Ανισότροποι αδύναμοι ανθεκτικοί χώροι τύπου Musielak-Orlicz και οι εφαρμογές τους

Είναι γνωστό ότι τα διαστήματα Hardy  H(R) είναι καλά υποκατάστατα των διαστημάτων Lebesgue L(R) με 0

Για παράδειγμα, εάν 0<δ≤1, ο τελεστής δ-Calderón-Zygmund T δεσμεύεται στο H(R) για οποιοδήποτε n/(n+δ)

Από την άλλη πλευρά, ως φυσική γενίκευση του L(R), ο χώρος Orlicz εισήχθη από τους Birnbaum και Orlicz. Ο χώρος Orlicz μπορεί να γενικευτεί περαιτέρω στον χώρο Musielak-Orlicz, ο οποίος μπορεί επίσης να ποικίλλει στις χωρικές μεταβλητές. Οι χώροι Musielak-Orlicz περιλαμβάνουν πολλούς χώρους συναρτήσεων πολύ πέρα ​​από το L(R) και το κίνητρό του προέρχεται από διάφορες εφαρμογές στα μαθηματικά και τη φυσική.

Τα ανισότροπα φαινόμενα εμφανίζονται σε πολλές πτυχές της μαθηματικής ανάλυσης και των εφαρμογών της. Οι χώροι ανισότροπων συναρτήσεων στο R έχουν μελετηθεί εκτενώς, ξεκινώντας από τη ρωσική σχολή τη δεκαετία του 1960, και στη συνέχεια οι M. Bownik, K.P-Ho, D. Yang και J. Liu, κ.λπ.

Αυτό το άρθρο εισάγει τους ανισότροπους ασθενείς Hardy χώρους του τύπου Musielak-Orlicz. Αυτοί οι τύποι χώρων είναι κατάλληλοι γενικοί χώροι που περιλαμβάνουν ασθενείς Hardy χώρους των R. Fefferman και F. Soria, σταθμισμένους ασθενείς Hardy χώρους των T. Quek και D. Yang και τον ανισότροπο ασθενή χώρο Hardy των Y. Ding και S. Lan.

Στη συνέχεια, προκύπτει επίσης ο ατομικός χαρακτηρισμός αυτού του χώρου. Δηλαδή, κάθε στοιχείο σε αυτόν τον χώρο μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένα άθροισμα μετρήσιμων, άπειρων συναρτήσεων που έχει καλύτερες ιδιότητες με την έννοια της κατανομής. Εδώ, επισημαίνουμε ότι αυτές οι άπειρες συναρτήσεις ονομάζονται άτομα. Αυτά τα άτομα έχουν συμπαγή στηρίγματα, συνθήκες μεγέθους και συνθήκες εξαφάνισης. Επομένως, όταν προσπαθήσαμε να αποκτήσουμε κάποιο όριο γραμμικών τελεστών στα στοιχεία των ανισότροπων ασθενών σκληραγωγικών χώρων του τύπου Musielak-Orlicz, μέσω κάποιων πρόσθετων κατάλληλων συνθηκών, μπορεί να μεταφερθεί στους γραμμικούς τελεστές που ενεργούν σε αυτά τα άτομα, και με αυτούς καλύτερα ιδιότητες στα άτομα, αυτό θα κάνει την εκτίμηση του T στο χώρο πιο βολική.

Για την ακρίβεια, αυτό το άρθρο δίνει δύο παραδείγματα. Στο πρώτο παράδειγμα, λήφθηκε ένα θεώρημα παρεμβολής προσαρμοσμένο σε αυτόν τον χώρο. Αυτό το αποτέλεσμα επεκτείνει το αντίστοιχο συμπέρασμα των Y. Ding και S. Lan το 2008, οι οποίοι έλαβαν την παρεμβολή σε ασθενείς ανισότροπους χώρους Hardy. Εδώ, επισημαίνουμε ότι, εφόσον οι γενικά αδύναμοι χώροι Hardy δεν έχουν τους αντίστοιχους πυκνούς υποχώρους, πρέπει να χρησιμοποιήσουμε μια νέα αρχή υπέρθεσης προσαρμοσμένη στους ασθενείς ανισότροπους χώρους συναρτήσεων Musielak-Orlicz. Αυτή είναι μια επέκταση του αντίστοιχου συμπεράσματος από τους E. M. Stein, M. Taibleson, G. Weiss το 1981.

Επιπλέον, ως άλλη εφαρμογή της ατομικής αποσύνθεσης αυτού του χώρου, καθορίζεται επίσης η οριοθέτηση των ανισότροπων τελεστών Calderón-Zygmund από τον ανισότροπο αδύναμο χώρο Hardy τύπου Musielak-Orlicz στον ανισότροπο ασθενή χώρο Lebesgue του τύπου Musielak-Orlicz. Αυτό το αποτέλεσμα επεκτείνει επίσης το αντίστοιχο αποτέλεσμα των Y. Ding και S. Lan, οι οποίοι έλαβαν τους ανισότροπους τελεστές Calderón-Zygmund από τον ανισότροπο αδύναμο χώρο Hardy H στον ανισότροπο ασθενή χώρο Lebesgue L το 2008. Το αποτέλεσμα είναι νέο ακόμη και όταν μειωθεί σε σταθμισμένο αδύναμα διαστήματα Orlicz Hardy.

Αυτά τα ευρήματα περιγράφονται στο άρθρο με τίτλο Ανισότροποι αδύναμοι σκληραγωγημένοι χώροι τύπου Musielak-Orlicz και οι εφαρμογές τους, που δημοσιεύτηκε πρόσφατα στο περιοδικό Frontiers of Mathematics in China . Αυτή η εργασία διεξήχθη από τους Hui Zhang, Chunyan Qi και Baode Li από το Πανεπιστήμιο Xinjiang.