Σημασία της περιοχής κάτω από την καμπύλη
Αντιπαράγωγο ή ολοκλήρωση είναι η προσθήκη φαινομενικά απείρως μικρών δεδομένων που συγκεντρώνονται από τη διαδικασία της ενοποίησης. Η αναζήτηση μέχρι την ελληνική ένταξη ήταν μέρος του προγράμματος σπουδών των μαθηματικών εδώ και πολύ καιρό. Ωστόσο, κατά την εποχή του Νεύτωνα έγινε αντιληπτό ότι τόσο η ολοκλήρωση όσο και η διαφοροποίηση είναι αντίστροφες πράξεις. Έτσι τα σύνθετα σχήματα χωρίς καθορισμένη μορφή υπολογίζονται χρησιμοποιώντας τη μορφή της ολοκλήρωσης. για τα εύκολα σχήματα, ο τύπος ισχύει πάντα. Ωστόσο, οι απροσδιόριστες δομές υπολογίζονται με τη βοήθεια της ολοκλήρωσης.
Το σύμβολο ολοκλήρωσης αντιπροσωπεύεται από "∫".
Υπολογισμός του εμβαδού κάτω από ένα γράφημα
Το αντιπαράγωγο ή η ολοκλήρωση ενός γραφήματος βοηθά στον υπολογισμό της περιοχής των σχημάτων που δεν μπορούν να καθοριστούν ή εκείνων που είναι δεν δεσμεύεται από ορισμένες. Είναι σίγουρα πιο δύσκολο να υπολογιστεί πότε εμπλέκονται καμπύλες επιφάνειες. Οπότε βασικά, εάν πρέπει να υπολογίσουμε το εμβαδόν της καμπύλης που δίνεται παρακάτω:-
Μέθοδος εύρεσης της περιοχής κάτω από την καμπύλη
Θα πρέπει να το λύσουμε με τις ακόλουθες μεθόδους εάν η καμπύλη δίνεται σύμφωνα με τον άξονα x, όπως y=f(x). Έτσι, ο τύπος εύρεσης του εμβαδού κάτω από την καμπύλη y φαίνεται παρακάτω:
abf(x)dx
Ο υπολογισμός της περιοχής πραγματοποιείται στα ακόλουθα βήματα:
A=baydx
A=baf(x)dx
A=[g(x)]ba
A=g(a)-g(b)
Ομοίως, για τον άξονα y το αντίστροφο είναι. Ωστόσο, η συνάρτηση είναι x=f(y):
A=baxdy
A=baf(y)dy
A=[g(y)]ba
A=g(a)-g(b)
Εδώ το g αντιπροσωπεύει την ολοκληρωμένη συνάρτηση της εξίσωσης. Ωστόσο, για τον υπολογισμό αυτού, πρέπει να έχουμε κάποια δεδομένα ή τιμές που παρέχονται ήδη με το γράφημα, την εξίσωση και τις τιμές όπως το a και το b.
Εφαρμογή στη φυσική
Όπως όλοι γνωρίζουμε, η φυσική είναι εφαρμοσμένα μαθηματικά. Η χρήση του ολοκληρωτικού λογισμού και του υπολογισμού του εμβαδού είναι πολύ σημαντική για τον υπολογισμό των τιμών ορισμένων τιμών της φυσικής, ειδικά στους νόμους του Νεύτωνα ή σε θέματα που προέρχονται από αυτά όπως η κινηματική και η εργασία. Και τα δύο είναι εκπληκτικά παραδείγματα χρήσεων του ολοκληρωτικού λογισμού του εμβαδού κάτω από την καμπύλη.
Έτσι οι κύριες εφαρμογές στη φυσική είναι
Ένα ολοκλήρωμα γραμμής χρησιμοποιείται κάθε φορά που απαιτείται για να μάθουμε πόσο από ένα διάνυσμα έχει συσσωρευτεί κατά μήκος μιας διαδρομής. Το κλασικό παράδειγμα είναι ότι η εργασία εκφράζεται ως το ολοκλήρωμα γραμμής W=Fdx
W=Fdx αποτυπώνει την ιδέα της "συσσώρευσης εργασίας κατά μήκος της διαδρομής" , αλλά η έννοια μπορεί να εμφανιστεί σε πολλά σημεία (τα βέλη καθορίζουν τους διανυσματικούς παράγοντες και τον υπολογισμό και φαίνονται έτσι ώστε να μην συγχέονται με τα βαθμωτά γινόμενα).
Ο νόμος του Gauss δεν διατυπώνεται ως ολοκλήρωμα γραμμής αλλά μάλλον ως ολοκλήρωμα επιφάνειας. Εδώ, η ιδέα συλλαμβάνει «έχω μια μπάλα και πρέπει να υπολογίσω πόσο ηλεκτρικό πεδίο φεύγει από την μπάλα». Αυτό γίνεται με τον υπολογισμό της μικρής ποσότητας ηλεκτρικού πεδίου που αφήνει κάθε τμήμα της μπάλας και στη συνέχεια προσθέτοντάς τα όλα. Αυτό γίνεται φυσικά με ένα ολοκλήρωμα επιφάνειας.
Γενικά, εάν κάποιος έχει μια ομάδα μεταβαλλόμενων διανυσματικών μεγεθών και απαιτείται να υπολογίσει αριθμούς μαζί τους σε απόσταση μεγαλύτερη από ένα σημείο , τότε είναι πιθανό να κάνει κάποιου είδους διανυσματικό λογισμό. Οι εφαρμογές του ολοκληρώματος περιοχής στη φυσική αναλύονται λεπτομερώς παρακάτω.
Εργασία που ολοκληρώθηκε με μεταβλητή δύναμη:-
W=Fx είναι μια συγκεκριμένη περίπτωση της βασικής σχέσης εργασίας που ισχύει μόνο σε συνεχή δύναμη κατά μήκος μιας ευθείας γραμμής. Η περιοχή του παραλληλογράμμου που εμφανίζεται, όπου η δύναμη F απεικονίζεται ως συνάρτηση της απόστασης, προσδιορίζεται από αυτή τη σύνδεση. Το έργο μπορεί ακόμα να εκτιμηθεί ως η περιοχή κάτω από την καμπύλη στο γενικότερο παράδειγμα μιας δύναμης που αλλάζει με την απόσταση. Η περιοχή κάτω από την καμπύλη, για παράδειγμα, μπορεί εύκολα να υπολογιστεί ως το εμβαδόν του τριγώνου για την εργασία που έγινε για την επέκταση ενός ελατηρίου. Δεδομένου ότι το ολοκλήρωμα της δύναμης σε όλο το εύρος απόστασης ισούται με την περιοχή κάτω από την καμπύλη δύναμης, θα μπορούσε επίσης να χρησιμοποιηθεί λογισμός:
Work =0xmF(x)dx =0xmkx dx =12kxm2 >
Νόμος του Gauss
Αν και ο νόμος του Gauss δεν αφορά άμεσα το ηλεκτρικό πεδίο, είναι περίπου η ηλεκτρική ροή? είναι εξαιρετικά χρήσιμο στον προσδιορισμό εκφράσεων για το ηλεκτρικό πεδίο. Μπορούμε να προσδιορίσουμε το ηλεκτρικό πεδίο από τη γνώση της ηλεκτρικής ροής σε περιπτώσεις όπου η κατανομή φορτίου έχει ιδιαίτερες συμμετρίες (σφαιρική, κυλινδρική ή επίπεδη). Μπορούμε να αναγνωρίσουμε μια επιφάνεια Gauss S, En=E σε αυτά τα συστήματα στα οποία το ηλεκτρικό πεδίο έχει σταθερό πλάτος En=-E ισχύει επίσης αν το E είναι παράλληλο με το n παντού στην επιφάνεια. (Επιφανειακά, αν τα E και n είναι παντού αντιπαράλληλα, τότε η τιμή γίνεται:
=sE.ndA=EsdA =EA =qenc0
Εδώ τα γράμματα αντιπροσωπεύουν,
E=ηλεκτρικό πεδίο,
n=αριθμός στροφών στο πηνίο,
A=Εμβαδόν της επιφάνειας,
q=εσώκλειστη χρέωση
0=διαπερατότητα του κενού.
Διανυσματικός λογισμός
Στο διανυσματικό λογισμό, στον οποίο υπάρχουν και οι δύο υπολογισμοί που σχετίζονται με το διάστημα και το Οι απαραίτητες θέσεις ενός σώματος στον τρισδιάστατο χώρο και η ταχύτητά του και άλλα διανυσματικά προγράμματα που σχετίζονται με το χώρο και τις διαστάσεις αποτελούν μέρος του υπολογισμού τόσο του προγράμματος σπουδών των μαθηματικών όσο και της φυσικής.
Συμπέρασμα
Η εφαρμογή των ενοποιήσεων καθορίζεται από τους τομείς στους οποίους χρησιμοποιείται αυτός ο λογισμός. Στην ολοκλήρωση κάτω από μια καμπύλη χρησιμοποιείται γενικά για την εύρεση της περιοχής των σχημάτων που δεν ορίζονται σωστά, ακόμα κι αν είναι έτσι υπό μια περιοδική κίνηση που έχει πλάτος ή υπό την προϋπόθεση ορισμένων συναρτήσεων ημιτονοειδούς ή συν. Τέτοιες συναρτήσεις είναι δύσκολο να υπολογιστούν χωρίς τη βοήθεια της ολοκλήρωσης, επομένως πρέπει να υπολογίζουμε χρησιμοποιώντας την ολοκλήρωση αντί να εξαρτόμαστε από τους παλιούς τύπους ή μεθόδους.
