Γιατί είναι Παραβολική η Κίνηση Βλημάτων;

Η κίνηση ενός βλήματος είναι παραβολική επειδή επηρεάζεται από τη βαρύτητα. Η βαρύτητα αναγκάζει το βλήμα να πέσει σε καμπύλη διαδρομή και όχι σε ευθεία γραμμή. Η εξίσωση για την κίνηση του βλήματος λαμβάνει υπόψη τη δύναμη της βαρύτητας, γι' αυτό η διαδρομή ενός βλήματος είναι πάντα παραβολή.

Γιατί μια βολίδα οβίδας από πυροβόλο δεν κατεβαίνει κάθετα, αλλά μάλλον καμπυλόγραμμα; Γιατί ένα πεταχτό ακόντιο σχεδιάζει ένα πολυτελές τόξο πριν τσιμπήσει το έδαφος; Ανεξάρτητα από τη φύση του βλήματος, το τόξο που διατρέχει ο αέρας είναι ακριβώς μια παραβολή.

Ο λόγος είναι φυσικά η βαρύτητα, η μόνη δύναμη που επηρεάζει την κίνησή του (παραμελώντας την αντίσταση του αέρα) αφού προβληθεί. Ωστόσο, αυτό που ουσιαστικά ρωτάμε είναι, γιατί η βαρύτητα το αναγκάζει να ανιχνεύσει μια παραβολή; Ο Κέπλερ ήξερε ότι οι πλανήτες περιφέρονταν γύρω από τον Ήλιο σε μια έλλειψη, αλλά δεν ήξερε γιατί το έκαναν. Στο ίδιο πνεύμα, Γιατί δεν έχει ένα βλήμα κανένα άλλο σχήμα εκτός από μια παραβολή;

Η Εξίσωση

Φυσικά, αυτό δεν ισχύει όταν ένα βλήμα προβάλλεται κάθετα στην επιφάνεια της Γης. Για να παρατηρήσουμε μια παραβολική τροχιά, πρέπει να την προβάλλουμε σε κάποια γωνία με την επιφάνεια. Παρόλο που καμία οριζόντια δύναμη δεν επηρεάζει ένα βλήμα μετά την εκτόξευση του, είναι η αρχική οριζόντια δύναμη που κάνει δυνατό το ένδοξο ταξίδι. Πώς αλλιώς θα μπορούσε ένα ακόντιο να διανύσει μια οριζόντια απόσταση αν δεν του ήταν εφοδιασμένο με οριζόντια δύναμη;

Τον 17ο αιώνα, η ανθρωπότητα δεν είχε ακόμη κατασκευάσει έναν πύραυλο και τα πιο ισχυρά τηλεσκόπια δεν μπορούσαν να κοιτάξουν μακρύτερα από τον Κρόνο. Παρά αυτούς τους περιορισμούς, πώς θα μπορούσε ο Νεύτωνας, εγκλωβισμένος σε ένα μικροσκοπικό δωμάτιο στην Αγγλία, να ανακαλύψει ότι οι πλανήτες περιφέρονται γύρω από τον Ήλιο και όχι –όπως πίστευαν (ή μάλλον ήλπιζαν) οι πιο επιφανείς φιλόσοφοι της εποχής– σε κύκλο, αλλά μάλλον σε μια έλλειψη; Μαθηματικά, φυσικά.

Ο Νεύτωνας απέδειξε τον ισχυρισμό του Κέπλερ ανακαλύπτοντας μια σχέση μεταξύ της απόστασης μεταξύ της Γης και του Ήλιου και της γωνίας που εκτείνεται ενώ περιστρέφεται γύρω του. Ανακάλυψε ότι ήταν ακριβώς η ίδια σχέση που περιγράφει ένα σημείο που ανιχνεύει μια έλλειψη. Ωστόσο, η αξιολόγησή του βασίστηκε στον πρόσφατα προτεινόμενο νόμο της βαρύτητας. Αν ο νόμος του ήταν αναληθής, η απόδειξή του θα κατέρρεε επίσης. Τώρα ξέρουμε ότι αυτό που πρότεινε ήταν αλήθεια. Ο Νεύτων δεν εξήγησε ποτέ τι είναι η βαρύτητα , αλλά εξήγησε όμορφα πώς λειτουργεί.

Ομοίως, για να προσδιορίσουμε ποια καμπύλη ακολουθεί ένα βλήμα, πρέπει να βρούμε μια εξίσωση που να περιγράφει την κίνησή του και την καμπύλη που αντιστοιχεί σε αυτήν.

(Προστασία φωτογραφίας:Sándor Zátonyi / Wikimedia Commons)

Το βλήμα εκτοξεύεται με αρχική ταχύτητα ‘v’ υπό γωνία ‘Φ’ ως προς την επιφάνεια. Η απόσταση που διανύει το βλήμα οριζόντια (στον άξονα Χ) δίνεται ως x =vtcosΦ (v=x/t). Ωστόσο, η απόσταση που διανύει κατακόρυφα (στον άξονα Υ) δίνεται ως y =vtsinΦ – (½)gt² . Αυτό συμβαίνει επειδή κατακόρυφα, το βλήμα υφίσταται μια δύναμη και επομένως επιτάχυνση, δηλαδή την επιτάχυνση λόγω της βαρύτητας, που συμβολίζεται με "g".

Τώρα, επειδή αυτή η επιτάχυνση είναι σταθερή, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την κινηματική εξίσωση s =ut + (½)at² για να υπολογίσετε την απόσταση ‘y’. Εδώ, το 'u' είναι η αρχική ταχύτητα, η οποία σε αυτήν την περίπτωση είναι vsinΦ και «a» είναι η σταθερή επιτάχυνση, που σε αυτή την περίπτωση είναι «-g», λόγω της επιλεγμένης σύμβασης. Επομένως, η κατακόρυφη απόσταση y =vtsinΦ – (½)gt² .

Για να βρούμε το 'y' ως προς το 'x' ή για να λάβουμε μια εξίσωση που περιγράφει τη σχέση μεταξύ 'y' και 'x', λύνουμε το 't' στην πρώτη εξίσωση και αντικαθιστούμε την τιμή του με 'y'. /P>