Βαθμοί ελευθερίας
Οι βαθμοί ελευθερίας ορίζονται ως μια ανεξάρτητη φυσική παράμετρος στην εξήγηση της κατάστασης ενός φυσικού συστήματος. Οι βαθμοί ελευθερίας είναι ο συνολικός αριθμός των τρόπων με τους οποίους ένα μόριο σε ένα αέριο μπορεί να κινηθεί, να δονηθεί ή να περιστραφεί στο διάστημα. Ο αριθμός των βαθμών ελευθερίας ενός μορίου παίζει ρόλο στον προσδιορισμό των τιμών διαφορετικών θερμοδυναμικών μεταβλητών χρησιμοποιώντας το θεώρημα της ισοκατανομής.
Οι βαθμοί ελευθερίας έχουν τρεις τύπους που είναι μεταφορικοί, περιστροφικοί και δονούμενοι. Ο αριθμός των βαθμών ελευθερίας όλων των τύπων που κατέχει το μόριο εξαρτάται τόσο από τον αριθμό των ατόμων που υπάρχουν στο μόριο όσο και από τη γεωμετρία του μορίου.
Τύποι βαθμών ελευθερίας
Το αέριο μόριο περιέχει έναν συγκεκριμένο αριθμό βαθμών ελευθερίας, όπως την ικανότητα να μεταφράζει (κίνηση του κέντρου μάζας του στο διάστημα), την ικανότητα να περιστρέφεται γύρω από το κέντρο μάζας του ή την ικανότητα να δονείται (καθώς αλλάζει το μήκος και η γωνία του δεσμού). Αρκετές φυσικές και χημικές ιδιότητες εξαρτώνται από την ενέργεια που σχετίζεται με όλους τους τρόπους κίνησης.
Όταν ένα μόριο περιέχει n αριθμό ελεύθερων σωματιδίων, τότε ο τύπος για τους βαθμούς ελευθερίας στο 3D δίνεται ως F=3n
Εδώ, F =Βαθμοί ελευθερίας
Οι βαθμοί ελευθερίας χωρίζονται σε τρία μέρη τα οποία είναι τα εξής
- Μεταφραστικοί βαθμοί ελευθερίας
- Περιστροφικοί βαθμοί ελευθερίας
- Βαθμοί ελευθερίας δόνησης
Μεταφραστικοί βαθμοί ελευθερίας
Μεταφραστικοί βαθμοί ελευθερίας προκύπτουν από ένα μόριο αερίου που έχει την ικανότητα να κινείται ανεξάρτητα στο διάστημα. Ένα μόριο κινείται προς τις κατευθύνσεις των x, y και z μιας Καρτεσιανής Συντεταγμένης. Εάν το κέντρο μάζας ενός σωματιδίου μετακινηθεί από το σημείο εκκίνησης του σε ένα νέο σημείο, τότε το σωματίδιο λέγεται ότι έχει μεταφορική κίνηση κατά μήκος του άξονα x, του άξονα y και του άξονα z. Ως εκ τούτου, η μεταφορική κίνηση των μορίων ενός αερίου έχει τρεις βαθμούς ελευθερίας που σχετίζονται με αυτήν. Αυτό είναι κατάλληλο για όλα τα μόρια αερίου (μονατομικά, διατομικά ή πολυατομικά), επειδή οποιοδήποτε μόριο μπορεί να κινείται ελεύθερα προς κάθε κατεύθυνση στον τρισδιάστατο χώρο.
Περιστροφικοί βαθμοί ελευθερίας
Οι περιστροφικοί βαθμοί ελευθερίας ενός μορίου απεικονίζουν τον αριθμό των διακριτών (μοναδικών) τρόπων με τους οποίους το μόριο μπορεί να περιστρέφεται στο χώρο γύρω από το κέντρο μάζας του όταν αλλάζει ο προσανατολισμός του μορίου. Ένα μονατομικό μόριο αερίου, όπως ένα αδρανές αέριο, δεν έχει περιστροφικούς βαθμούς ελευθερίας, αφού το κέντρο μάζας βρίσκεται απευθείας στο άτομο και δεν είναι δυνατή καμία περιστροφή που να προκαλεί αλλαγή. Οι περιστροφικοί βαθμοί ελευθερίας είναι δύο για τα γραμμικά μόρια, ενώ τα μη γραμμικά μόρια έχουν τρεις περιστροφικούς βαθμούς ελευθερίας.
Βαθμοί ελευθερίας δόνησης
Τα άτομα ενός μορίου δονούνται επίσης και η δόνηση των ατόμων ενός μορίου αλλάζει μετρίως το μεταξύ πυρηνικό χάσμα μεταξύ των ατόμων του μορίου. Ο αριθμός των βαθμών ελευθερίας δόνησης ενός μορίου υπαγορεύεται από τη μελέτη του αριθμού των μοναδικών μεθόδων που τα άτομα μέσα στο μόριο μπορούν να κινηθούν το ένα σε σχέση με το άλλο όπως στις τεντώσεις δεσμών.
Όπως γνωρίζουμε ήδη, τα άτομα διαθέτουν μόνο μεταφραστικό βαθμό ελευθερίας. Ο βαθμός ελευθερίας δόνησης είναι ένας για τα διατομικά μόρια. Οι δεσμοί των μορίων κατά τη διάρκεια της δονητικής κίνησης λειτουργούν σαν ελατήριο και το μόριο δείχνει απλή αρμονική κίνηση.
Βαθμός ελευθερίας Μονατομικός Γραμμικός Μη γραμμικός
Μεταφραστικό 3 3 3
Περιστροφική 0 3 δονητικό 0 3n-5 0Σύνολο 3
Νόμος εξισορρόπησης της ενέργειας
Σύμφωνα με το Νόμο της Ισοκατανομής της Ενέργειας, η συνολική ενέργεια σε θερμική ισορροπία για ένα δυναμικό σύστημα μοιράζεται εξίσου στους βαθμούς ελευθερίας.
Κινητική ενέργεια για ένα μόνο μόριο κατά μήκος
άξονας x 1/2 mvx
άξονας y 1/2 mvy
άξονας z 1/2 mvz
Σε θερμική ισορροπία μέση κινητική ενέργεια για ένα μόνο μόριο αερίου κατά μήκος
άξονας x 1/2 mvx
άξονας y 1/2 mvy
άξονας z 1/2 mvz
Η μέση κινητική ενέργεια είναι
1/2 mvrms =32 Κβ T
Εδώ,
vrms =Μέσο τετράγωνο ρίζας
Kb =Σταθερά Boltzmann
T =Θερμοκρασία
Τύπος για βαθμούς ελευθερίας
Η μέση κινητική ενέργεια ανά βαθμό ελευθερίας για το μονοατομικό αέριο είναι
KEX =1/2 Κβ T
Ή
KEX =3/2 RT
Η μέση κινητική ενέργεια ανά βαθμό ελευθερίας για το τριατομικό αέριο είναι
Μεταφραστικοί βαθμοί ελευθερίας =6
Επομένως,
KEx=3RT
Βαθμός ελευθερίας διατομικού μορίου
Το διατομικό μόριο θα περιστρέφεται γύρω από όλους τους άξονες κάθετα στον δικό του άξονα. Επομένως, τα διατομικά μόρια έχουν 2 (δύο) περιστροφικούς βαθμούς ελευθερίας και επίσης έχουν 3 (τρεις) μεταφραστικούς βαθμούς ελευθερίας κατά μήκος τριών αξόνων. Το διατομικό μόριο έχει 1 (ένα) δονητικό βαθμό ελευθερίας. Ως εκ τούτου, ένα διατομικό μόριο περιέχει έξι βαθμούς ελευθερίας σε υψηλή θερμοκρασία. (σε θερμοκρασία δωματίου, ο βαθμός ελευθερίας του διατομικού μορίου είναι πέντε).
Βαθμός ελευθερίας τριατομικού μορίου
Το κέντρο μάζας του τριατομικού μορίου βρίσκεται στο κέντρο του ατόμου. Επομένως, συμπεριφέρεται σαν ένα διατομικό μόριο με τρεις μεταφορικούς βαθμούς ελευθερίας και δύο περιστροφικούς βαθμούς ελευθερίας, επομένως έχει πέντε βαθμούς ελευθερίας σε θερμοκρασία δωματίου.
Συμπέρασμα
Οι βαθμοί ελευθερίας σε έναν στατιστικό υπολογισμό περιγράφουν τον αριθμό των μεταβλητών που μπορεί να ποικίλουν σε έναν υπολογισμό. Οι βαθμοί ελευθερίας μπορούν να καθοριστούν για να επαληθευτεί ότι τα τεστ chi-square, τα τεστ t και ακόμη πιο προηγμένα τεστ f είναι στατιστικά έγκυρα. Αυτές οι δοκιμές χρησιμοποιούνται συχνά για τη σύγκριση των παρατηρούμενων δεδομένων με δεδομένα που θα αναμενόταν να παραχθούν εάν μια συγκεκριμένη υπόθεση ήταν αληθινή. Για παράδειγμα, φανταστείτε ότι διεξάγεται μια δοκιμή φαρμάκων σε μια ομάδα ασθενών και αναμένεται ότι οι ασθενείς που έλαβαν το το φάρμακο θα έχει υψηλότερους καρδιακούς παλμούς από εκείνους που δεν είχαν. Τα ευρήματα της δοκιμής μπορούν στη συνέχεια να εξεταστούν για να διαπιστωθεί εάν η διαφορά στους καρδιακούς παλμούς είναι σημαντική και οι βαθμοί ελευθερίας θα μπορούσαν να ληφθούν υπόψη στην εξίσωση.
