Παραγωγή της έκφρασης για τη χρονική της περίοδο
Ένα απλό εκκρεμές είναι ένα μηχανικό σχέδιο που δείχνει περιοδική κίνηση. Το απλό εκκρεμές περιλαμβάνει ένα μικρό κύμα μάζας «m» που αναρτάται από μια λεπτή χορδή σε μια σκηνή στο επάνω τελείωμα μήκους L.
Το απλό εκκρεμές είναι ένα μηχανικό πλαίσιο που επηρεάζει ή κινείται σε μια ταλαντωτική κίνηση. Αυτή η κίνηση συμβαίνει σε ένα ανοδικό επίπεδο και καθορίζεται θεμελιωδώς από τη βαρυτική ενέργεια. Είναι ενδιαφέρον ότι το bob που αιωρείται προς το τελείωμα μιας χορδής είναι εξαιρετικά ελαφρύ. Μπορούμε να πούμε ότι είναι ακόμη και χωρίς μάζα. Ο χρόνος ενός απλού εκκρεμούς μπορεί να εκτείνεται με επέκταση του μήκους της χορδής, ενώ ταυτόχρονα λαμβάνονται οι εκτιμήσεις από το σημάδι ανάρτησης στο κέντρο του βαριδιού. Πρέπει να σημειωθεί ότι εάν η μάζα του bob μετασχηματιστεί, τότε η περίοδος θα παραμείνει αναλλοίωτη. Η περίοδος επηρεάζεται ουσιαστικά από τη θέση του εκκρεμούς σύμφωνα με τη γη, καθώς η ισχύς του βαρυτικού πεδίου δεν είναι ομοιόμορφη παντού.
Η απλή αρμονική κίνηση περιλαμβάνει μια απλή επαναλαμβανόμενη κίνηση εμπρός και πίσω, μια κεντρική θέση, και η περαιτέρω μετατόπιση εκατέρωθεν της κεντρικής θέσης είναι η ίδια. Κάθε δόνηση ολοκληρώνεται την ίδια χρονική περίοδο. Η δύναμη της κίνησης κατευθύνεται προς την κεντρική θέση ανά πάσα στιγμή κατά τη διάρκεια της κίνησης και η δύναμη είναι ευθέως ανάλογη με την απόσταση από την κεντρική θέση.
F =-kx
Σε αυτήν την εξίσωση, το αρνητικό πρόσημο (-) δείχνει ότι η δύναμη κατευθύνεται προς την αντίθετη κατεύθυνση. Ο όρος «k» σε αυτή την εξίσωση είναι ένας σταθερός όρος που ονομάζεται σταθερά δύναμης. Η μονάδα αυτού του όρου «k» είναι το Newton ανά μέτρο.
Έστω η μάζα του ελατηρίου m. Σε αυτήν την περίπτωση, η επιτάχυνση (a) θα είναι:
a=Fm
a=-kxm
a =–𝜔2x
Συγκρίνοντας συντελεστές, km= 𝜔2
Η χρονική περίοδος είναι ο χρόνος που απαιτείται από το αντικείμενο για να ολοκληρώσει μία ταλάντωση. Η συχνότητα της απλής αρμονικής κίνησης είναι ο συνολικός αριθμός των ταλαντώσεων που λαμβάνει το αντικείμενο ανά μονάδα χρόνου. Επομένως, μπορούμε να αναπαραστήσουμε τη συχνότητα ως:
f =1/T
Στις παραπάνω εξισώσεις:
a =επιτάχυνση
T=χρονική περίοδος
F =δύναμη
f =συχνότητα
m =μάζα
𝜔 =γωνιακή συχνότητα
k =σταθερά δύναμης
Βασικοί όροι
Συχνότητα:Ο αριθμός των ταλαντώσεων που ολοκληρώνονται ανά μονάδα χρόνου είναι η συχνότητα της απλής αρμονικής κίνησης που εκτελείται από το σωματίδιο. Η μονάδα συχνότητας SI είναι Hertz.
Πλάτος:Το μέγεθος της μέγιστης μετατόπισης ενός σωματιδίου από τη μέση θέση του κατά την απλή αρμονική κίνηση ονομάζεται πλάτος του.
Χρονική περίοδος:Ο χρόνος στον οποίο το σωματίδιο ολοκληρώνει μια ταλάντωση ονομάζεται χρονική του περίοδος.
Μέση θέση ισορροπίας:Είναι η θέση του σωματιδίου κατά τη διάρκεια της κίνησης όταν η καθαρή δύναμη που ασκεί πάνω του είναι μηδέν.
Συχνότητα και περίοδος απλής αρμονικής κίνησης
Η περίοδος ή ο χρόνος που απαιτείται για την ολοκλήρωση μιας ταλάντωσης και η συχνότητα ή ο αριθμός των ταλαντώσεων ανά μονάδα χρόνου απλής αρμονικής κίνησης μπορούν να υπολογιστούν επειδή είναι περιοδική κίνηση. Για το σκοπό αυτό μπορούν να χρησιμοποιηθούν δύο πειράματα:
Εκκρεμές:Μια μάζα m συνδέεται με ένα εκκρεμές μήκους L. Θα ταλαντωθεί σε μια περίοδο T. Ο ακόλουθος τύπος περιγράφει την κίνηση:
T =2π√(L/g), όπου g είναι η βαρυτική επιτάχυνση
Μάζα σε ένα ελατήριο:Μια μάζα m συνδέεται σε ένα ελατήριο με σταθερά ελατηρίου k. Η περίοδος t περιγράφεται από τον ακόλουθο τύπο:
T =2π√(m/k)
Στην περίπτωση του εκκρεμούς, η χρονική περίοδος είναι ανεξάρτητη από τη μάζα, ενώ στο ελατήριο μάζας, η χρονική περίοδος εξαρτάται από τη μάζα.
Χρονική περίοδος παραγωγής απλού εκκρεμούς
Χρησιμοποιώντας την συνθήκη της κίνησης, T – mg cosθ =mv 2 L
Η δύναμη έχει την τάση να μεταφέρει τη μάζα στην αρμονική της θέση,
τ =mgL × sinθ =mgsinθ × L =I × α
Για μικρά σημεία κίνησης sin θ ≈ θ,
Έτσι, Iα =– mgLθ
α =-(mgLθ)/I
– ω02 θ =– (mgLθ)/I
ω02=(mgL)/I
ω0 =√(mgL/I)
Χρησιμοποιώντας το I =ML2, [το στιγμιότυπο της αδράνειας του bob]
λαμβάνουμε, ω0 =√(g/L)
Έτσι, το χρονικό διάστημα ενός απλού εκκρεμούς δίνεται από
T =2π/ω0 =2π × √(L/g)
Συμπέρασμα
Τώρα και ξανά, οι άνθρωποι πιστεύουν ότι η περίοδος ενός απλού εκκρεμούς βασίζεται στη μετατόπιση ή τη μάζα. Διεύρυνση της επάρκειας σημαίνει ότι υπάρχει μεγαλύτερη απόσταση για να διανυθεί. Ωστόσο, η ισχύς επανεγκατάστασης δημιουργεί ομοίως, γεγονός που αυξάνει σχετικά την αύξηση της ταχύτητας. Αυτό σημαίνει ότι η μάζα μπορεί να διανύσει μεγαλύτερη απόσταση με πιο εμφανή ταχύτητα. Αυτά τα χαρακτηριστικά πέφτουν το ένα το άλλο, επομένως η επάρκεια δεν έχει καμία επίδραση στην περίοδο. Η αδράνεια του εκκρεμούς αντιτίθεται στην αδρή προσαρμογή, αλλά από την άλλη πλευρά, είναι η πηγή της δύναμης αποκατάστασης. Επομένως, η μάζα ανταποκρίνεται επίσης.
