Μη συμβατικά μοτίβα πρώτων αριθμών που ανακαλύφθηκαν από τον χημικό
Πριν από περίπου ένα χρόνο, ο θεωρητικός χημικός Salvatore Torquato συναντήθηκε με τον θεωρητικό αριθμών Matthew de Courcy-Ireland για να του εξηγήσει ότι είχε κάνει κάτι εξαιρετικά ανορθόδοξο με τους πρώτους αριθμούς, αυτούς τους θετικούς ακέραιους που διαιρούνται μόνο με το 1 και τους εαυτούς τους.
Καθηγητής χημείας στο Πανεπιστήμιο του Πρίνστον, ο Torquato μελετά κανονικά μοτίβα στη δομή των φυσικών συστημάτων, όπως η διάταξη των σωματιδίων σε κρυστάλλους, κολλοειδή και ακόμη, σε ένα από τα πιο γνωστά του αποτελέσματα, ένα πακέτο M&M. Στον τομέα του, ένας τυπικός τρόπος για να συμπεράνει κανείς τη δομή είναι η διάθλαση των ακτίνων Χ από τα πράγματα. Όταν χτυπηθούν με ακτίνες Χ, άτακτα μόρια σε υγρά ή γυαλί τα διασκορπίζουν με κάθε τρόπο, δημιουργώντας κανένα ευδιάκριτο σχέδιο. Αλλά τα συμμετρικά διατεταγμένα άτομα σε έναν κρύσταλλο αντανακλούν τα κύματα φωτός συγχρονισμένα, παράγοντας περιοδικά φωτεινά σημεία όπου τα ανακλώμενα κύματα παρεμβαίνουν εποικοδομητικά. Η απόσταση αυτών των φωτεινών σημείων, γνωστών ως «κορυφές Bragg» από τους πατέρα και γιους κρυσταλλογράφους που πρωτοστάτησαν στην περίθλαση τη δεκαετία του 1910, αποκαλύπτει την οργάνωση των αντικειμένων που διασκορπίζονται.
Ο Torquato είπε στον de Courcy-Ireland, έναν τελειόφοιτο μεταπτυχιακό στο Πρίνστον, τον οποίο είχε συστήσει ένας άλλος μαθηματικός, ότι ένα χρόνο πριν, κατά λάθος, είχε κάνει περίθλαση σε ακολουθίες πρώτων αριθμών. Ελπίζοντας να τονίσει την άπιαστη σειρά στην κατανομή των πρώτων, αυτός και ο μαθητής του Ge Zhang τα είχαν μοντελοποιήσει ως μια μονοδιάστατη ακολουθία σωματιδίων - ουσιαστικά, μικρές σφαίρες που μπορούν να διασκορπίσουν το φως. Σε πειράματα υπολογιστή, αναπήδησαν το φως από μακριές πρωταρχικές ακολουθίες, όπως οι περίπου εκατομμύρια πρώτοι ξεκινώντας από το 10.000.000.019. (Διαπίστωσαν ότι αυτό το "διάστημα Goldilocks" περιέχει αρκετούς πρώτους αριθμούς για να παράγουν ένα ισχυρό σήμα χωρίς να είναι πολύ αραιοί για να αποκαλύψουν ένα μοτίβο παρεμβολής.)
Δεν ήταν σαφές τι είδους μοτίβο θα προέκυπτε ή αν θα υπήρχε. Οι πρώτοι, οι αδιαίρετοι δομικοί λίθοι όλων των φυσικών αριθμών, σκιρτούν ακανόνιστα στην αριθμητική γραμμή σαν τις αναπηδήσεις ενός βράχου που παρακάμπτει, προκαλώντας βαθιά ερωτήματα στο πέρασμά τους. «Είναι από πολλές απόψεις πολύ δύσκολο να διακριθούν από μια τυχαία ακολουθία αριθμών», είπε ο de Courcy-Ireland. Αν και οι μαθηματικοί έχουν αποκαλύψει πολλούς κανόνες στο πέρασμα των αιώνων σχετικά με τις αποστάσεις των πρώτων, «είναι πολύ δύσκολο να βρούμε κάποιο σαφές μοτίβο, επομένως τους θεωρούμε απλώς «κάτι σαν τυχαίο».
Αλλά σε τρεις νέες εργασίες — μία από τον Torquato, τον Zhang και τον υπολογιστικό χημικό Fausto Martelli που δημοσιεύτηκε στο Journal of Physics A τον Φεβρουάριο και δύο άλλοι συν-συγγραφείς με τον de Courcy-Ireland που δεν έχουν ακόμη αξιολογηθεί από ομοτίμους — οι ερευνητές αναφέρουν ότι οι πρώτοι, όπως οι κρύσταλλοι και σε αντίθεση με τα υγρά, παράγουν ένα μοτίβο περίθλασης.
"Αυτό που είναι όμορφο σε αυτό είναι ότι μας δίνει μια άποψη κρυσταλλογράφου για το πώς μοιάζουν οι πρώτοι", δήλωσε ο Henry Cohn, μαθηματικός στο Microsoft Research New England και στο Ινστιτούτο Τεχνολογίας της Μασαχουσέτης.
Το προκύπτον μοτίβο των κορυφών του Μπραγκ δεν μοιάζει καθόλου με τίποτα που έχει ξαναδεί, υπονοώντας ότι οι πρώτοι, ως φυσικό σύστημα, «είναι μια εντελώς νέα κατηγορία δομών», είπε ο Torquato. Οι ερευνητές του Πρίνστον ονόμασαν το μοτίβο που μοιάζει με φράκταλ "αποτελεσματική οριακή περιοδικότητα".
Αποτελείται από μια περιοδική ακολουθία φωτεινών κορυφών, που αντικατοπτρίζουν τις πιο κοινές αποστάσεις των πρώτων:Όλες (εκτός από 2) βρίσκονται σε θέσεις περιττών-ακέραιων στην αριθμητική γραμμή, πολλαπλάσια των δύο μεταξύ τους. Αυτές οι φωτεινότερες φωτεινές κορυφές παρεμβάλλονται σε τακτά χρονικά διαστήματα με λιγότερο φωτεινές κορυφές, αντανακλώντας τους πρώτους που χωρίζονται με πολλαπλάσια του έξι στην αριθμητική γραμμή. Αυτά έχουν πιο αμυδρά κορυφές μεταξύ τους που αντιστοιχούν σε πιο απομακρυσμένα ζεύγη πρώτων, και ούτω καθεξής σε μια απείρως πυκνή φωλιά κορυφών Bragg.
Πυκνές κορυφές Bragg έχουν δει στο παρελθόν, στα μοτίβα περίθλασης οιονεί κρυστάλλων, εκείνων των παράξενων υλικών που ανακαλύφθηκαν τη δεκαετία του 1980 με συμμετρικές αλλά μη επαναλαμβανόμενες ατομικές διατάξεις. Στην περίπτωση των πρώτων, ωστόσο, οι αποστάσεις μεταξύ των κορυφών είναι κλάσματα η μία της άλλης, σε αντίθεση με τις παράλογα απέχουσες κορυφές Bragg των οιονεί κρυστάλλων. "Οι πρώτοι στην πραγματικότητα υποδηλώνουν μια εντελώς διαφορετική κατάσταση θέσεων σωματιδίων που είναι σαν οιονεί κρύσταλλοι αλλά δεν είναι σαν οιονεί κρύσταλλοι", είπε ο Torquato.
Περιοδικό Lucy Reading-Ikkanda/Quanta; Μοτίβο περίθλασης κρυστάλλου από τον Sven.hovmoeller; Μοτίβο περίθλασης οιονεί κρυστάλλων από το Materialscientist)
Σύμφωνα με πολλούς θεωρητικούς αριθμών που ρωτήθηκαν, δεν υπάρχει λόγος να αναμένουμε ότι τα ευρήματα της ομάδας του Πρίνστον θα πυροδοτήσουν πρόοδο στη θεωρία αριθμών. Τα περισσότερα από τα σχετικά μαθηματικά έχουν δει στο παρελθόν σε άλλες μορφές. Πράγματι, όταν ο Torquato έδειξε τις πλοκές και τους τύπους του στον de Courcy-Ireland την περασμένη άνοιξη (κατόπιν πρότασης του Cohn), ο νεαρός μαθηματικός γρήγορα είδε ότι το πρότυπο της πρώτης περίθλασης «μπορεί να εξηγηθεί με όρους σχεδόν παγκοσμίως αποδεκτών εικασιών στη θεωρία αριθμών».
Ήταν η πρώτη από τις πολλές συναντήσεις μεταξύ των δύο στο Ινστιτούτο Προηγμένων Σπουδών στο Πρίνστον, Νιου Τζέρσεϊ, όπου ο Τορκουάτο περνούσε ένα σαββατοκύριακο. Ο χημικός είπε στον de Courcy-Ireland ότι θα μπορούσε να χρησιμοποιήσει τον τύπο του για να προβλέψει τη συχνότητα των «δίδυμων πρώτων», που είναι ζεύγη πρώτων αριθμών που χωρίζονται από δύο, όπως το 17 και το 19. Ο μαθηματικός απάντησε ότι ο Torquato μπορούσε στην πραγματικότητα να προβλέψει και όλους τους άλλους διαχωρισμούς. Ο τύπος για τις κορυφές Bragg ήταν μαθηματικά ισοδύναμος με το Hardy-Littlewood k -Διπλή εικασία, μια ισχυρή δήλωση που έγινε από τους Άγγλους μαθηματικούς Godfrey Hardy και John Littlewood το 1923 σχετικά με το ποιοι «αστερισμοί» πρώτων αριθμών μπορούν να υπάρχουν. Ένας κανόνας απαγορεύει τρεις διαδοχικούς μονούς πρώτους αριθμούς μετά το {3, 5, 7}, αφού ένας στο σύνολο θα διαιρείται πάντα με το τρία, όπως στο {7, 9, 11}. Αυτός ο κανόνας επεξηγεί γιατί οι δεύτερες φωτεινότερες κορυφές στο μοτίβο περίθλασης των πρώτων προέρχονται από ζεύγη πρώτων που χωρίζονται με έξι και όχι με τέσσερις.
Η εικασία των Hardy και Littlewood διευκρίνισε περαιτέρω πόσο συχνά θα εμφανίζονται όλοι οι επιτρεπόμενοι πρώτοι αστερισμοί κατά μήκος της γραμμής αριθμών. Ακόμη και η πιο απλή περίπτωση του Hardy-Littlewood, η «εικασία των δίδυμων πρώτων», αν και έχει δει μια έκρηξη σύγχρονης προόδου, παραμένει αναπόδεικτη. Επειδή η πρώτη περίθλαση ουσιαστικά την επαναδιατυπώνει, οι ειδικοί λένε ότι είναι πολύ απίθανο να οδηγήσει σε απόδειξη του Hardy-Littlewood, ή εν προκειμένω στη διάσημη υπόθεση Riemann, έναν τύπο του 1859 που συνδέει την κατανομή των πρώτων με τα «κρίσιμα μηδενικά» της συνάρτησης Riemann zeta.
Τα ευρήματα αντηχούν, ωστόσο, σε μια σχετικά νέα ερευνητική περιοχή που ονομάζεται «απεριοδική τάξη», ουσιαστικά στη μελέτη μη επαναλαμβανόμενων μοτίβων, η οποία βρίσκεται στη διασταύρωση της κρυσταλλογραφίας, των δυναμικών συστημάτων, της αρμονικής ανάλυσης και της διακριτής γεωμετρίας και αναπτύχθηκε μετά την ανακάλυψη των οιονεί κρυστάλλων. «Οι τεχνικές που αναπτύχθηκαν αρχικά για την κατανόηση των κρυστάλλων… διαφοροποιήθηκαν πολύ με την ανακάλυψη των οιονεί κρυστάλλων», δήλωσε η Marjorie Senechal, μαθηματικός κρυσταλλογράφος στο Smith College. "Οι άνθρωποι άρχισαν να συνειδητοποιούν ότι έπρεπε ξαφνικά να καταλάβουν πολλά, πολύ περισσότερα από την απλή απλή περιοδική περίθλαση", είπε, "και αυτό έχει γίνει ένα ολόκληρο πεδίο, απεριοδική τάξη. Η ένωση αυτού με τη θεωρία αριθμών είναι απλώς εξαιρετικά συναρπαστική."
Προσαρμογή από Parcly Taxel
Το μοτίβο των πρώτων μοιάζει με ένα είδος απεριοδικής τάξης γνωστής τουλάχιστον από τη δεκαετία του 1950 που ονομάζεται οριακή περιοδικότητα, «προσθέτοντας παράλληλα μια εκπληκτική συστροφή», είπε ο Cohn. Στα αληθινά συστήματα οριακής περιόδου, τα περιοδικά κενά είναι ένθετα σε μια άπειρη ιεραρχία, έτσι ώστε μέσα σε οποιοδήποτε διάστημα, το σύστημα να περιέχει τμήματα μοτίβων που επαναλαμβάνονται μόνο σε μεγαλύτερο διάστημα. Ένα παράδειγμα είναι η σύνθεση ενός παράξενου, πολύπλευρου σχήματος που ονομάζεται πλακίδιο Taylor-Socolar, που ανακαλύφθηκε από την Αυστραλή ερασιτέχνη μαθηματικό Joan Taylor τη δεκαετία του 1990 και αναλύθηκε λεπτομερώς με τον Joshua Socolar του Πανεπιστημίου Duke το 2010. Σύμφωνα με το Socolar, τα πειράματα υπολογιστών θα πρέπει να υποδεικνύουν ότι τέτοια συστήματα οριακής περιόδου μπορούν να υποδεικνύουν ότι τα συστήματα οριακής περιόδου και η μορφή της ύλης έχουν ασυνήθιστες ιδιότητες. Κανείς δεν μάντεψε μια σύνδεση με τους πρώτους. Είναι «αποτελεσματικά» περιοριστικά περιοδικά — ένα νέο είδος σειράς — επειδή οι συγχρονισμοί στις αποστάσεις τους ισχύουν μόνο στατιστικά σε ολόκληρο το σύστημα.
Από την πλευρά του, ο de Courcy-Ireland θέλει να κατανοήσει καλύτερα την κλίμακα «Goldilocks» στην οποία εμφανίζεται η αποτελεσματική οριακή περιοδικότητα στους πρώτους. Το 1976, ο Patrick Gallagher του Πανεπιστημίου Columbia έδειξε ότι οι αποστάσεις των πρώτων φαίνονται τυχαίες σε μικρά διαστήματα. χρειάζονται μεγαλύτερες λωρίδες για να αναδειχθεί το σχέδιο τους. Στις νέες μελέτες περίθλασης, ο de Courcy-Ireland και οι χημικοί συνεργάτες του ανέλυσαν μια ποσότητα που ονομάζεται «μετρική τάξης» που ελέγχει την παρουσία του οριακού-περιοδικού σχεδίου. «Μπορείτε να προσδιορίσετε πόσο μεγάλο διάστημα πρέπει να είναι πριν αρχίσετε να βλέπετε αυτή την ποσότητα να αυξάνεται», είπε. Του ενδιαφέρει το γεγονός ότι αυτό το ίδιο μήκος διαστήματος εμφανίζεται επίσης σε έναν διαφορετικό κανόνα πρώτων αριθμών που ονομάζεται θεώρημα του Maier. Αλλά είναι πολύ νωρίς για να πούμε εάν αυτό το νήμα θα οδηγήσει κάπου.
Το κύριο πλεονέκτημα του πρώτου σχεδίου περίθλασης, είπε ο Jonathan Keating από το Πανεπιστήμιο του Μπρίστολ, είναι ότι «είναι υποβλητικό» και «κάνει σύνδεση με διαφορετικούς τρόπους σκέψης». Αλλά ο αξιότιμος θεωρητικός των αριθμών Andrew Granville του Πανεπιστημίου του Μόντρεαλ αποκάλεσε το έργο του Torquato και της εταιρείας «προσχηματικό» και «απλώς μια ανάσυρση γνωστών ιδεών».
Ο Torquato δεν ανησυχεί ιδιαίτερα για το πώς θα γίνει αντιληπτό το έργο του από τους θεωρητικούς αριθμών. Έχει βρει έναν τρόπο να δει το μοτίβο των πρώτων. «Πιστεύω πραγματικά ότι είναι εκπληκτικό», είπε. "Είναι ένα σοκ."
