Εξερευνώντας τη Γεωμετρία του Σύμπαντος:Πέρα από το άπειρο διάστημα

Στα μάτια του μυαλού μας, το σύμπαν φαίνεται να συνεχίζεται για πάντα. Αλλά χρησιμοποιώντας τη γεωμετρία μπορούμε να εξερευνήσουμε μια ποικιλία από τρισδιάστατα σχήματα που προσφέρουν εναλλακτικές στον «συνηθισμένο» άπειρο χώρο.

Εισαγωγή

Όταν κοιτάζεις τον νυχτερινό ουρανό, το διάστημα φαίνεται να εκτείνεται για πάντα προς όλες τις κατευθύνσεις. Αυτό είναι το νοητικό μας μοντέλο για το σύμπαν, αλλά δεν είναι απαραίτητα σωστό. Υπήρξε μια εποχή, τελικά, που όλοι πίστευαν ότι η Γη ήταν επίπεδη, επειδή η καμπυλότητα του πλανήτη μας ήταν πολύ λεπτή για να ανιχνευθεί και μια σφαιρική Γη ήταν ανεξιχνίαστη.

Σήμερα, γνωρίζουμε ότι η Γη έχει σχήμα σφαίρας. Αλλά οι περισσότεροι από εμάς ελάχιστα σκεφτόμαστε το σχήμα του σύμπαντος. Ακριβώς όπως η σφαίρα προσέφερε μια εναλλακτική λύση σε μια επίπεδη Γη, άλλα τρισδιάστατα σχήματα προσφέρουν εναλλακτικές στον «συνηθισμένο» άπειρο χώρο.

Μπορούμε να θέσουμε δύο ξεχωριστές αλλά αλληλένδετες ερωτήσεις σχετικά με το σχήμα του σύμπαντος. Το ένα αφορά τη γεωμετρία του:τις λεπτόκοκκες τοπικές μετρήσεις πραγμάτων όπως οι γωνίες και τα εμβαδά. Το άλλο αφορά την τοπολογία του:πώς αυτά τα τοπικά κομμάτια συρράπτονται μεταξύ τους σε ένα γενικό σχήμα.

Κοσμολογικά στοιχεία υποδηλώνουν ότι το μέρος του σύμπαντος που μπορούμε να δούμε είναι ομαλό και ομοιογενές, τουλάχιστον κατά προσέγγιση. Ο τοπικός ιστός του χώρου μοιάζει σχεδόν ο ίδιος σε κάθε σημείο και προς κάθε κατεύθυνση. Μόνο τρεις γεωμετρίες ταιριάζουν σε αυτήν την περιγραφή:επίπεδες, σφαιρικές και υπερβολικές. Ας εξερευνήσουμε αυτές τις γεωμετρίες, μερικές τοπολογικές εκτιμήσεις και τι λένε τα κοσμολογικά στοιχεία για τα σχήματα που περιγράφουν καλύτερα το σύμπαν μας.

Επίπεδη γεωμετρία

Αυτή είναι η γεωμετρία που μάθαμε στο σχολείο. Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι 180 μοίρες και το εμβαδόν ενός κύκλου είναι πr 2. Το απλούστερο παράδειγμα ενός επίπεδου τρισδιάστατου σχήματος είναι ο συνηθισμένος άπειρος χώρος — αυτό που οι μαθηματικοί αποκαλούν Ευκλείδειο χώρο — αλλά υπάρχουν και άλλα επίπεδα σχήματα που πρέπει να ληφθούν υπόψη.

Αυτά τα σχήματα είναι πιο δύσκολο να οραματιστούν, αλλά μπορούμε να δημιουργήσουμε κάποια διαίσθηση σκεπτόμενοι σε δύο διαστάσεις αντί για τρεις. Εκτός από το συνηθισμένο ευκλείδειο επίπεδο, μπορούμε να δημιουργήσουμε άλλα επίπεδα σχήματα κόβοντας ένα κομμάτι του επιπέδου και κολλώντας τις άκρες του μεταξύ τους. Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι κόψαμε ένα ορθογώνιο κομμάτι χαρτί και κολλήσαμε με ταινία τις απέναντι άκρες του. Αν κολλήσουμε το επάνω και το κάτω άκρο μας δίνεται ένας κύλινδρος:

Στη συνέχεια, μπορούμε να κολλήσουμε τη δεξιά και την αριστερή άκρη για να πάρουμε ένα ντόνατ (αυτό που οι μαθηματικοί αποκαλούν torus):

Τώρα, μπορεί να σκέφτεστε, "Αυτό δεν μου φαίνεται επίπεδο". Και θα είχες δίκιο. Απατήσαμε λίγο στην περιγραφή του πώς λειτουργεί ο επίπεδος τόρος. Αν όντως προσπαθήσατε να φτιάξετε έναν τόρο από ένα φύλλο χαρτιού με αυτόν τον τρόπο, θα αντιμετωπίσατε δυσκολίες. Η κατασκευή του κυλίνδρου θα ήταν εύκολη, αλλά η τοποθέτηση των άκρων του κυλίνδρου με ταινία δεν θα λειτουργούσε:Το χαρτί θα τσαλακωνόταν κατά μήκος του εσωτερικού κύκλου του δακτύλου και δεν θα τεντωνόταν αρκετά κατά μήκος του εξωτερικού κύκλου. Θα πρέπει να χρησιμοποιήσετε κάποιο ελαστικό υλικό αντί για χαρτί. Αλλά αυτό το τέντωμα παραμορφώνει τα μήκη και τις γωνίες, αλλάζοντας τη γεωμετρία.

Μέσα στον συνηθισμένο τρισδιάστατο χώρο, δεν υπάρχει τρόπος να δημιουργηθεί ένας πραγματικός, ομαλός φυσικός κορμός από επίπεδο υλικό χωρίς να παραμορφωθεί η επίπεδη γεωμετρία. Μπορούμε όμως να συλλογιστούμε αφηρημένα για το πώς θα ήταν να ζεις μέσα σε έναν επίπεδο τόρο.

Φανταστείτε ότι είστε ένα δισδιάστατο πλάσμα του οποίου το σύμπαν είναι ένας επίπεδος τόρος. Δεδομένου ότι η γεωμετρία αυτού του σύμπαντος προέρχεται από ένα επίπεδο κομμάτι χαρτί, όλα τα γεωμετρικά γεγονότα που έχουμε συνηθίσει είναι τα ίδια με τα συνηθισμένα, τουλάχιστον σε μικρή κλίμακα:Οι γωνίες σε ένα τρίγωνο άθροισμα σε 180 μοίρες κ.λπ. Ωστόσο, οι αλλαγές που κάναμε στην παγκόσμια τοπολογία με την αποκοπή και την ταινία σημαίνουν ότι η εμπειρία του να ζεις στο torus θα είναι πολύ διαφορετική από αυτή που έχουμε συνηθίσει.

Για αρχή, υπάρχουν ευθείες διαδρομές στον τόρο που περιστρέφονται και επιστρέφουν στο σημείο που ξεκίνησαν:

Αυτά τα μονοπάτια φαίνονται κυρτά σε έναν παραμορφωμένο τόρο, αλλά για τους κατοίκους του επίπεδου τόρου αισθάνονται ευθεία. Και επειδή το φως ταξιδεύει σε ευθεία μονοπάτια, αν κοιτάξετε ευθεία μπροστά σε μία από αυτές τις κατευθύνσεις, θα δείτε τον εαυτό σας από πίσω:

Στο αρχικό κομμάτι χαρτί, είναι σαν το φως που βλέπετε να ταξίδεψε από πίσω σας μέχρι που χτύπησε στην αριστερή άκρη και μετά επανεμφανίστηκε στη δεξιά, σαν να βρίσκεστε σε ένα περικυκλωμένο βιντεοπαιχνίδι:

Ένας ισοδύναμος τρόπος για να το σκεφτείτε αυτό είναι ότι εάν ταξιδεύετε (ή μια δέσμη φωτός) σε ένα από τα τέσσερα άκρα, βγαίνετε σε αυτό που φαίνεται να είναι ένα νέο "δωμάτιο" αλλά στην πραγματικότητα είναι το ίδιο δωμάτιο, μόλις ορατό από ένα νέο πλεονέκτημα. Καθώς περιπλανηθείτε σε αυτό το σύμπαν, μπορείτε να περάσετε σε μια άπειρη σειρά από αντίγραφα του αρχικού σας δωματίου.

Αυτό σημαίνει ότι μπορείτε επίσης να δείτε άπειρα πολλά διαφορετικά αντίγραφα του εαυτού σας κοιτάζοντας προς διαφορετικές κατευθύνσεις. Είναι ένα είδος εφέ hall-of-mirrors, εκτός από το ότι τα αντίγραφά σας δεν είναι αντανακλάσεις:

Στο ντόνατ, αυτά αντιστοιχούν στους πολλούς διαφορετικούς βρόχους με τους οποίους το φως μπορεί να ταξιδέψει από εσάς πίσω σε εσάς:

Ομοίως, μπορούμε να κατασκευάσουμε έναν επίπεδο τρισδιάστατο τόρο κολλώντας τις απέναντι όψεις ενός κύβου ή άλλου κουτιού. Δεν μπορούμε να οραματιστούμε αυτόν τον χώρο ως ένα αντικείμενο μέσα στον συνηθισμένο άπειρο χώρο — απλά δεν ταιριάζει — αλλά μπορούμε να συλλογιστούμε αφηρημένα για τη ζωή μέσα σε αυτόν.

Ακριβώς όπως η ζωή στο δισδιάστατο torus ήταν σαν να ζεις σε μια άπειρη δισδιάστατη διάταξη πανομοιότυπων ορθογώνιων δωματίων, η ζωή στον τρισδιάστατο torus είναι σαν να ζεις σε μια άπειρη τρισδιάστατη διάταξη πανομοιότυπων κυβικών δωματίων. Θα δείτε άπειρα αντίγραφα του εαυτού σας:

Προσαρμογή από TechR

Ο τρισδιάστατος τόρος είναι μόνο ένας από τους 10 διαφορετικούς επίπεδους πεπερασμένους κόσμους. Υπάρχουν επίσης επίπεδοι άπειροι κόσμοι όπως το τρισδιάστατο ανάλογο ενός άπειρου κυλίνδρου. Σε καθέναν από αυτούς τους κόσμους υπάρχει μια διαφορετική συστοιχία καθρεφτών για εμπειρία.

Είναι το Σύμπαν μας ένα από αυτά τα άλλα επίπεδα σχήματα;

Όταν κοιτάμε έξω στο διάστημα, δεν βλέπουμε άπειρα πολλά αντίγραφα του εαυτού μας. Ακόμα κι έτσι, είναι εκπληκτικά δύσκολο να αποκλειστούν αυτά τα επίπεδα σχήματα. Πρώτον, όλα έχουν την ίδια τοπική γεωμετρία με τον Ευκλείδειο χώρο, επομένως καμία τοπική μέτρηση δεν μπορεί να τα διακρίνει.

Και αν βλέπατε ένα αντίγραφο του εαυτού σας, αυτή η μακρινή εικόνα θα έδειχνε πώς φαίνεστε εσείς (ή ο γαλαξίας σας, για παράδειγμα) στο μακρινό παρελθόν, αφού το φως έπρεπε να ταξιδέψει πολύ για να φτάσει σε εσάς. Ίσως βλέπουμε μη αναγνωρίσιμα αντίγραφα του εαυτού μας εκεί έξω. Κάνοντας τα πράγματα χειρότερα, διαφορετικά αντίγραφα του εαυτού σας θα βρίσκονται συνήθως σε διαφορετικές αποστάσεις από εσάς, επομένως τα περισσότερα από αυτά δεν θα φαίνονται ίδια μεταξύ τους. Και ίσως είναι όλα πολύ μακριά για να τα δούμε ούτως ή άλλως.

Για να ξεπεράσουν αυτές τις δυσκολίες, οι αστρονόμοι γενικά δεν αναζητούν αντίγραφα του εαυτού μας, αλλά για επαναλαμβανόμενα χαρακτηριστικά στο πιο μακρινό πράγμα που μπορούμε να δούμε:την κοσμική ακτινοβολία μικροκυμάτων υποβάθρου (CMB) που έμεινε λίγο μετά τη Μεγάλη Έκρηξη. Στην πράξη, αυτό σημαίνει την αναζήτηση ζευγών κύκλων στο CMB που έχουν αντίστοιχα μοτίβα θερμών και ψυχρών σημείων, υποδηλώνοντας ότι είναι πραγματικά ο ίδιος κύκλος που φαίνεται από δύο διαφορετικές κατευθύνσεις.

Το 2015, οι αστρονόμοι πραγματοποίησαν ακριβώς μια τέτοια αναζήτηση χρησιμοποιώντας δεδομένα από το διαστημικό τηλεσκόπιο Planck. Χτένισαν τα δεδομένα για τα είδη των κύκλων που θα περιμέναμε να δούμε μέσα σε έναν επίπεδο τρισδιάστατο δακτύλιο ή σε ένα άλλο επίπεδο τρισδιάστατο σχήμα που ονομάζεται πλάκα, αλλά δεν κατάφεραν να τους βρουν. Αυτό σημαίνει ότι αν ζούμε σε έναν τόρο, είναι πιθανώς τόσο μεγάλος που τυχόν επαναλαμβανόμενα μοτίβα βρίσκονται πέρα από το παρατηρήσιμο σύμπαν.

Σφαιρική Γεωμετρία

Όλοι είμαστε εξοικειωμένοι με τις δισδιάστατες σφαίρες - την επιφάνεια μιας μπάλας, ένα πορτοκάλι ή τη Γη. Αλλά τι θα σήμαινε για το σύμπαν μας να είναι μια τρισδιάστατη σφαίρα;

Είναι δύσκολο να οπτικοποιήσεις μια τρισδιάστατη σφαίρα, αλλά είναι εύκολο να την ορίσεις μέσω μιας απλής αναλογίας. Ακριβώς όπως μια δισδιάστατη σφαίρα είναι το σύνολο όλων των σημείων σε μια σταθερή απόσταση από κάποιο κεντρικό σημείο στον συνηθισμένο τρισδιάστατο χώρο, μια τρισδιάστατη σφαίρα (ή «τρεις σφαίρα») είναι το σύνολο όλων των σημείων σε μια σταθερή απόσταση από κάποιο κεντρικό σημείο στον τετραδιάστατο χώρο.

Η ζωή σε τρεις σφαίρες είναι πολύ διαφορετική από τη ζωή σε έναν επίπεδο χώρο. Για να το καταλάβετε, φανταστείτε ότι είστε ένα δισδιάστατο ον που ζει σε μια δισδιάστατη σφαίρα. Η δισδιάστατη σφαίρα είναι ολόκληρο το σύμπαν — δεν μπορείτε να δείτε ή να αποκτήσετε πρόσβαση σε κανέναν από τον περιβάλλοντα τρισδιάστατο χώρο. Μέσα σε αυτό το σφαιρικό σύμπαν, το φως ταξιδεύει στα συντομότερα δυνατά μονοπάτια:τους μεγάλους κύκλους. Για εσάς, αυτοί οι μεγάλοι κύκλοι φαίνονται σαν ευθείες γραμμές.

Τώρα φανταστείτε ότι εσείς και ο δισδιάστατος φίλος σας κάνετε παρέα στον Βόρειο Πόλο και ο φίλος σας πηγαίνει μια βόλτα. Καθώς ο φίλος σας απομακρύνεται, στην αρχή θα φαίνονται όλο και μικρότεροι στον οπτικό σας κύκλο, όπως και στον συνηθισμένο μας κόσμο (αν και δεν θα συρρικνωθούν τόσο γρήγορα όσο έχουμε συνηθίσει). Αυτό συμβαίνει επειδή καθώς μεγαλώνει ο οπτικός σας κύκλος, ο φίλος σας καταλαμβάνει ένα μικρότερο ποσοστό από αυτόν:

Αλλά μόλις ο φίλος σας περάσει τον ισημερινό, συμβαίνει κάτι περίεργο:αρχίζουν να φαίνονται όλο και μεγαλύτεροι όσο πιο μακριά απομακρύνονται από εσάς. Αυτό συμβαίνει επειδή το ποσοστό που καταλαμβάνουν στον οπτικό σας κύκλο αυξάνεται:

Όταν ο φίλος σας βρίσκεται 10 πόδια μακριά από τον Νότιο Πόλο, θα φαίνεται εξίσου μεγάλος όπως όταν ήταν 10 πόδια μακριά σας:

Και όταν φτάσουν στον ίδιο τον Νότιο Πόλο, μπορείτε να τα δείτε προς κάθε κατεύθυνση, ώστε να γεμίζουν ολόκληρο τον οπτικό σας ορίζοντα:

Αν δεν υπάρχει κανείς στο Νότιο Πόλο, ο οπτικός σας ορίζοντας είναι κάτι ακόμα πιο περίεργο:ο εαυτός σας. Αυτό συμβαίνει επειδή το φως που έρχεται από εσάς θα περιστρέφεται γύρω από τη σφαίρα μέχρι να επιστρέψει σε εσάς.

Αυτό μεταφέρει απευθείας στη ζωή στην τρισδιάστατη σφαίρα. Κάθε σημείο στις τρεις σφαίρες έχει ένα αντίθετο σημείο και αν υπάρχει ένα αντικείμενο εκεί, θα το δούμε ως ολόκληρο το σκηνικό, σαν να είναι ο ουρανός. Αν δεν υπάρχει τίποτα εκεί, θα δούμε τους εαυτούς μας ως το σκηνικό, σαν το εξωτερικό μας να έχει τοποθετηθεί πάνω σε ένα μπαλόνι, μετά να έχει γυρίσει προς τα έξω και να έχει φουσκώσει για να είναι ολόκληρος ο ορίζοντας.

Ενώ οι τρεις σφαίρες είναι το θεμελιώδες μοντέλο για τη σφαιρική γεωμετρία, δεν είναι ο μόνος τέτοιος χώρος. Ακριβώς όπως χτίσαμε διαφορετικούς επίπεδους χώρους κόβοντας ένα κομμάτι από τον Ευκλείδειο χώρο και κολλώντας το μεταξύ τους, μπορούμε να χτίσουμε σφαιρικούς χώρους κολλώντας ένα κατάλληλο κομμάτι τριών σφαιρών. Κάθε ένα από αυτά τα κολλημένα σχήματα θα έχει ένα εφέ καθρέφτη, όπως συμβαίνει με τον τόρο, αλλά σε αυτά τα σφαιρικά σχήματα, υπάρχουν μόνο πεπερασμένα πολλά δωμάτια για να ταξιδέψετε.

Είναι το σύμπαν μας σφαιρικό;

Ακόμη και οι πιο ναρκισσιστές ανάμεσά μας δεν βλέπουν τον εαυτό μας ως το σκηνικό ολόκληρου του νυχτερινού ουρανού. Αλλά όπως συμβαίνει και με τον επίπεδο torus, μόνο και μόνο επειδή δεν βλέπουμε ένα φαινόμενο, αυτό δεν σημαίνει ότι δεν μπορεί να υπάρξει. Η περιφέρεια του σφαιρικού σύμπαντος θα μπορούσε να είναι μεγαλύτερη από το μέγεθος του παρατηρήσιμου σύμπαντος, καθιστώντας το σκηνικό πολύ μακρινό για να το δει κανείς.

Αλλά σε αντίθεση με τον τόρο, ένα σφαιρικό σύμπαν μπορεί να ανιχνευθεί μέσω καθαρά τοπικών μετρήσεων. Τα σφαιρικά σχήματα διαφέρουν από τον άπειρο Ευκλείδειο χώρο όχι μόνο στην παγκόσμια τοπολογία τους αλλά και στη λεπτόκοκκη γεωμετρία τους. Για παράδειγμα, επειδή οι ευθείες γραμμές στη σφαιρική γεωμετρία είναι μεγάλοι κύκλοι, τα τρίγωνα είναι πιο φουσκωμένα από τα αντίστοιχα του Ευκλείδειου και οι γωνίες τους αθροίζονται πάνω από 180 μοίρες:

Στην πραγματικότητα, η μέτρηση των κοσμικών τριγώνων είναι ένας πρωταρχικός τρόπος με τον οποίο οι κοσμολόγοι ελέγχουν αν το σύμπαν είναι καμπύλο. Για κάθε ζεστό ή κρύο σημείο στο κοσμικό υπόβαθρο μικροκυμάτων, η διάμετρός του και η απόστασή του από τη Γη είναι γνωστές, σχηματίζοντας τις τρεις πλευρές ενός τριγώνου. Μπορούμε να μετρήσουμε τη γωνία που υποβάλλει το σημείο στον νυχτερινό ουρανό — μία από τις τρεις γωνίες του τριγώνου. Στη συνέχεια, μπορούμε να ελέγξουμε εάν ο συνδυασμός μήκους πλευρών και μέτρησης γωνίας είναι κατάλληλος για επίπεδη, σφαιρική ή υπερβολική γεωμετρία (στην οποία οι γωνίες ενός τριγώνου αθροίζονται λιγότερο από 180 μοίρες).

Οι περισσότερες τέτοιες δοκιμές, μαζί με άλλες μετρήσεις καμπυλότητας, υποδηλώνουν ότι το σύμπαν είναι είτε επίπεδο είτε πολύ κοντά στο επίπεδο. Ωστόσο, μια ερευνητική ομάδα υποστήριξε πρόσφατα ότι ορισμένα δεδομένα από την απελευθέρωση του διαστημικού τηλεσκοπίου Planck το 2018 παραπέμπουν σε ένα σφαιρικό σύμπαν, αν και άλλοι ερευνητές αντέδρασαν ότι αυτά τα στοιχεία είναι πιθανότατα μια στατιστική ατυχία.

Υπερβολική Γεωμετρία

Σε αντίθεση με τη σφαίρα, η οποία καμπυλώνεται μέσα της, η υπερβολική γεωμετρία ανοίγει προς τα έξω. Είναι η γεωμετρία των δισκέτας, των κοραλλιογενών υφάλων και των σελών. Το βασικό μοντέλο της υπερβολικής γεωμετρίας είναι μια άπειρη έκταση, όπως ακριβώς ο επίπεδος Ευκλείδειος χώρος. Αλλά επειδή η υπερβολική γεωμετρία επεκτείνεται προς τα έξω πολύ πιο γρήγορα από την επίπεδη γεωμετρία, δεν υπάρχει τρόπος να χωρέσουμε ακόμη και ένα δισδιάστατο υπερβολικό επίπεδο μέσα στον συνηθισμένο Ευκλείδειο χώρο, εκτός εάν είμαστε διατεθειμένοι να παραμορφώσουμε τη γεωμετρία του. Εδώ, για παράδειγμα, είναι μια παραμορφωμένη άποψη του υπερβολικού επιπέδου που είναι γνωστό ως δίσκος Poincaré:

Από τη δική μας οπτική γωνία, τα τρίγωνα κοντά στον οριακό κύκλο φαίνονται πολύ μικρότερα από εκείνα κοντά στο κέντρο, αλλά από την άποψη της υπερβολικής γεωμετρίας όλα τα τρίγωνα έχουν το ίδιο μέγεθος. Αν προσπαθούσαμε να κάνουμε τα τρίγωνα του ίδιου μεγέθους —ίσως χρησιμοποιώντας ελαστικό υλικό για τον δίσκο μας και φουσκώνοντας κάθε τρίγωνο με τη σειρά του, δουλεύοντας προς τα έξω από το κέντρο — ο δίσκος μας θα άρχιζε να μοιάζει με δισκέτα και θα λυγίζει όλο και περισσότερο καθώς προχωρούσαμε προς τα έξω. Καθώς πλησιάζαμε στο όριο, αυτό το λυγισμό θα γινόταν εκτός ελέγχου.

Από την άποψη της υπερβολικής γεωμετρίας, ο οριακός κύκλος απέχει απείρως από οποιοδήποτε εσωτερικό σημείο, αφού πρέπει να διασχίσετε άπειρα πολλά τρίγωνα για να φτάσετε εκεί. Έτσι το υπερβολικό επίπεδο εκτείνεται στο άπειρο προς όλες τις κατευθύνσεις, όπως και το Ευκλείδειο επίπεδο. Αλλά όσον αφορά την τοπική γεωμετρία, η ζωή στο υπερβολικό επίπεδο είναι πολύ διαφορετική από ό,τι έχουμε συνηθίσει.

Στη συνηθισμένη Ευκλείδεια γεωμετρία, η περιφέρεια ενός κύκλου είναι ευθέως ανάλογη με την ακτίνα του, αλλά στην υπερβολική γεωμετρία, η περιφέρεια αυξάνεται εκθετικά σε σύγκριση με την ακτίνα. Μπορούμε να δούμε αυτή την εκθετική συσσώρευση στις μάζες των τριγώνων κοντά στο όριο του υπερβολικού δίσκου.

Λόγω αυτού του χαρακτηριστικού, οι μαθηματικοί θέλουν να λένε ότι είναι εύκολο να χαθείς στον υπερβολικό χώρο. Εάν ο φίλος σας απομακρυνθεί από εσάς στον συνηθισμένο Ευκλείδειο χώρο, θα αρχίσει να φαίνεται μικρότερος, αλλά αργά, επειδή ο οπτικός σας κύκλος δεν μεγαλώνει τόσο γρήγορα. Αλλά στον υπερβολικό χώρο, ο οπτικός σας κύκλος αυξάνεται εκθετικά, έτσι ο φίλος σας θα φαίνεται σύντομα να συρρικνώνεται σε ένα εκθετικά μικρό σημείο. Εάν δεν έχετε παρακολουθήσει προσεκτικά τη διαδρομή του φίλου σας, θα είναι σχεδόν αδύνατο να βρείτε το δρόμο προς αυτόν αργότερα.

Και στην υπερβολική γεωμετρία, οι γωνίες ενός τριγώνου αθροίζονται σε λιγότερο από 180 μοίρες — για παράδειγμα, τα τρίγωνα στην παράθεση του δίσκου του Πουανκαρέ έχουν γωνίες που αθροίζονται σε 165 μοίρες:

Οι πλευρές αυτών των τριγώνων δεν φαίνονται ευθείες, αλλά αυτό συμβαίνει επειδή εξετάζουμε την υπερβολική γεωμετρία μέσω ενός παραμορφωμένου φακού. Για έναν κάτοικο του δίσκου του Πουανκαρέ, αυτές οι καμπύλες είναι οι ευθείες γραμμές, επειδή ο πιο γρήγορος τρόπος για να φτάσετε από το σημείο Α στο σημείο Β είναι να κάνετε μια συντόμευση προς το κέντρο:

Υπάρχει ένας φυσικός τρόπος για να φτιάξετε ένα τρισδιάστατο ανάλογο με τον δίσκο Πουανκαρέ — απλώς φτιάξτε μια τρισδιάστατη μπάλα και γεμίστε την με τρισδιάστατα σχήματα που γίνονται μικρότερα καθώς πλησιάζουν την οριακή σφαίρα, όπως τα τρίγωνα στο δίσκο Πουανκαρέ. Και όπως συμβαίνει με τις επίπεδες και σφαιρικές γεωμετρίες, μπορούμε να δημιουργήσουμε μια ποικιλία άλλων τρισδιάστατων υπερβολικών χώρων κόβοντας ένα κατάλληλο κομμάτι της τρισδιάστατης υπερβολικής σφαίρας και κολλώντας τις όψεις της.

Είναι το Σύμπαν μας Υπερβολικό;

Η υπερβολική γεωμετρία, με τα στενά τρίγωνά της και τους εκθετικά αυξανόμενους κύκλους, δεν μοιάζει σαν να ταιριάζει με τη γεωμετρία του χώρου γύρω μας. Και πράγματι, όπως έχουμε ήδη δει, μέχρι στιγμής οι περισσότερες κοσμολογικές μετρήσεις φαίνεται να ευνοούν ένα επίπεδο σύμπαν.

Αλλά δεν μπορούμε να αποκλείσουμε την πιθανότητα να ζούμε είτε σε έναν σφαιρικό είτε σε έναν υπερβολικό κόσμο, επειδή μικρά κομμάτια και των δύο αυτών κόσμων φαίνονται σχεδόν επίπεδα. Για παράδειγμα, τα μικρά τρίγωνα στη σφαιρική γεωμετρία έχουν γωνίες που το άθροισμα είναι ελαφρώς περισσότερες από 180 μοίρες και τα μικρά τρίγωνα στην υπερβολική γεωμετρία έχουν γωνίες που άθροισμα είναι ελαφρώς μικρότερες από 180 μοίρες.

Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο οι πρώτοι άνθρωποι νόμιζαν ότι η Γη ήταν επίπεδη - στις κλίμακες που μπορούσαν να παρατηρήσουν, η καμπυλότητα της Γης ήταν πολύ μικρή για να ανιχνευθεί. Όσο μεγαλύτερο είναι το σφαιρικό ή υπερβολικό σχήμα, τόσο πιο επίπεδο είναι κάθε μικρό κομμάτι του, οπότε αν το σύμπαν μας είναι ένα εξαιρετικά μεγάλο σφαιρικό ή υπερβολικό σχήμα, το τμήμα που μπορούμε να παρατηρήσουμε μπορεί να είναι τόσο κοντά στο επίπεδο που η καμπυλότητά του μπορεί να ανιχνευθεί μόνο από εξαιρετικά ακριβή όργανα που δεν έχουμε ακόμη εφεύρει.