Πώς βρίσκετε την ταχύτητα μάζας στο μισό εύρος;

Εδώ είναι πώς να βρείτε την ταχύτητα μιας μάζας στο μισό εύρος σε απλή αρμονική κίνηση (SHM):

Κατανόηση των εννοιών

* Απλή αρμονική κίνηση: Ένας τύπος περιοδικής κίνησης όπου η δύναμη αποκατάστασης είναι ανάλογος της μετατόπισης από την ισορροπία. Παραδείγματα περιλαμβάνουν μια μάζα σε ένα ελατήριο ή ένα εκκρεμές που ταλαντεύεται με μικρή γωνία.

* πλάτος (a): Η μέγιστη μετατόπιση του αντικειμένου από τη θέση ισορροπίας του.

* ταχύτητα (v): Ο ρυθμός μεταβολής της μετατόπισης.

* Διατήρηση ενέργειας: Στο SHM, η συνολική μηχανική ενέργεια (δυναμική + κινητική) παραμένει σταθερή.

Παράγοντας

1. Διατήρηση ενέργειας: Σε οποιοδήποτε σημείο του SHM, η συνολική ενέργεια (e) είναι το άθροισμα της δυνητικής ενέργειας (PE) και της κινητικής ενέργειας (KE):

E =PE + KE

2. Πιθανή ενέργεια: Στη μέγιστη μετατόπιση (πλάτος, α), η ταχύτητα είναι μηδενική και όλη η ενέργεια είναι δυναμική:

Pe (max) =1/2 * k * a^2 (όπου k είναι η σταθερά ελατηρίου)

3. Κινητική ενέργεια: Στο μισό πλάτος (A/2), η πιθανή ενέργεια είναι:

Pe (a/2) =1/2 * k * (a/2)^2 =1/8 * k * a^2

4. Χρήση διατήρησης ενέργειας: Δεδομένου ότι η συνολική ενέργεια είναι σταθερή:

E =PE (max) =PE (a/2) + ke (a/2)

1/2 * k * a^2 =1/8 * k * a^2 + 1/2 * m * v^2 (όπου m είναι η μάζα)

5. Επίλυση για ταχύτητα: Απλοποιήστε την εξίσωση και επίλυση για V:

* 3/8 * k * a^2 =1/2 * m * v^2

* v^2 =(3/4) * (k/m) * a^2

* v =√ [(3/4) * (k/m) * a^2]

Σημαντικές σημειώσεις:

* Γωνιακή συχνότητα (ω): Μπορείτε να εκφράσετε την ταχύτητα από την άποψη της γωνιακής συχνότητας (ω =√ (k/m)):

* v =√ [(3/4) * ω^2 * a^2] =(√3/2) * ω * a

* φάση: Ο παραπάνω τύπος υποθέτει ότι η μάζα βρίσκεται στη μέγιστη μετατόπιση της όταν ο χρόνος T =0. Εάν η μάζα βρίσκεται σε διαφορετική φάση, θα πρέπει να εξετάσετε την ημιτονοειδή φύση της κίνησης.

Παράδειγμα

Ας πούμε ότι μια μάζα 0,5 kg συνδέεται με ένα ελατήριο με σταθερά ελατηρίου 20 n/m. Το πλάτος της ταλάντωσης είναι 0,1 m. Για να βρείτε την ταχύτητα στο μισό εύρος:

1. Υπολογίστε τη γωνιακή συχνότητα: ω =√ (k/m) =√ (20 n/m/0.5 kg) ≈ 6.32 rad/s

2. Υπολογίστε την ταχύτητα: v =(√3/2) * ω * a =(√3/2) * 6.32 rad/s * 0.1 m ≈ 0.55 m/s

Επομένως, η ταχύτητα της μάζας στο μισό πλάτος είναι περίπου 0,55 m/s.