Επιτέλους λύθηκε ένα μαθηματικό πρόβλημα δεκαετιών στην κβαντική ηλεκτροδυναμική
Ένα από τα μεγαλύτερα άλυτα μαθηματικά προβλήματα του κόσμου επιτέλους νικήθηκε. Ο Σπύρος Μιχαλάκης, ένας κβαντικός φυσικός από το Ινστιτούτο Κβαντικής Πληροφορίας και Ύλης του Caltech (IQIM) και ο Μάθιου Χάστινγκς, ερευνητής στη Microsoft, πιστώθηκαν τώρα με την οριστική επίλυση ενός μαθηματικού προβλήματος που σχετίζεται με το «φαινόμενο του κβαντικού Hall».—την τάση για ηλεκτρική αγωγιμότητα των υλικών ώστε να λαμβάνει ακέραιες τιμές σε πολύ χαμηλές θερμοκρασίες.
Το μαθηματικό πρόβλημα είναι ένα από τα 13 άλυτα προβλήματα φυσικής που προτάθηκαν για πρώτη φορά από τον φυσικό Michael Aizenman του Πρίνστον το 1999. Μέχρι σήμερα, αυτό είναι το πρώτο από αυτά τα 13 προβλήματα που επισημαίνονται ως οριστικά λυμένα, με ένα άλλο να σημειώνεται ως μερικώς λυμένο.
Αν και δημοσιεύτηκε αρχικά το 2015, η πυκνή μαθηματική απόδειξη των 40 σελίδων που παρουσίασαν οι Μιχαλάκης και Χέιστινγκς χρειάστηκε λίγο χρόνο για να αφομοιωθεί από τη μαθηματική κοινότητα. Στο ενημερωτικό δελτίο του Απριλίου 2018, η Διεθνής Ένωση για τη Μαθηματική Φυσική (IAMP) ανακοίνωσε ότι το πρόβλημα λύθηκε επίσημα. Η λύση είναι σημαντική καθώς αναδεικνύει δραματικά τη δύναμη και την κομψότητα της μαθηματικής θεωρητικής στον τομέα της φυσικής. Η φυσική είναι αξιοσημείωτη επειδή είναι ένας εξαιρετικά μαθηματικός και αφηρημένος κλάδος και μια σειρά από προόδους στη φυσική έχουν προέλθει από τη σφαίρα των καθαρών μαθηματικών. Ο Μιχαλάκης ελπίζει ότι η ανακάλυψη θα «τονώσει το ενδιαφέρον για τον τομέα της μαθηματικής φυσικής».
Κβαντικό φαινόμενο Hall:Παράξενη Συμπεριφορά ηλεκτρονίων
Το αρχικό φαινόμενο Hall περιγράφηκε για πρώτη φορά το 1879 από τον Αμερικανό φυσικό Έντουιν Χολ. Ο Hall παρατήρησε ότι μια τάση παρήχθη σε έναν ηλεκτρικό αγωγό όταν εισήγαγε ένα μαγνητικό πεδίο με ένα διάνυσμα κάθετο σε αυτό του ρεύματος του αγωγού. Η εξήγηση για αυτό το φαινόμενο είναι ότι το μαγνητικό πεδίο εκτρέπει την ευθεία διαδρομή των ηλεκτρονίων, με αποτέλεσμα να συσσωρεύονται δυσανάλογα στη μία πλευρά της αγώγιμης επιφάνειας, παράγοντας μια τάση στον αγωγό εγκάρσια προς τη ροή του ρεύματος. Η ανακάλυψη του αρχικού φαινομένου Hall ήταν αξιοσημείωτη καθώς προσέφερε την πρώτη πραγματική απόδειξη ότι τα ηλεκτρικά ρεύματα δημιουργήθηκαν από την κίνηση των ηλεκτρονίων και όχι των πρωτονίων.
Στη δεκαετία του 1980, τα πειράματα του Γερμανού φυσικού Klaus Von Klitzing ανακάλυψαν κάτι ενδιαφέρον. Οι αρχικές εξισώσεις του Hall που περιγράφουν το φαινόμενο προέβλεπαν ότι η ηλεκτρική αγωγιμότητα του υλικού Hall θα αυξανόταν γραμμικά και αναλογικά με την ισχύ του μαγνητικού πεδίου. Ο Von Klitzing ανακάλυψε, ωστόσο, ότι σε εξαιρετικά χαμηλές θερμοκρασίες η ηλεκτρική αγωγιμότητα δεν αυξάνεται γραμμικά ως προς το μέγεθος του μαγνητικού πεδίου. Αντίθετα, η ηλεκτρική αγωγιμότητα αυξήθηκε βήμα προς βήμα, λαμβάνοντας διαφορετικές ακέραιες τιμές. Ο Von Klitzing παρατήρησε ότι κάτω από ένα συγκεκριμένο θερμοδυναμικό όριο, η ηλεκτρική αγωγιμότητα του αγωγού Hall θα έπαιρνε διακριτές κβαντισμένες τιμές που διατηρούνταν ανεξάρτητα από την πυκνότητα ηλεκτρονίων του ρεύματος. Αυτό το εύρημα είναι παράξενο γιατί, όπως σημειώνει ο Hasting, "Αυτές οι ακαθαρσίες κατανέμονται τυχαία στο υλικό, ώστε να νομίζετε ότι θα είχαν τυχαία επίδραση στην αγωγιμότητα, αλλά δεν το κάνουν."
Για να θέσουμε το πρόβλημα με πιο γενικούς όρους, η κλασική φυσική προβλέπει ότι η ηλεκτρική αγωγιμότητα θα πρέπει να αυξάνεται ή να μειώνεται συνεχώς. Ο Von Litzing ανακάλυψε ότι, αντίθετα, η ηλεκτρική αγωγιμότητα θα έπαιρνε σταθερές διακριτές τιμές ανεξάρτητα από την πυκνότητα των ηλεκτρονίων στο ρεύμα. Το πρόβλημα είναι εντυπωσιακό για τους φυσικούς καθώς φαίνεται από τη μια πλευρά, σε ορισμένες θερμοκρασίες μια ομάδα ηλεκτρονίων ενεργεί σαν μια ενιαία οντότητα και εμφανίζει μια παγκόσμια ιδιότητα. Από την άλλη πλευρά, είναι κοινή λογική και αποδεκτή θεωρία ότι τα ηλεκτρικά ρεύματα αποτελούνται από πολλαπλές ανεξάρτητες οντότητες η καθεμία με τη δική της μοναδική δυναμική και ιδιότητες. Το κύριο μαθηματικό πρόβλημα που λύθηκε από το δίδυμο ήταν πώς να γεφυρώσει το χάσμα μεταξύ αυτών των όψεων και να εξηγήσει πώς μια κυμαινόμενη ποσότητα ηλεκτρονίων θα μπορούσε να εμφανίσει τις σταθερές και ισχυρές τιμές αγωγιμότητας που παρατήρησε ο Von Klitzing.
Η λύση
Το κλειδί για τη λύση βρέθηκε στην τοπολογία, ένα πεδίο αφιερωμένο στην περιγραφή των μαθηματικών ιδιοτήτων των γεωμετρικών επιφανειών. Ένα από τα πράγματα που μελετά η τοπολογία είναι αυτά που είναι γνωστά ως «τοπολογικά αμετάβλητα»—ιδιότητες γεωμετρικών επιφανειών που παραμένουν αμετάβλητες υπό ορισμένες αλλαγές σε αυτές τις επιφάνειες. Η βασική ιδέα για την απόδειξη ήταν ότι κάτι παρόμοιο συμβαίνει στο κβαντικό φαινόμενο Hall. η ηλεκτρική αγωγιμότητα του υλικού είναι αμετάβλητη σε σχέση με τις αλλαγές στην πυκνότητα ηλεκτρονίων σε αυτό το υλικό.
Ένα κοινό αξίωμα στην ηλεκτρική μηχανική είναι ότι «η ηλεκτρική ενέργεια ακολουθεί το μονοπάτι της ελάχιστης αντίστασης», τα ηλεκτρικά ρεύματα από τη φύση τους θα αναζητήσουν τα μονοπάτια που είναι πιο εύκολο να ακολουθηθούν. Ουσιαστικά, ο Μιχαλάκης και ο Χέιστινγκς απέδειξαν ότι τα κβαντικά συστήματα Hall έχουν ένα χαρακτηριστικό «μονοπάτι» που, κάτω από μια συγκεκριμένη κλίμακα (δηλαδή κβαντική κλίμακα) θα ακολουθούν πάντα τα ηλεκτρόνια, ανεξάρτητα από τον αριθμό των ηλεκτρονίων γύρω.
Για να δείξετε αυτό το σημείο, φανταστείτε ότι παρατηρείτε τη γη από το διάστημα. Σε αυτό το επίπεδο ανάλυσης, φαίνεται ότι η υδρόγειος είναι λεία και ότι κάποιος θα μπορούσε να ταξιδέψει γύρω της σχετικά ανεμπόδιστα. Φυσικά, όταν κάποιος πλησιάζει, βλέπει εμπόδια όπως βουνά και κοιλάδες που θα εμπόδιζαν την πορεία του. Αυτό που απέδειξαν μαθηματικά ο Μιχαλάκης και ο Χέιστινγκς ήταν ότι για οποιαδήποτε πιθανή καμπύλη γεωμετρική επιφάνεια, υπάρχει τουλάχιστον ένα επίπεδο «μονοπάτι» που δεν θα συναντήσει βυθίσεις ή κορυφές. Συμβαίνει ότι ο αριθμός των φορών που η διαδρομή περιστρέφεται γύρω από την επιφάνεια ενός κβαντικού συστήματος Hall είναι ακριβώς ίσος με την αγωγιμότητα Hall για αυτήν την επιφάνεια. Με άλλα λόγια, η επιφάνεια κάθε αγωγού Hall έχει μια προνομιακή «διαδρομή» την οποία, κάτω από ένα ορισμένο θερμοδυναμικό όριο, θα ακολουθήσουν όλα τα ηλεκτρόνια, εκδηλώνοντας έτσι ως σταθερές ακέραιες τιμές αγωγιμότητας. Σύμφωνα με τον Hastings, «Οι ακαθαρσίες είναι σαν μικρές παρακάμψεις που αποφασίζεις να κάνεις από το «χρυσό» μονοπάτι, καθώς ταξιδεύεις σε όλο τον κόσμο. Δεν θα επηρεάσουν πόσες φορές θα αποφασίσετε να γυρίσετε τον κόσμο."
Η συγκεκριμένη απόδειξη είναι σημαντική καθώς καταδεικνύει για άλλη μια φορά την επιστημονική γονιμότητα των αφηρημένων μαθηματικών τεχνικών. Η φυσική και τα μαθηματικά μοιράζονται εδώ και καιρό μια στενή σχέση, μια σχέση που φαίνεται να βαθαίνει μόνο με κάθε πρόοδο σε κάθε τομέα. Στην πραγματικότητα, αυτό ακριβώς φαίνεται να είναι το συναίσθημα του Μιχαλάκη που διακήρυξε, «όπως συμβαίνει συχνά με αποδείξεις σημαντικών προβλημάτων στα μαθηματικά, η λύση οδηγεί σε νέες ιδέες και τεχνικές που ανοίγουν τις πόρτες για την επίλυση πολλών άλλων σημαντικών ερωτημάτων». Ο Μιχαλάκης υποστηρίζει επίσης ότι η νέα κατανόηση θα μπορούσε να ανοίξει πιθανούς δρόμους έρευνας και εφαρμογών στον κβαντικό υπολογισμό και σε άλλες κβαντικές τεχνολογίες όπως οι υπεραγωγοί.
