικό όργανο που βασίζεται στις αρχές της τριγωνομετρίας. Αυτό το ειδικό όργανο είναι ο θεοδόλιθος, ο οποίος χρησιμοποιεί περιστρεφόμενα τηλεσκόπια για τη μέτρηση των γωνιών.

Σημαντικοί τύποι για την τριγωνομετρία

Υπάρχουν έξι τριγωνομετρικοί λόγοι, δηλαδή ημιτονοειδές, συνημίτονο, εφαπτομένη, συνεφαπτομένη, τέμνουσα και συνοδική.

• sin θ =Κάθετη / Υποτείνουσα

• cos θ =Βάση / Υποτείνουσα

• tan θ =Κάθετη / Βάση

• cosec θ  =Υποτείνουσα/ Κάθετη

• sec θ =Υπόταση/ Βάση 

• κούνια θ=Βάση/ Κάθετη

Τριγωνομετρικός πίνακας

Γωνίες	0°	30°	45°	60°	90°
ημιτονοειδές	0	1/2	1/√2	√3/2	1
συνημίτονο	1	√3/2	1/√2	1/2	0
Εφαπτομένη	0	1/√3	1	√3	Δεν έχει οριστεί
Cosecant	Δεν έχει οριστεί	2	√2	2/√3	1
Secant	1	2/√3	√2	2	Δεν έχει οριστεί
Συνεφαπτομένη	Δεν έχει οριστεί	√3	1	1/√3	0

Ύψα και αποστάσεις σε τριγωνομετρικές ερωτήσεις

Ερώτηση 1- Ένα κορίτσι που στέκεται κοντά σε έναν τοίχο παρατηρεί τη γάτα σε γωνία ανύψωσης 60∘. Περπατάει 30 γιάρδες μακριά από τον τοίχο, η γωνία ανύψωσης γίνεται 30∘. Υπολογίστε το ύψος του τοίχου.

Λύση:

Έστω το ύψος=h και d η απόσταση μεταξύ του κοριτσιού και του τοίχου.

tan60°=√3

h/d=√3

d=h/√3

tan30°=1/√3

h/d+30=1/√3

√3h=d+30

√3h=h/√3+30

h(√3−1/√3)=30

h=15√3yd

Απάντηση:≈26yd

Ερώτηση 2:Παρατηρήθηκαν δύο πλοία από έναν φάρο, οι δύο γωνίες κατάθλιψης είναι 30 και 45 μοίρες. Υπολογίστε το ύψος του φάρου εάν αυτά τα δύο πλοία απέχουν 100 μέτρα μεταξύ τους.

Λύση: 

Εφαρμογή του τύπου:Ύψος =Απόσταση / [συνεφαπτομένη (αρχική γωνία) – συνεφαπτομένη (τελική γωνία)]

Ύψος =100 / (κούνια 30 – κούνια 45)

=100 / (√3– 1)

=100(1.732-1)

=141.421 m

Απάντηση:Το ύψος του φάρου, αν αυτά τα δύο πλοία απέχουν 100 μέτρα μεταξύ τους είναι =141.421 m

Ερώτηση 3- Μια σκάλα έχει μήκος 15 m. Στην κλίση κάνει γωνία 60ο με τον τοίχο. Υπολογίστε το ύψος του σημείου όπου η σκάλα αγγίζει τον τοίχο χρησιμοποιώντας τριγωνομετρικούς τύπους.

Λύση:

cos θ =Βάση / Υποτείνουσα

cos θ =a/15

Όπως γνωρίζουμε ότι cos 60°=½

½=a/15

Κατά τον σταυροπολλαπλασιασμό, παίρνουμε,

a=15/2 m

a=7,5 m

Απάντηση:Το ύψος του σημείου όπου η σκάλα αγγίζει τον τοίχο είναι 7,5 μέτρα.

Συμπέρασμα

Τριγωνομετρία είναι ο κλάδος που ασχολείται με τον προσδιορισμό των αποστάσεων μεταξύ δύο αντικειμένων, των υψών ή των γωνιών μεταξύ δύο σημείων. Τα ύψη και οι αποστάσεις στην τριγωνομετρία μας βοηθούν να υπολογίσουμε καθημερινά προβλήματα όπως η εύρεση της απόστασης μεταξύ δύο ή περισσότερων αντικειμένων ή τα ύψη μεταξύ βουνών και λόφων. Οι δύο σημαντικοί όροι που σχετίζονται με την τριγωνομετρία είναι η γωνία ανύψωσης και η γωνία των βαθουλωμάτων. Η γωνία ανύψωσης παρατηρείται όταν ένα άτομο βλέπει ένα αντικείμενο προς τα πάνω, ενώ η γωνία κατάθλιψης σχηματίζεται όταν ένας θεατής ή ένας παρατηρητής παρακολουθεί προς τα κάτω. Υπάρχουν έξι τριγωνομετρικοί λόγοι, δηλαδή ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη, συνεφαπτομένη, τέμνουσα και συνημίτονο. Οι τύποι αυτών των αναλογιών δίνονται παραπάνω.