Τι είναι η εξίσωση κίνησης σε σφαιρική πολική συντεταγμένη;

Οι εξισώσεις κίνησης σε σφαιρικές πολικές συντεταγμένες μπορούν να προκύψουν από τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα, F =MA, που εφαρμόζονται σε ένα σωματίδιο που κινείται σε τρισδιάστατο χώρο.

Εδώ είναι η κατανομή:

1. Σφαιρικές πολικές συντεταγμένες:

* r: Ακτινική απόσταση από την προέλευση.

* θ: Πολική γωνία (γωνία από τον άξονα z).

* φ: Αζιμουθιακή γωνία (γωνία στο επίπεδο xy από τον άξονα x).

2. Ταχύτητα και επιτάχυνση:

* ταχύτητα:

* v_r =dr/dt (ακτινική ταχύτητα)

* V_θ =r dθ/dt (γωνιακή ταχύτητα στην κατεύθυνση θ)

* v_φ =r sin (θ) dφ/dt (γωνιακή ταχύτητα στην κατεύθυνση φ)

* Επιτάχυνση:

* a_r =d²r/dt² - r (dθ/dt) ² - r sin² (θ) (dφ/dt) ² (ακτινική επιτάχυνση)

* a_θ =r d²θ/dt² + 2 (dr/dt) (dθ/dt) - r sin (θ) cos (θ) (dφ/dt) ² (γωνιακή επιτάχυνση στην κατεύθυνση θ)

(Dφ/dt) + 2r cos (θ) (dθ/dt) (dφ/dt) (γωνιακή επιτάχυνση στην κατεύθυνση φ)

3. Ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα:

* f =ma

* f_r =m a_r

* f_θ =m a_θ

* f_φ =m a_φ

4. Εξισώσεις κίνησης:

Αντικαθιστώντας τις εκφράσεις για επιτάχυνση στις παραπάνω εξισώσεις, λαμβάνουμε τις εξισώσεις κίνησης:

* Ακτινική κατεύθυνση:

m (d²r/dt² - r (dθ/dt) ² - r sin² (θ) (dφ/dt) ²) =f_r

* κατεύθυνση πολικής γωνίας:

m (r d2θ/dt² + 2 (dr/dt) (dθ/dt) - r sin (θ) cos (θ) (dφ/dt) ²) =f_θ

* Αζιμουθιακή γωνιά κατεύθυνση:

m (r sin (θ) d²φ/dt² + 2 (dr/dt) sin (θ) (dφ/dt) + 2r cos (θ) (dθ/dt) (dφ/dt)) =f_φ

5. Σημαντικά σημεία:

* f_r, f_θ, f_φ: Αυτά αντιπροσωπεύουν τα συστατικά της καθαρής δύναμης που δρουν στο σωματίδιο στις ακτινικές, πολικές και αζιμουθιακές κατευθύνσεις αντίστοιχα.

* Επίλυση των εξισώσεων: Αυτές οι εξισώσεις είναι διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης και η επίλυση τους απαιτεί τον προσδιορισμό των αρχικών συνθηκών (θέση και ταχύτητα στο t =0) και η δύναμη που δρουν στο σωματίδιο.

Παράδειγμα:

Για ένα σωματίδιο που κινείται υπό την επίδραση μιας κεντρικής δύναμης (όπως η βαρύτητα), τα συστατικά της δύναμης είναι:

* F_r =-k/r² (όπου k είναι σταθερά)

* F_θ =0

* F_φ =0

Συνδέοντας αυτά στις εξισώσεις κίνησης, παίρνουμε τις συγκεκριμένες εξισώσεις για ένα σωματίδιο που κινείται κάτω από μια κεντρική δύναμη σε σφαιρικές πολικές συντεταγμένες.

Επιτρέψτε μου να ξέρω αν θέλετε να δείτε τις εξισώσεις κίνησης για συγκεκριμένα πεδία δύναμης ή εάν έχετε άλλες ερωτήσεις!