Ο υποθετικός σφαιρικός πλανήτης αποτελείται εξ ολοκλήρου από σίδηρο. Ποια είναι η περίοδος ενός δορυφόρου που περιστρέφει αυτό ακριβώς πάνω από την επιφάνεια του;
1. Κατανοήστε τις έννοιες
* Περίοδος τροχιάς: Ο χρόνος που χρειάζεται για έναν δορυφόρο για να ολοκληρώσει μια πλήρη τροχιά γύρω από έναν πλανήτη.
* Ο νόμος της καθολικής βαρύτητας του Νεύτωνα: Η δύναμη της βαρύτητας μεταξύ δύο αντικειμένων είναι ανάλογη με το προϊόν των μαζών τους και αντιστρόφως ανάλογη προς το τετράγωνο της απόστασης μεταξύ των κέντρων τους.
* Κεντριές δύναμη: Η δύναμη που κρατά ένα αντικείμενο που κινείται σε κυκλική διαδρομή.
2. Βασικές εξισώσεις
* Ο νόμος της καθολικής βαρύτητας του Νεύτωνα: F =g * (m1 * m2) / r2
* F =δύναμη βαρύτητας
* G =σταθερή βαρύτητα (6.674 × 10⁻⁻ Nρόπας/kg²)
* m1 =μάζα του πλανήτη
* m2 =μάζα του δορυφόρου
* r =απόσταση μεταξύ των κέντρων του πλανήτη και του δορυφόρου
* Κεντριές δύναμη: F =(m2 * v²) / r
* F =κεντρομόλος δύναμη
* m2 =μάζα του δορυφόρου
* V =ταχύτητα τροχιάς
* r =ακτίνα της τροχιάς
* ταχύτητα τροχιάς: v =2πr / t
* V =ταχύτητα τροχιάς
* r =ακτίνα της τροχιάς
* T =περίοδος τροχιάς
3. Υποθέσεις και μεταβλητές
* Ακτίνα του πλανήτη (r): Χρειαζόμαστε αυτό για να υπολογίσουμε την τροχιακή ακτίνα.
* Η πυκνότητα του πλανήτη (ρ): Ο σίδηρος έχει πυκνότητα περίπου 7874 kg/m³. Θα το χρησιμοποιήσουμε για να καθορίσουμε τη μάζα του πλανήτη.
4. Υπολογισμοί
* Μάζα του πλανήτη (m):
* M =(4/3) πρ μας ρ
* ακτίνα τροχιάς (r):
* Δεδομένου ότι ο δορυφόρος είναι ακριβώς πάνω από την επιφάνεια, r ≈ r
* Equate Centripetal και βαρυτικές δυνάμεις:
* (m2 * v²) / r =g * (m * m2) / r²
* Ακύρωση δορυφορικής μάζας (M2) και απλοποιήστε:
* V² =G * m / r
* Αντικαταστήστε την ταχύτητα τροχιακής ταχύτητας (v) όσον αφορά την περίοδο (t):
* (2πr / t) ² =g * m / r
* Επίλυση για t:
* T² =(4π²r³) / (G * M)
* T =√ [(4π²r³) / (g * m)]
5. Συνδέστε τις τιμές και επίλυση
1. Προσδιορίστε τη μάζα του πλανήτη (m): Πρέπει να γνωρίζετε την ακτίνα του πλανήτη σιδήρου (R) για να υπολογίσετε τη μάζα του χρησιμοποιώντας τον τύπο για το M παραπάνω.
2. Αντικατάσταση m και r στην εξίσωση για t.
Παράδειγμα:
Ας υποθέσουμε ότι ο πλανήτης σιδήρου έχει ακτίνα (r) 6.371 χλμ. (Περίπου ακτίνα της Γης).
* Μάζα του πλανήτη (m):
* M =(4/3) π (6,371,000 m) ³ * (7874 kg/m³) ≈ 3,24 × 10² kg
* περίοδος τροχιάς (t):
* T =√ [(4π² (6,371,000 m) ³) / (6,674 × 10⁻ ⁻ N⋅m² / kg² * 3,24 × 10² kg)]
* T ≈ 5067 δευτερόλεπτα ≈ 1,41 ώρες
Σημαντική σημείωση: Αυτός ο υπολογισμός προϋποθέτει έναν απόλυτα σφαιρικό πλανήτη και παραμελεί τυχόν ατμοσφαιρικά αποτελέσματα ή παραλλαγές στην πυκνότητα του πλανήτη.
