Οι κβαντικές ερωτήσεις εμπνέουν νέα μαθηματικά

Τα μαθηματικά μπορεί να είναι περισσότερο περιβαλλοντική επιστήμη από ό,τι φανταζόμαστε. Παρόλο που είναι μια αναζήτηση για αιώνιες αλήθειες, πολλές μαθηματικές έννοιες εντοπίζουν την προέλευσή τους στην καθημερινή εμπειρία. Η αστρολογία και η αρχιτεκτονική ενέπνευσαν Αιγύπτιους και Βαβυλώνιους να αναπτύξουν τη γεωμετρία. Η μελέτη της μηχανικής κατά την επιστημονική επανάσταση του 17ου αιώνα μας έφερε τον λογισμό.

Είναι αξιοσημείωτο ότι οι ιδέες από την κβαντική θεωρία αποδεικνύεται ότι έχουν επίσης τεράστια μαθηματική δύναμη, παρόλο που έχουμε μικρή καθημερινή εμπειρία όσον αφορά τα στοιχειώδη σωματίδια. Ο παράξενος κόσμος της κβαντικής θεωρίας - όπου τα πράγματα μπορεί να φαίνονται να βρίσκονται σε δύο μέρη ταυτόχρονα και υπόκεινται στους νόμους των πιθανοτήτων - όχι μόνο αντιπροσωπεύει μια πιο θεμελιώδη περιγραφή της φύσης από αυτή που προηγήθηκε, αλλά παρέχει επίσης ένα πλούσιο πλαίσιο για σύγχρονα μαθηματικά. Θα μπορούσε η λογική δομή της κβαντικής θεωρίας, αφού γίνει πλήρως κατανοητή και απορροφηθεί, να εμπνεύσει ένα νέο βασίλειο των μαθηματικών που θα μπορούσε να ονομαστεί «κβαντικά μαθηματικά»;

Υπάρχει φυσικά μια μακροχρόνια και στενή σχέση μεταξύ των μαθηματικών και της φυσικής. Ο Γαλιλαίος έγραψε για ένα βιβλίο της φύσης που περιμένει να αποκωδικοποιηθεί:«Η φιλοσοφία είναι γραμμένη σε αυτό το μεγαλειώδες βιβλίο, το σύμπαν, που στέκεται συνεχώς ανοιχτό στο βλέμμα μας. Αλλά το βιβλίο δεν μπορεί να γίνει κατανοητό αν πρώτα δεν μάθει κανείς να κατανοεί τη γλώσσα και να διαβάσει τα γράμματα με τα οποία συντάσσεται. Είναι γραμμένο στη γλώσσα των μαθηματικών». Από τις πιο σύγχρονες εποχές μπορούμε να αναφέρουμε τον Richard Feynman, ο οποίος δεν ήταν γνωστός ως γνώστης των αφηρημένων μαθηματικών:«Για όσους δεν γνωρίζουν μαθηματικά είναι δύσκολο να αποκτήσουν ένα πραγματικό συναίσθημα ως προς την ομορφιά, τη βαθύτερη ομορφιά της φύσης. … Αν θέλετε να μάθετε για τη φύση, να εκτιμήσετε τη φύση, είναι απαραίτητο να κατανοήσετε τη γλώσσα στην οποία μιλάει». (Από την άλλη πλευρά, δήλωσε επίσης:«Αν όλα τα μαθηματικά εξαφανίζονταν σήμερα, η φυσική θα καθυστερούσε ακριβώς μια εβδομάδα», στην οποία ένας μαθηματικός είχε την έξυπνη απάντηση:«Αυτή ήταν η εβδομάδα που ο Θεός δημιούργησε τον κόσμο».) /P>

Ο μαθηματικός φυσικός και νομπελίστας Eugene Wigner έχει γράψει εύγλωττα για την εκπληκτική ικανότητα των μαθηματικών να περιγράφουν την πραγματικότητα, χαρακτηρίζοντάς την ως «την παράλογη αποτελεσματικότητα των μαθηματικών στις φυσικές επιστήμες». Οι ίδιες μαθηματικές έννοιες εμφανίζονται σε ένα ευρύ φάσμα πλαισίων. Αλλά αυτές τις μέρες φαίνεται ότι γινόμαστε μάρτυρες του αντιθέτου:της αδικαιολόγητης αποτελεσματικότητας της κβαντικής θεωρίας στα σύγχρονα μαθηματικά. Οι ιδέες που προέρχονται από τη σωματιδιακή φυσική έχουν μια παράξενη τάση να εμφανίζονται στα πιο διαφορετικά μαθηματικά πεδία. Αυτό ισχύει ιδιαίτερα για τη θεωρία χορδών. Η διεγερτική επιρροή του στα μαθηματικά θα έχει διαρκή και ικανοποιητικό αντίκτυπο, όποιος κι αν είναι ο τελικός του ρόλος στη θεμελιώδη φυσική. Ο αριθμός των κλάδων που αγγίζει είναι ιλιγγιώδης:ανάλυση, γεωμετρία, άλγεβρα, τοπολογία, θεωρία αναπαράστασης, συνδυαστική, πιθανότητες — η λίστα συνεχίζεται και συνεχίζεται. Αρχίζει κανείς να λυπάται τους φτωχούς μαθητές που πρέπει να τα μάθουν όλα αυτά!

Ποιος θα μπορούσε να είναι ο βαθύς λόγος για αυτήν την παράλογη αποτελεσματικότητα της κβαντικής θεωρίας; Κατά την άποψή μου, συνδέεται στενά με το γεγονός ότι στον κβαντικό κόσμο ό,τι μπορεί να συμβεί συμβαίνει.

Με πολύ σχηματικό τρόπο, η κλασική μηχανική προσπαθεί να υπολογίσει πώς ένα σωματίδιο ταξιδεύει από το A στο B . Για παράδειγμα, η προτιμώμενη διαδρομή θα μπορούσε να είναι κατά μήκος μιας γεωδαισιακής - μια διαδρομή ελάχιστου μήκους σε έναν καμπύλο χώρο. Στην κβαντομηχανική εξετάζεται αντ' αυτού η συλλογή όλων των πιθανών μονοπατιών από το A στο B , όσο μακρύς και περίπλοκος κι αν είναι. Αυτή είναι η περίφημη ερμηνεία του Feynman «άθροισμα πάνω από τις ιστορίες». Οι νόμοι της φυσικής θα αποδώσουν στη συνέχεια σε κάθε μονοπάτι ένα ορισμένο βάρος που καθορίζει την πιθανότητα ένα σωματίδιο να κινηθεί κατά μήκος αυτής της συγκεκριμένης τροχιάς. Η κλασική λύση που υπακούει στους νόμους του Νεύτωνα είναι απλώς η πιο πιθανή από πολλές. Έτσι, με φυσικό τρόπο, η κβαντική φυσική μελετά το σύνολο όλων των μονοπατιών, ως ένα σταθμισμένο σύνολο, επιτρέποντάς μας να αθροίσουμε όλες τις πιθανότητες.

Αυτή η ολιστική προσέγγιση της εξέτασης των πάντων ταυτόχρονα είναι πολύ στο πνεύμα των σύγχρονων μαθηματικών, όπου η μελέτη των «κατηγοριών» αντικειμένων εστιάζει πολύ περισσότερο στις αμοιβαίες σχέσεις παρά σε οποιοδήποτε συγκεκριμένο μεμονωμένο παράδειγμα. Είναι αυτή η οπτική γωνία της κβαντικής θεωρίας που αναδεικνύει εκπληκτικές νέες συνδέσεις.

Κβαντικοί Υπολογιστές

Ένα εντυπωσιακό παράδειγμα της μαγείας της κβαντικής θεωρίας είναι η συμμετρία καθρέφτη - μια πραγματικά εκπληκτική ισοδυναμία χώρων που έχει φέρει επανάσταση στη γεωμετρία. Η ιστορία ξεκινά από την αριθμητική γεωμετρία, έναν καθιερωμένο, αλλά όχι πολύ συναρπαστικό κλάδο της αλγεβρικής γεωμετρίας που μετράει αντικείμενα. Για παράδειγμα, οι ερευνητές μπορεί να θέλουν να μετρήσουν τον αριθμό των καμπυλών στους χώρους Calabi-Yau — εξαδιάστατες λύσεις των εξισώσεων βαρύτητας του Αϊνστάιν που παρουσιάζουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον στη θεωρία χορδών, όπου χρησιμοποιούνται για να τυλίξουν επιπλέον διαστάσεις του χώρου.

Ακριβώς όπως μπορείτε να τυλίξετε ένα λάστιχο γύρω από έναν κύλινδρο πολλές φορές, οι καμπύλες σε ένα χώρο Calabi-Yau ταξινομούνται με έναν ακέραιο αριθμό, που ονομάζεται βαθμός, που μετρά πόσο συχνά τυλίγονται γύρω. Η εύρεση των αριθμών των καμπυλών ενός δεδομένου βαθμού είναι ένα περίφημο δύσκολο πρόβλημα, ακόμη και για τον απλούστερο χώρο Calabi-Yau, το λεγόμενο quintic. Ένα κλασικό αποτέλεσμα του 19ου αιώνα δηλώνει ότι ο αριθμός των γραμμών - καμπύλες βαθμού 1 - είναι ίσος με 2.875. Ο αριθμός των καμπυλών βαθμών δύο υπολογίστηκε μόλις γύρω στο 1980 και αποδεικνύεται ότι είναι πολύ μεγαλύτερος:609.250. Αλλά ο αριθμός των καμπυλών του βαθμού τρία απαιτούσε τη βοήθεια των θεωρητικών χορδών.

Γύρω στο 1990, μια ομάδα θεωρητικών χορδών ζήτησε από γεωμέτρους να υπολογίσουν αυτόν τον αριθμό. Οι γεωμέτροι επινόησαν ένα περίπλοκο πρόγραμμα υπολογιστή και επέστρεψαν με μια απάντηση. Αλλά οι θεωρητικοί χορδών υποψιάστηκαν ότι ήταν λανθασμένο, γεγονός που υποδηλώνει ένα λάθος στον κώδικα. Μετά από έλεγχο, οι γεωμέτροι επιβεβαίωσαν ότι υπήρχε, αλλά πώς το ήξεραν οι φυσικοί;

Οι θεωρητικοί χορδών είχαν ήδη εργαστεί για να μεταφράσουν αυτό το γεωμετρικό πρόβλημα σε φυσικό. Με αυτόν τον τρόπο, είχαν αναπτύξει έναν τρόπο να υπολογίζουν ταυτόχρονα τον αριθμό των καμπυλών οποιουδήποτε βαθμού. Είναι δύσκολο να υπερεκτιμηθεί το σοκ αυτού του αποτελέσματος στους μαθηματικούς κύκλους. Ήταν λίγο σαν να επινοούσα έναν τρόπο για να ανέβεις σε κάθε βουνό, όσο ψηλά κι αν ήταν!

Μέσα στην κβαντική θεωρία είναι απολύτως λογικό να συνδυάζονται οι αριθμοί των καμπυλών όλων των βαθμών σε μια ενιαία κομψή συνάρτηση. Συναρμολογημένο με αυτόν τον τρόπο, έχει μια απλή φυσική ερμηνεία. Μπορεί να θεωρηθεί ως ένα πλάτος πιθανότητας για μια χορδή που διαδίδεται στον χώρο Calabi–Yau, όπου έχει εφαρμοστεί η αρχή του αθροίσματος επί των ιστοριών. Μια συμβολοσειρά μπορεί να θεωρηθεί ότι διερευνά όλες τις πιθανές καμπύλες κάθε πιθανού βαθμού ταυτόχρονα και είναι επομένως ένας εξαιρετικά αποδοτικός «κβαντικός υπολογιστής».

Αλλά ένα δεύτερο συστατικό ήταν απαραίτητο για να βρεθεί η πραγματική λύση:μια ισοδύναμη διατύπωση της φυσικής χρησιμοποιώντας έναν λεγόμενο «καθρέφτη» χώρο Calabi–Yau. Ο όρος «καθρέφτης» είναι απατηλά απλός. Σε αντίθεση με τον τρόπο που ένας συνηθισμένος καθρέφτης αντανακλά μια εικόνα, εδώ ο αρχικός χώρος και ο καθρέφτης του έχουν πολύ διαφορετικά σχήματα. δεν έχουν καν την ίδια τοπολογία. Αλλά στον τομέα της κβαντικής θεωρίας, μοιράζονται πολλές ιδιότητες. Συγκεκριμένα, η διάδοση της χορδής και στα δύο κενά αποδεικνύεται πανομοιότυπη. Ο δύσκολος υπολογισμός στην αρχική πολλαπλότητα μεταφράζεται σε μια πολύ απλούστερη έκφραση στην πολλαπλή καθρέφτη, όπου μπορεί να υπολογιστεί με ένα μόνο ολοκλήρωμα. Et voilà!

Δυαδικότητα ίσων

Η κατοπτρική συμμετρία απεικονίζει μια ισχυρή ιδιότητα της κβαντικής θεωρίας που ονομάζεται δυαδικότητα:Δύο κλασικά μοντέλα μπορούν να γίνουν ισοδύναμα όταν θεωρούνται κβαντικά συστήματα, σαν να κυματίζει ένα μαγικό ραβδί και όλες οι διαφορές ξαφνικά εξαφανίζονται. Οι δυαδότητες δείχνουν βαθιές αλλά συχνά μυστηριώδεις συμμετρίες της υποκείμενης κβαντικής θεωρίας. Γενικά, είναι ελάχιστα κατανοητές και αποτελεί ένδειξη ότι η κατανόησή μας για την κβαντική θεωρία είναι ελλιπής στην καλύτερη περίπτωση.

Το πρώτο και πιο διάσημο παράδειγμα μιας τέτοιας ισοδυναμίας είναι η γνωστή δυαδικότητα σωματιδίου-κύματος που δηλώνει ότι κάθε κβαντικό σωματίδιο, όπως ένα ηλεκτρόνιο, μπορεί να θεωρηθεί και ως σωματίδιο και ως κύμα. Και οι δύο απόψεις έχουν τα πλεονεκτήματά τους, προσφέροντας διαφορετικές οπτικές γωνίες για το ίδιο φυσικό φαινόμενο. Η «σωστή» άποψη - σωματίδιο ή κύμα - καθορίζεται αποκλειστικά από τη φύση της ερώτησης, όχι από τη φύση του ηλεκτρονίου. Οι δύο πλευρές της συμμετρίας κατόπτρου προσφέρουν διπλές και εξίσου έγκυρες προοπτικές για την «κβαντική γεωμετρία».

Τα μαθηματικά έχουν την υπέροχη ικανότητα να συνδέουν διαφορετικούς κόσμους. Το σύμβολο που παραβλέπεται περισσότερο σε οποιαδήποτε εξίσωση είναι το ταπεινό σύμβολο της ισότητας. Ιδέες ρέουν μέσα από αυτό, σαν το σύμβολο της ισότητας να μεταφέρει το ηλεκτρικό ρεύμα που φωτίζει το "Αχα!" λάμπα στο μυαλό μας. Και οι διπλές γραμμές δείχνουν ότι οι ιδέες μπορούν να ρέουν και προς τις δύο κατευθύνσεις. Ο Άλμπερτ Αϊνστάιν ήταν απόλυτος δεξιοτέχνης στην εύρεση εξισώσεων που αποτελούν παράδειγμα αυτής της ιδιότητας. Πάρτε το E =mc , χωρίς αμφιβολία η πιο διάσημη εξίσωση στην ιστορία. Σε όλη τη διακριτική του κομψότητα, συνδέει τις φυσικές έννοιες της μάζας και της ενέργειας που θεωρούνταν εντελώς διαφορετικές πριν από την έλευση της σχετικότητας. Μέσα από την εξίσωση του Αϊνστάιν μαθαίνουμε ότι η μάζα μπορεί να μετατραπεί σε ενέργεια και το αντίστροφο. Η εξίσωση της γενικής θεωρίας της σχετικότητας του Αϊνστάιν, αν και λιγότερο ελκυστική και γνωστή, συνδέει τους κόσμους της γεωμετρίας και της ύλης με έναν εξίσου εκπληκτικό και όμορφο τρόπο. Ένας συνοπτικός τρόπος για να συνοψίσουμε αυτή τη θεωρία είναι ότι η μάζα λέει στο διάστημα πώς να καμπυλωθεί και ο χώρος λέει στη μάζα πώς να κινηθεί.

Η συμμετρία καθρέφτη είναι ένα άλλο τέλειο παράδειγμα της δύναμης του ίσου. Είναι ικανό να συνδέει δύο διαφορετικούς μαθηματικούς κόσμους. Το ένα είναι το βασίλειο της συμπλεκτικής γεωμετρίας, ο κλάδος των μαθηματικών που βρίσκεται κάτω από μεγάλο μέρος της μηχανικής. Στην άλλη πλευρά είναι το βασίλειο της αλγεβρικής γεωμετρίας, ο κόσμος των μιγαδικών αριθμών. Η κβαντική φυσική επιτρέπει στις ιδέες να ρέουν ελεύθερα από το ένα πεδίο στο άλλο και παρέχει μια απροσδόκητη «μεγάλη ενοποίηση» αυτών των δύο μαθηματικών κλάδων.

Είναι παρήγορο να βλέπουμε πώς τα μαθηματικά μπόρεσαν να απορροφήσουν τόσο μεγάλο μέρος της διαισθητικής, συχνά ανακριβούς συλλογιστικής της κβαντικής φυσικής και της θεωρίας χορδών, και να μετατρέψουν πολλές από αυτές τις ιδέες σε αυστηρές δηλώσεις και αποδείξεις. Οι μαθηματικοί είναι κοντά στην εφαρμογή αυτής της ακρίβειας στην ομολογική συμμετρία καθρέφτη, ένα πρόγραμμα που επεκτείνει κατά πολύ την αρχική ιδέα της θεωρίας χορδών για τη συμμετρία καθρέφτη. Κατά μία έννοια, γράφουν ένα πλήρες λεξικό των αντικειμένων που εμφανίζονται στους δύο ξεχωριστούς μαθηματικούς κόσμους, συμπεριλαμβανομένων όλων των σχέσεων που ικανοποιούν. Είναι αξιοσημείωτο ότι αυτές οι αποδείξεις συχνά δεν ακολουθούν την πορεία που είχαν προτείνει τα φυσικά επιχειρήματα. Προφανώς δεν είναι ο ρόλος των μαθηματικών να καθαρίζουν τους φυσικούς! Αντίθετα, σε πολλές περιπτώσεις έπρεπε να αναπτυχθούν εντελώς νέες γραμμές σκέψης για να βρεθούν οι αποδείξεις. Αυτό αποτελεί περαιτέρω απόδειξη της βαθιάς και ακόμη άγνωστης λογικής που βρίσκεται κάτω από την κβαντική θεωρία και, τελικά, την πραγματικότητα.

Ο Niels Bohr αγαπούσε πολύ την έννοια της συμπληρωματικότητας. Η έννοια προέκυψε από το γεγονός ότι, όπως απέδειξε ο Werner Heisenberg με την αρχή της αβεβαιότητάς του, στην κβαντική μηχανική μπορεί κανείς να μετρήσει είτε την ορμή p ενός σωματιδίου ή της θέσης του q , αλλά όχι και τα δύο ταυτόχρονα. Ο Wolfgang Pauli συνόψισε έξυπνα αυτή τη δυαδικότητα σε μια επιστολή προς τον Heisenberg της 19ης Οκτωβρίου 1926, μόλις λίγες εβδομάδες μετά την ανακάλυψη:«Μπορεί κανείς να δει τον κόσμο με το p -eye, και μπορεί κανείς να το δει με το q -μάτι, αλλά αν ανοίξει κανείς και τα δύο μάτια, τότε γίνεται τρελός.»

Στα τελευταία του χρόνια, ο Bohr προσπάθησε να προωθήσει αυτή την ιδέα σε μια πολύ ευρύτερη φιλοσοφία. Ένα από τα αγαπημένα του συμπληρωματικά ζευγάρια ήταν η αλήθεια και η σαφήνεια. Ίσως το ζεύγος της μαθηματικής αυστηρότητας και της φυσικής διαίσθησης θα πρέπει να προστεθεί ως ένα άλλο παράδειγμα δύο αμοιβαία αποκλειστικών ιδιοτήτων. Μπορείτε να κοιτάξετε τον κόσμο με ένα μαθηματικό μάτι ή με ένα συμπληρωματικό φυσικό μάτι, αλλά μην τολμήσετε να ανοίξετε και τα δύο.

Αυτό το άρθρο ανατυπώθηκε στα Ισπανικά στο  Investigacionyciencia.es .