Το ηλεκτρικό φορτίο κατανέμεται ομοιόμορφα στην επιφάνεια ενός σφαιρικού μπαλονιού. Δείξτε πώς η ηλεκτρική ένταση και η πιθανή ποικιλία (α) (β) στο εσωτερικό (c) έξω;
(a) Ηλεκτρική ένταση e έξω από το μπαλόνι (r> r)
Χρησιμοποιώντας το νόμο του Gauss, μπορούμε να καθορίσουμε την ηλεκτρική ένταση E σε απόσταση R από το κέντρο του μπαλονιού. Θεωρούμε μια σφαιρική Gaussian επιφάνεια ακτίνας R, ομόκεντρο με το μπαλόνι. Το ηλεκτρικό πεδίο είναι παντού κάθετο στην επιφάνεια και το μέγεθος του είναι σταθερό στην επιφάνεια. Επομένως, η ηλεκτρική ροή μέσω της επιφάνειας δίνεται από:
∮_S \ (\ overrightarrow e \ cdot d \ overrightarrow a \) =eub4πr^2
Το συνολικό φορτίο που περικλείεται από την επιφάνεια είναι q. Ως εκ τούτου, σύμφωνα με το νόμο του Gauss, έχουμε:
∮_S \ (\ overrightarrow e \ cdot d \ overrightarrow a \) =\ frac {q_ {in}} {\ varepsilon_0}
όπου ε, είναι η διαπερατότητα του ελεύθερου χώρου. Συνδυάζοντας τις παραπάνω εξισώσεις, λαμβάνουμε:
$$ eub4πr^2 =\ frac {q} {\ varepsilon_0} $$
$$ e =\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon_0} \ frac {q} {r^2} $$
Αυτή είναι η έκφραση για την ηλεκτρική ένταση έξω από το μπαλόνι. Ποικίλλει αντιστρόφως ανάλογα με το τετράγωνο της απόστασης από το κέντρο του μπαλονιού.
(b) Ηλεκτρική ένταση e μέσα στο μπαλόνι (r
Μέσα στο μπαλόνι, το ηλεκτρικό πεδίο είναι μηδέν. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι το ηλεκτρικό πεδίο οφείλεται στις χρεώσεις στην επιφάνεια του μπαλονιού και δεν υπάρχουν χρεώσεις μέσα στο μπαλόνι.
(c) Ηλεκτρικό δυναμικό V έξω από το μπαλόνι (r> r)
Το ηλεκτρικό δυναμικό V σε απόσταση r από το κέντρο του μπαλονιού δίνεται από:
$$ v =\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon_0} \ int \ frac {dq} {r} $$
Δεδομένου ότι το φορτίο κατανέμεται ομοιόμορφα στην επιφάνεια του μπαλονιού, μπορούμε να γράψουμε DQ =σ .Da, όπου σ είναι η πυκνότητα φορτίου επιφάνειας και το DA είναι ένα στοιχείο της περιοχής στην επιφάνεια. Το συνολικό φορτίο στο μπαλόνι είναι Q =σ .4πr², όπου R είναι η ακτίνα του μπαλονιού. Αντικαθιστώντας αυτά στην εξίσωση για το V, παίρνουμε:
$$ v =\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon_0} \ int_s \ frac {\ sigma da} {r} $$
$$ v =\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon_0} \ frac {\ sigma} {r} ⋅ \ int_s da $$
$$ v =\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon_0} \ frac {\ sigma} {r} ⋅4πr² $$
$$ v =\ frac {\ sigma r} {\ varepsilon_0} \ frac {1} {r} $$
Αυτή είναι η έκφραση για το ηλεκτρικό δυναμικό έξω από το μπαλόνι. Διαφέρει αντιστρόφως ανάλογα με την απόσταση από το κέντρο του μπαλονιού.
(d) Ηλεκτρικό δυναμικό v μέσα στο μπαλόνι (r
Μέσα στο μπαλόνι, το ηλεκτρικό δυναμικό είναι σταθερό και δίνεται από:
$$ v =\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon_0} \ int_0^r \ frac {\ sigma da} {r} $$
$$ v =\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon_0} \ frac {\ sigma} {r} ⋅4πr² $$
$$ v =\ frac {\ sigma r} {\ varepsilon_0} $$
Αυτή είναι η έκφραση για το ηλεκτρικό δυναμικό μέσα στο μπαλόνι. Είναι σταθερό και δεν εξαρτάται από την απόσταση από το κέντρο του μπαλονιού.
