Παραγωγή Εξίσωσης Κάμψης

Η κάμψη ορίζεται ως η παραμόρφωση μιας δομής σε ένα από τα διαμήκη επίπεδα λόγω μιας δύναμης στην εφαρμοσμένη μηχανική. Αυτή η δύναμη υποτίθεται ότι ασκείται επίσης προς την κατεύθυνση ενός από τα διαμήκη επίπεδα της κατασκευής. Εδώ θα εξαγάγουμε την εξίσωση κάμψης για μια δοκό. Όταν δύο από τις διαστάσεις μιας κατασκευής είναι μικρότερες κατά 1/10 ή μικρότερες από την τρίτη διάσταση, η κατασκευή θεωρείται δοκός.

Όταν ένα εγκάρσιο φορτίο δίνεται σε μια δοκό, αυτή παραμορφώνεται. Αυτή η δύναμη δρα σε κατεύθυνση κάθετη στο διάμηκες επίπεδο της δοκού. Η ποσότητα του φορτίου που εφαρμόζεται και η ποσότητα της τάσης που αντιμετωπίζει η δοκός θεωρείται ότι παραμένουν σταθερά με την πάροδο του χρόνου.

Μια δοκός που στηρίζεται στα άκρα της από σφιγκτήρες είναι ένα κλασικό παράδειγμα. Το πάνω τμήμα της δοκού συμπιέζεται και το κάτω μέρος της δοκού εκτείνεται όταν ασκείται δύναμη κάθετα στο διάμηκες επίπεδο της.

Η δοκός υπόκειται σε δύο τύπους καταπόνησης σε αυτήν την περίπτωση. Η πρώτη είναι η διατμητική τάση, η οποία λειτουργεί στην ίδια κατεύθυνση με την πλευρική φόρτιση. Ο δεύτερος τύπος τάσης είναι η τάση συμπίεσης στην άνω περιοχή και η τάση εφελκυσμού στο κάτω τμήμα της δοκού. Ένα ζεύγος ή μια ροπή σχηματίζεται από τη συμπίεση και την εφελκυστική τάση. Αυτή η στιγμή είναι υπεύθυνη για την παροχή αντίστασης στη χαλάρωση και την παραμόρφωση της δοκού.

Τι είναι το I στην εξίσωση κάμψης

I είναι η ροπή αδράνειας που εφαρμόζεται στον άξονα κάμψης.

Υπόθεση

• Υποτίθεται ότι η δοκός είναι ευθεία. Τα ξύλινα δοκάρια που χρησιμοποιούνται στην κατασκευή κατοικιών είναι ένα παράδειγμα.

• Το εμβαδόν της διατομής της δοκού πιστεύεται ότι είναι σταθερό. Αυτό υποδεικνύει ότι η περιοχή διατομής μιας δοκού πρέπει να παραμένει σταθερή σε όλο το μήκος της.

• Τα διαμήκη επίπεδα της δοκού πρέπει να είναι συμμετρικά. Αυτό σημαίνει ότι οι διάμετροι της δοκού πρέπει να είναι όλες κάθετες μεταξύ τους.

• Το διανυσματικό άθροισμα όλων των δυνάμεων που ασκούνται στο φορτίο πρέπει να κατευθύνεται στα επίπεδα συμμετρίας. Αυτό υποδεικνύει ότι το άθροισμα των δυνάμεων που προκύπτει δεν πρέπει να είναι σε άλλη κατεύθυνση εκτός από την κατεύθυνση των συμμετρικών επιπέδων.

• Ο λυγισμός θεωρείται ότι είναι η κύρια αιτία αποτυχίας.

• Για τάση και συμπίεση, το E παραμένει το ίδιο. Ο συντελεστής Young της δέσμης είναι E.

• Μετά την κάμψη, η περιοχή διατομής της δοκού θεωρείται ότι είναι η ίδια.

Παραγωγή της εξίσωσης κάμψης δοκού

Θα χρησιμοποιήσουμε την ακόλουθη διάταξη για να εξαγάγουμε την εξίσωση κάμψης:

Η δέσμη φαίνεται στην πρώτη εικόνα χωρίς ασκούμενη πίεση. Μπορούμε να δούμε ότι η δοκός δεν καταπονείται. Επίσης στερείται ελαττωμάτων. Τα Α, Β, Γ και Δ είναι τα τέσσερα σημεία της δοκού. AB =CD είναι το μήκος. Μεταξύ των ευθειών AB και CD, η κάθετη απόσταση είναι y. Ο ουδέτερος άξονας της δέσμης ορίζεται ως CD. Ο ουδέτερος άξονας είναι το σημείο της δοκού όπου δεν υπάρχει τάση.

Σκεφτείτε την ίδια δέσμη όταν πιέζεται πάνω σε οτιδήποτε. Το σχήμα της δοκού έχει παραμορφωθεί ως αποτέλεσμα του φορτίου. Έχει πάρει τη μορφή τόξου, με την κεντρική γωνία να είναι. Η ακτίνα του παρεχόμενου τόξου είναι R. Θεωρείται ότι το εμβαδόν της διατομής παραμένει αναλλοίωτο. Τα σημεία A’, B’, C’ και D’ δηλώνουν τις θέσεις των σημείων A, B, C και D, αντίστοιχα.

Τώρα, η καταπόνηση ορίζεται ως ο λόγος ενός τόπου στην αλλαγή του μήκους της δέσμης προς το αρχικό της μήκος. Ως αποτέλεσμα, το στέλεχος στο AB μπορεί να γραφτεί ως:

Αυτή είναι η εξίσωση κάμψης.

Συμπέρασμα

Η κάμψη (γνωστή και ως κάμψη) είναι η συμπεριφορά ενός λεπτού δομικού στοιχείου που εκτίθεται σε εξωτερικό φορτίο που εφαρμόζεται κάθετα στον διαμήκη άξονα του στοιχείου στην εφαρμοσμένη μηχανική.

Το δομικό στοιχείο θεωρείται ότι έχει τουλάχιστον μία διάσταση που είναι ένα μικρό ποσοστό των άλλων δύο, συχνά 1/10 ή λιγότερο. Το στοιχείο ονομάζεται δοκός όταν το μήκος του είναι σημαντικά μεγαλύτερο από το πλάτος και το πάχος του. Μια ράβδος ντουλάπας που κρεμάει κάτω από το βάρος των ρούχων σε γάντζους, για παράδειγμα, είναι ένα παράδειγμα δοκού που λυγίζει.