Αποκτήστε την εξίσωση κίνησης χρησιμοποιώντας την αρχή;
Οι εξισώσεις κίνησης του Lagrange είναι ένα σύνολο διαφορικών εξισώσεων δεύτερης τάξης που περιγράφουν την κίνηση ενός συστήματος σωματιδίων. Προέρχονται από την αρχή της ελάχιστης δράσης, η οποία δηλώνει ότι η πραγματική διαδρομή που λαμβάνεται από ένα σύστημα μεταξύ δύο σημείων είναι αυτή που ελαχιστοποιεί το ενσωματωμένο δράση.
Το Integral Action ορίζεται ως το ολοκλήρωμα του Lagrangian με την πάροδο του χρόνου:
$$ s =\ int_ {t_1}^{t_2} l (q_i, \ dot {q_i}, t) dt $$
όπου $ Q_I $ είναι οι γενικευμένες συντεταγμένες του συστήματος, $ \ dot {q_i} $ είναι τα παράγωγα του χρόνου τους και το $ l $ είναι το Lagrangian. Το Lagrangian είναι συνάρτηση των γενικευμένων συντεταγμένων, των παραγώγων χρόνου τους και του χρόνου.
Η αρχή της ελάχιστης δράσης δηλώνει ότι η πραγματική διαδρομή που λαμβάνεται από ένα σύστημα μεταξύ δύο σημείων είναι αυτό που ελαχιστοποιεί το ενσωματωμένο δράση. Αυτό μπορεί να εκφραστεί μαθηματικά ως:
$$ \ delta s =0 $$
όπου $ \ delta s $ είναι η παραλλαγή του ενσωματωμένου μέρους της δράσης.
Οι εξισώσεις κίνησης του Lagrange μπορούν να προκύψουν από την αρχή της ελάχιστης δράσης χρησιμοποιώντας τον λογισμό των παραλλαγών. Ο υπολογισμός των παραλλαγών είναι ένας κλάδος των μαθηματικών που ασχολείται με την εύρεση λειτουργιών που ελαχιστοποιούν ή μεγιστοποιούν ένα λειτουργικό.
Για να βρούμε τις λειτουργίες που ελαχιστοποιούν το Integral Action, πρέπει να βρούμε τις παραλλαγές της ενσωματωμένης δράσης και να τις θέσουμε ίσες με το μηδέν. Οι παραλλαγές της ενσωματωμένης δράσης δίδονται από:
$$ \ delta s =\ int_ {t_1}^{t_2} \ left (\ frac {\ partial l} {\ delta | \ frac {\ partial l} {\ partial t} \ delta t \ right) dt $$
όπου $ \ delta q_i $, $ \ delta \ dot {q_i} $ και $ \ delta t $ είναι οι παραλλαγές των γενικευμένων συντεταγμένων, τα παράγωγα χρόνου τους και ο χρόνος.
Ρύθμιση των παραλλαγών της ενσωματωμένης δράσης ίσες με το μηδέν, λαμβάνουμε:
$$ \ frac {\ partial l} {\ partial q_i} =\ frac {d} {dt} \ left (\ frac {\ partial l} {\ partial \ dot {q_i}} \ δεξιά) $$
Αυτές είναι οι εξισώσεις κίνησης του Lagrange. Είναι ένα σύνολο διαφορικών εξισώσεων δεύτερης τάξης που περιγράφουν την κίνηση ενός συστήματος σωματιδίων.
Παράδειγμα:
Εξετάστε ένα σωματίδιο μάζας $ M $ που κινείται σε ένα μονοδιάστατο δυναμικό $ V (x) $. Το Lagrangian για αυτό το σύστημα είναι:
$$ l =\ frac {1} {2} m \ dot {x}^2 - v (x) $$
Η γενικευμένη συντεταγμένη για αυτό το σύστημα είναι $ x $, και το παράγωγο του χρόνου είναι $ \ dot {x} $. Το Lagrangian είναι συνάρτηση των $ x $, $ \ dot {x} $ και $ t $.
Η εξίσωση κίνησης του Lagrange για αυτό το σύστημα είναι:
$$ \ frac {\ partial l} {\ partial x} =\ frac {d} {dt} \ left (\ frac {\ partial l} {\ partial \ dot {x}} \ right) $$
Αντικαθιστώντας το Lagrangian σε αυτή την εξίσωση, παίρνουμε:
$$- \ frac {\ partial v} {\ partial x} =m \ frac {d^2 x} {dt^2} $$
Αυτός είναι ο δεύτερος νόμος κίνησης του Νεύτωνα για ένα σωματίδιο μάζας $ M $ που κινείται σε ένα μονοδιάστατο δυναμικό $ V (x) $.
