Οι φυσικοί επιτίθενται στην ερώτηση του 1.000.000 δολαρίων των μαθηματικών
Οι πρώτοι αριθμοί, τα αδιαίρετα άτομα της αριθμητικής, φαίνεται να είναι σκορπισμένα τυχαία κατά μήκος της αριθμητικής γραμμής, ξεκινώντας από το 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 και συνεχίζοντας χωρίς μοτίβο επ' άπειρον. Αλλά το 1859, ο μεγάλος Γερμανός μαθηματικός Bernhard Riemann υπέθεσε ότι η απόσταση των πρώτων αριθμών προκύπτει λογικά από άλλους αριθμούς, τώρα γνωστούς ως τα «μη τετριμμένα μηδενικά» της συνάρτησης ζήτα Riemann.
Η συνάρτηση ζήτα Riemann λαμβάνει εισόδους που μπορεί να είναι μιγαδικοί αριθμοί — που σημαίνει ότι έχουν και «πραγματικά» και «φανταστικά» στοιχεία — και αποδίδει άλλους αριθμούς ως εξόδους. Για ορισμένες εισόδους με μιγαδικές τιμές, η συνάρτηση επιστρέφει μια έξοδο μηδέν. Αυτές οι είσοδοι είναι τα «μη τετριμμένα μηδενικά» της συνάρτησης ζήτα. Ο Riemann ανακάλυψε έναν τύπο για τον υπολογισμό του αριθμού των πρώτων μέχρι κάθε δεδομένη αποκοπή αθροίζοντας μια ακολουθία αυτών των μηδενικών. Ο τύπος έδωσε επίσης έναν τρόπο μέτρησης των διακυμάνσεων των πρώτων αριθμών γύρω από την τυπική τους απόσταση — πόσο μεγαλύτερος ή μικρότερος ήταν ένας δεδομένος πρώτος σε σύγκριση με αυτό που θα μπορούσε να αναμένεται.
Ωστόσο, ο Riemann ήξερε ότι ο τύπος του θα ήταν έγκυρος μόνο εάν τα μηδενικά της συνάρτησης ζήτα ικανοποιούσαν μια ορισμένη ιδιότητα:τα πραγματικά τους μέρη έπρεπε όλα να είναι ίσα με ½. Διαφορετικά η φόρμουλα δεν είχε νόημα. Ο Riemann υπολόγισε τα πρώτα μη τετριμμένα μηδενικά της συνάρτησης ζήτα και επιβεβαίωσε ότι τα πραγματικά τους μέρη ήταν ίσα με ½. Ο υπολογισμός υποστήριξε την υπόθεσή του ότι όλα τα μηδενικά είχαν αυτή την ιδιότητα, και επομένως ότι η απόσταση όλων των πρώτων αριθμών ακολουθούσε από τη συνάρτησή του. Ωστόσο, σημείωσε ότι «χωρίς αμφιβολία θα ήταν επιθυμητό να έχουμε μια αυστηρή απόδειξη αυτής της πρότασης».
Ενάμιση αιώνα αργότερα, η απόδειξη της υπόθεσης Riemann παραμένει αναμφισβήτητα το πιο σημαντικό άλυτο πρόβλημα στα καθαρά μαθηματικά - ένα πρόβλημα του οποίου η λύση θα έπαιρνε ένα Βραβείο Χιλιετίας $1 εκατομμυρίου από το Clay Mathematics Institute. Αντίθετα, όπως έγραψε ο θεωρητικός αριθμών Enrico Bombieri στην περιγραφή του προβλήματος, «η αποτυχία της υπόθεσης Riemann θα δημιουργούσε όλεθρο στην κατανομή των πρώτων αριθμών».
Καθώς οι μαθηματικοί έχουν επιτεθεί στην υπόθεση από κάθε οπτική γωνία, το πρόβλημα έχει επίσης μεταναστεύσει στη φυσική. Από τη δεκαετία του 1940, έχουν προκύψει ενδιαφέρουσες υποδείξεις για μια σύνδεση μεταξύ των μηδενικών της συνάρτησης ζήτα και της κβαντικής μηχανικής. Για παράδειγμα, οι ερευνητές διαπίστωσαν ότι η απόσταση των μηδενικών εμφανίζει το ίδιο στατιστικό μοτίβο με τα φάσματα των επιπέδων ατομικής ενέργειας. Το 1999, οι μαθηματικοί φυσικοί Michael Berry και Jonathan Keating, βασιζόμενοι σε μια προηγούμενη εικασία των David Hilbert και George Pólya, υπέθεσαν ότι υπάρχει ένα κβαντικό σύστημα (δηλαδή, ένα σύστημα με θέση και ορμή που σχετίζονται με την αρχή της αβεβαιότητας του Heisenberg ) των οποίων τα ενεργειακά επίπεδα αντιστοιχούν ακριβώς στα μη τετριμμένα μηδενικά της συνάρτησης ζήτα Riemann. Καθένα από αυτά τα επίπεδα ενέργειας, E n , αντιστοιχεί σε ένα μηδέν της μορφής Z n =½ + iE n , που έχει ένα πραγματικό μέρος ίσο με ½ και ένα φανταστικό μέρος που σχηματίζεται πολλαπλασιάζοντας το E n με τον φανταστικό αριθμό i .
Εάν υπήρχε ένα τέτοιο κβαντικό σύστημα, αυτό θα συνεπαγόταν αυτόματα την υπόθεση Riemann. Ο λόγος είναι ότι τα ενεργειακά επίπεδα των κβαντικών συστημάτων είναι πάντα πραγματικοί αριθμοί (σε αντίθεση με τους φανταστικούς), αφού η ενέργεια είναι ένα φυσικό μετρήσιμο μέγεθος. Και αφού το E n είναι καθαρά αληθινά, γίνονται καθαρά φανταστικά όταν πολλαπλασιάζονται με i στον τύπο για το αντίστοιχο Z n 'μικρό. Δεν υπάρχει ποτέ περίπτωση ένα φανταστικό μέρος του E n πολλαπλασιάζεται με i , ακυρώνοντας τη φανταστική του ιδιότητα και καθιστώντας την πραγματική, έτσι ώστε στη συνέχεια να συνεισφέρει στην πραγματική συνιστώσα του Z n και το αλλάζει από ½ σε κάτι άλλο. Εφόσον τα ενεργειακά επίπεδα είναι πάντα πραγματικά, τα πραγματικά μέρη των μηδενικών της συνάρτησης ζήτα θα ήταν πάντα ½ και η υπόθεση Riemann θα ήταν επομένως αληθινή.
Οι φυσικοί αναζητούν από το 1999 για ένα κβαντικό σύστημα του οποίου τα επίπεδα ενέργειας αντιστοιχούν στα μηδενικά της συνάρτησης ζήτα. Σε μια εργασία που δημοσιεύτηκε στις 30 Μαρτίου στο Physical Review Letters , ο Carl Bender του Πανεπιστημίου της Ουάσιγκτον στο Σεντ Λούις, ο Dorje Brody από το Πανεπιστήμιο Brunel του Λονδίνου και ο Markus Müller από το Πανεπιστήμιο του Δυτικού Οντάριο πρότειναν ένα τέτοιο σύστημα υποψηφίων. Αλλά είναι περίεργο — και εξωτερικοί ειδικοί λένε ότι είναι πολύ νωρίς για να πούμε αν θα οδηγήσει σε απόδειξη.
Κανονικά, οι φυσικοί περιγράφουν κβαντικά συστήματα που χρησιμοποιούν εξαιρετικά συμμετρικούς μαθηματικούς πίνακες των οποίων οι λύσεις, ή «ιδιοτιμές», αντιστοιχούν στα ενεργειακά επίπεδα του συστήματος. Οι συμμετρίες αυτών των πινάκων συνήθως εγγυώνται ότι οι φανταστικοί αριθμοί ακυρώνονται και οι ιδιοτιμές είναι πραγματικές, έτσι ώστε αυτοί οι πίνακες να έχουν νόημα ως περιγραφές φυσικών συστημάτων. Αλλά για 20 χρόνια, οι Bender και Brody μελέτησαν περιγραφές μήτρας κβαντικών συστημάτων που χαλαρώνουν τις συνήθεις απαιτήσεις συμμετρίας και σέβονται μια ασθενέστερη ιδιότητα που ονομάζεται συμμετρία ισοτιμίας-χρόνου (ή PT). Μετά από μια συνομιλία με τον Müller το 2015, ανακάλυψαν ότι μπορούσαν να γράψουν έναν συμμετρικό πίνακα PT του οποίου οι ιδιοτιμές αντιστοιχούν στα μη τετριμμένα μηδενικά της συνάρτησης ζήτα Riemann. «Αυτό ήταν μια πραγματική έκπληξη για εμάς», είπε ο Brody. Ωστόσο, επειδή ο πίνακας ήταν μόνο συμμετρικός PT, αντί να ακολουθεί τις συνήθεις αυστηρότερες συμμετρίες, δεν είναι εγγυημένο ότι θα έχει πραγματικές ιδιοτιμές — την ιδιότητα που θα διασφάλιζε ότι τα αντίστοιχα μηδενικά έχουν πραγματικά μέρη ίσα με ½.
Οι ερευνητές εξέθεσαν αρκετά επιχειρήματα για το γιατί οι ιδιοτιμές του πίνακα τους είναι πιθανώς πραγματικές και γιατί, στην περίπτωση αυτή, η υπόθεση Riemann είναι πιθανώς σωστή, αλλά δεν κατάφεραν να το αποδείξουν. «Αν θα είναι δύσκολο ή εύκολο να συμπληρωθούν τα βήματα που λείπουν, σε αυτό το σημείο δεν μπορούμε να κάνουμε εικασίες», είπε ο Μπρόντι. «Χρειάζεται περαιτέρω δουλειά για να έχετε καλύτερη αίσθηση ως προς την κλίμακα δυσκολίας που συνεπάγεται».
Οι ειδικοί λένε ότι η νέα πρόταση είναι ενδιαφέρουσα, αλλά δεν είναι βέβαιο εάν τα επιχειρήματα των συγγραφέων σχετικά με το αντισυμβατικό κβαντικό τους σύστημα μπορούν να γίνουν αυστηρά. «Θα χρειαζόμουν περισσότερο χρόνο για να δώσω μια σχετική γνώμη σχετικά με τη σημασία των ευρημάτων τους ως στρατηγική προς την υπόθεση Riemann», δήλωσε ο Paul Bourgade, μαθηματικός στο Πανεπιστήμιο της Νέας Υόρκης. Συγκεκριμένα, είπε ο Bourgade, θα ήθελε να διερευνήσει λεπτομερέστερα πώς το προτεινόμενο κβαντικό σύστημα συγκρίνεται με ένα που είχε προταθεί προηγουμένως από τους Berry και Keating που δεν έχει δώσει συγκεκριμένη απόδειξη.
Εάν οι φυσικοί κάποτε καταγράψουν την κβαντική ερμηνεία των μηδενικών της συνάρτησης ζήτα, σύμφωνα με τον Bourgade, αυτό θα μπορούσε να δώσει έναν ακόμη πιο ακριβή χειρισμό στους πρώτους αριθμούς από τον τύπο του Riemann, καθώς οι ιδιοτιμές του πίνακα ακολουθούν πολύ καλά κατανοητές στατιστικές κατανομές. Θα είχε και άλλες συνέπειες. Ο Μπέρι ελπίζει ότι ένα κβαντικό σύστημα που βρίσκεται κάτω από τους πρώτους θα χρησιμεύσει ως ένα απλό μοντέλο χάους, δείχνοντας πώς η χαοτική συμπεριφορά που σχετίζεται με τους πρώτους μπορεί να προκύψει από ένα μη χαοτικό κβαντικό σύστημα. Αλλά δεν είμαστε ακόμα εκεί. Λαμβάνοντας υπόψη πόσο καιρό η υπόθεση Riemann αντιστέκεται σε μια οριστική απόδειξη, ο Berry προέτρεψε να είμαστε προσεκτικοί όταν διαβάζουμε πάρα πολύ σε οποιαδήποτε μερική πρόοδο. «Αυτή η πιο πρόσφατη συνεισφορά στην υπόθεση του Riemann αντικατοπτρίζει τέλεια το ρητό του Piet Hein», είπε ο Berry:«Τα προβλήματα που αξίζει να επιτεθούν αποδεικνύουν την αξία τους με το να αντεπιτεθούν».
Διόρθωση:Στις 5 Απριλίου, αυτή η ανάρτηση άλλαξε για να αντικατοπτρίζει την τρέχουσα κύρια συνεργασία του Ντόρτζε Μπρόντι στο Πανεπιστήμιο Brunel του Λονδίνου, αντί για το Imperial College του Λονδίνου, όπου εργαζόταν στο παρελθόν και παραμένει επισκέπτης καθηγητής.
