Λύση:«Δαμάζοντας την κβαντική παραξενιά»

Στη στήλη Insights του περασμένου μήνα, εξερευνήσαμε ένα παζλ που είναι ένα απλό ανάλογο ενός από τα πιο εκπληκτικά αποτελέσματα της κβαντικής μηχανικής - το θεώρημα του Bell. Ο Bell έδειξε ότι εάν οι κβαντομηχανικές προβλέψεις είναι σωστές, τότε πρέπει να εγκαταλείψουμε μία από τις τρεις λογικές υποθέσεις για τον κόσμο. Σε ένα πρόσφατο Quanta άρθρο Η Natalie Wolchover εξηγεί πώς:

… όταν δύο σωματίδια αλληλεπιδρούν, μπορούν να «μπλέξουν», αποβάλλοντας τις μεμονωμένες πιθανότητες τους και να γίνουν συστατικά μιας πιο περίπλοκης συνάρτησης πιθανότητας που περιγράφει και τα δύο σωματίδια μαζί. Αυτή η συνάρτηση μπορεί να προσδιορίζει ότι δύο μπερδεμένα φωτόνια είναι πολωμένα σε κάθετες διευθύνσεις, με κάποια πιθανότητα το φωτόνιο Α να είναι κατακόρυφα πολωμένο και το φωτόνιο Β να είναι οριζόντια πολωμένο, και κάποια πιθανότητα το αντίθετο. Τα δύο φωτόνια μπορούν να ταξιδεύουν έτη φωτός μεταξύ τους, αλλά παραμένουν συνδεδεμένα:Μετρήστε το φωτόνιο Α για να είναι κατακόρυφα πολωμένο και το φωτόνιο Β γίνεται στιγμιαία οριζόντια πολωμένο, παρόλο που η κατάσταση του Β ήταν απροσδιόριστη μια στιγμή νωρίτερα και κανένα σήμα δεν είχε χρόνο να ταξιδέψει μεταξύ τους . Αυτή είναι η «απόκοσμη δράση» για την οποία ο Αϊνστάιν ήταν περίφημα σκεπτικιστής στα επιχειρήματά του κατά της πληρότητας της κβαντικής μηχανικής στις δεκαετίες του 1930 και του ’40.

Το 1964, ο βορειοϊρλανδός φυσικός John Bell βρήκε έναν τρόπο να δοκιμάσει αυτήν την παράδοξη ιδέα. Έδειξε ότι εάν τα σωματίδια έχουν καθορισμένες καταστάσεις ακόμα και όταν κανείς δεν κοιτάζει (μια έννοια γνωστή ως «ρεαλισμός») και εάν πράγματι κανένα σήμα δεν ταξιδεύει γρηγορότερα από το φως («τοπικότητα»), τότε υπάρχει ένα ανώτερο όριο στο ποσό της συσχέτισης που μπορεί να παρατηρηθεί μεταξύ των μετρούμενων καταστάσεων δύο σωματιδίων. Όμως τα πειράματα έχουν δείξει επανειλημμένα ότι τα μπερδεμένα σωματίδια συσχετίζονται περισσότερο από το ανώτερο όριο του Bell, ευνοώντας τη ριζοσπαστική κβαντική κοσμοθεωρία έναντι του τοπικού ρεαλισμού.

Όπως περιγράφει περαιτέρω ο Wolchover στο άρθρο, υπάρχει μια τρίτη πιθανή υπόθεση που βρίσκεται στην ανάλυση του Bell - «ελευθερία επιλογής» - η υπόθεση ότι οι πειραματιστές είναι ελεύθεροι να τοποθετούν τους πολωτές σε οποιαδήποτε γωνία θέλουν.

Το παζλ μας μοντελοποίησε το πείραμα που περιγράφεται παραπάνω για ένα ζεύγος αντισυσχετιζόμενων σωματιδίων και βασίζεται σε μια διαισθητική διατύπωση του θεωρήματος του Bell που περιγράφεται από τον φυσικό Ντέιβιντ Μέρμιν. Εάν μεταβάλλετε τους προσανατολισμούς του πολωτή, η κβαντομηχανική προβλέπει σωστά ότι η συσχέτιση μεταξύ των φωτονίων δίνεται από τον τύπο 1 – cos(θ/2), όπου θ είναι η γωνία μεταξύ των δύο πολωτών. Το παζλ μας διερευνά τι θα ήταν απαραίτητο για να δημιουργηθεί αυτή η ποσότητα συσχέτισης σε μια ανάλογη κατάσταση από την καθημερινή ζωή.

Δύο μαθητές, ο Α και ο Β, που είναι πολικά αντίθετα μεταξύ τους, ετοιμάζονται να κάνουν ένα μάθημα κβαντικής μηχανικής. Τριάντα επτά ημέρες πριν από το μάθημα (Ημέρα –37) δίνουν ένα τεστ υπολογιστή που αποτελείται από 100 ερωτήσεις σωστού/λάθους. Κάθε ερώτηση που ο Α απαντά ως σωστή, ο Β απαντά ως ψευδής και αντίστροφα — οι απαντήσεις τους είναι απολύτως αντισυσχετισμένες. Στην αρχή του μαθήματος (Ημέρα 0), οι δύο κάνουν ξανά το ίδιο τεστ. Μερικές από τις απαντήσεις τους είναι τώρα διαφορετικές από αυτές που ήταν την πρώτη φορά, αλλά εξακολουθούν να είναι απολύτως αντισυσχετισμένες. Τριάντα επτά ημέρες αργότερα (Ημέρα +37), κάνουν το ίδιο τεστ για τρίτη φορά. Και πάλι, ορισμένες από τις απαντήσεις τους είναι διαφορετικές, αλλά εξακολουθούν να είναι απολύτως αντισυσχετισμένες.

Εσείς και ένας φίλος κάθεστε σε ξεχωριστά τερματικά υπολογιστή και συγκρίνετε τις δοκιμές. Μπορείτε να εμφανίσετε μόνο ένα από τα τεστ του Α στην οθόνη του υπολογιστή σας ανά πάσα στιγμή, ενώ ο φίλος σας μπορεί να εμφανίσει μόνο ένα από τα Β. Πρώτα, οι δύο από εσάς τραβήξτε τα τεστ που έκαναν οι μαθητές την ίδια μέρα, συγκρίνοντας το τεστ της Ημέρας Α –37 με το τεστ της Ημέρας Β –37 και ούτω καθεξής. Σίγουρα, όλα είναι τέλεια αντισυσχετισμένα, χωρίς καθόλου αντίστοιχες απαντήσεις. Στη συνέχεια, συγκρίνετε το τεστ A's Day 0 με το B's Day -37 test. Σε αυτή την περίπτωση, υπάρχουν ακριβώς 10 απαντήσεις που ταιριάζουν. Ομοίως, το τεστ B's Day 0 έχει 10 απαντήσεις που ταιριάζουν με αυτές του τεστ Α' Day +37. Τέλος, συγκρίνετε τη δοκιμή B's Day –37 με τη δοκιμή A's Day +37. Και εδώ έρχεται η έκπληξη…

Όπως εξήγησα, αυτά τα πειράματα χαρτογραφούνται απευθείας στο παζλ μας. Οι δοκιμές αυθημερόν του Α και του Β είναι τα αντισυσχετισμένα φωτόνια και εσείς και ο φίλος σας είστε οι πειραματιστές. Οι ημέρες των δοκιμών αντιπροσωπεύουν τις γωνίες, σε μοίρες, των αντίστοιχων πολωτών σας. Εάν οι πολωτές βρίσκονται στην ίδια γωνία (δοκιμές αυθημερόν), τα φωτόνια είναι 100 τοις εκατό αντισυσχετισμένα, όπως και οι μαθητές. Δεδομένου ότι οι καταστάσεις είναι ισόμορφες, θα πρέπει να μπορούμε να αναπαράγουμε τα αποτελέσματα της συσχέτισης φωτονίων με τα αποτελέσματα συσχέτισης δοκιμής - οι καταστάσεις θα πρέπει να δίνουν πανομοιότυπες αριθμητικές απαντήσεις για όλες τις γωνίες (ημέρες) υπό τις ίδιες υποθέσεις με το θεώρημα του Bell. Αυτές οι υποθέσεις κοινής λογικής είναι:Υπάρχουν ολοκληρωμένα τεστ με σαφείς απαντήσεις (ρεαλισμός), δεν μπορούν να επηρεάσουν το ένα το άλλο ενώ γίνεται η βαθμολόγηση (τοπικότητα) και οι εξεταστές είναι ελεύθεροι να συγκρίνουν οποιοδήποτε από τα τεστ του Α με οποιοδήποτε από τα Β (ελευθερία επιλογή). (Για να προσομοιώσετε την πιθανολογική φύση της κβαντικής μηχανικής με ακρίβεια, θα πρέπει να φανταστείτε ότι κάθε τεστ είχε έναν πολύ μεγάλο αριθμό ερωτήσεων και ότι εσείς και ο φίλος σας μπορείτε να συγκρίνετε μόνο μικρά κλάσματα από τα δύο τεστ που είναι ωστόσο αρκετά μεγάλα για να παράγει σταθερά αξιόπιστα πιθανολογικά αποτελέσματα. Αυτή η συνθήκη δεν αλλάζει τις αριθμητικές απαντήσεις.)

Ερώτηση 1: Ποιος είναι ο ελάχιστος και ο μέγιστος αριθμός αντιστοιχιστικών απαντήσεων που θα περιμένατε για αυτά τα δύο τεστ (δοκιμή B’s Day –37 και A’ Day +37 test);

Απάντηση 1: Ο ελάχιστος αριθμός είναι 0 και ο μέγιστος είναι 20, όπως σωστά επεσήμαναν οι Ashish και Michael.

Τα τεστ της Ημέρας 0 των Α και Β έχουν ακριβώς αντίθετες απαντήσεις. Εάν το τεστ –37 ημερών του Β έχει 10 κοινές απαντήσεις με το τεστ της Ημέρας 0 του Α, τότε ο Β πρέπει να έχει επιλέξει την αντίθετη απάντηση για 10 ερωτήσεις σε σύγκριση με το δικό του τεστ της Ημέρας 0. Τώρα, αν η Α επέλεγε τις ίδιες 10 ερωτήσεις για να απαντήσει διαφορετικά στο τεστ της Ημέρας 37, τότε οι δύο δοκιμές στόχων μας θα ήταν και πάλι τέλεια αντισυσχετισμένες. Από την άλλη πλευρά, εάν ο Α επέλεγε 10 διαφορετικές ερωτήσεις από αυτές που ο Β είχε επιλέξει να απαντήσει με τον αντίθετο τρόπο, τότε θα συμφωνούσαν σε 20 από τις απαντήσεις τους, αλλά όχι περισσότερες.

Ερώτηση 2: Αν διαπιστώσατε ότι υπήρχαν 36 απαντήσεις που ταιριάζουν, πώς θα το εξηγούσατε;

Απάντηση 2: Και πάλι, όπως σωστά τόνισε ο Michael, η μόνη εξήγηση μπορεί να είναι ότι οι υπολογιστές σας έχουν χακαριστεί! Ο μόνος τρόπος να ταιριάζουν 36 απαντήσεις για τη σύγκριση μεταξύ (A Day +37, B Day –37) αφού επιβεβαιώσετε ότι οι συσχετίσεις μεταξύ (A Day 0, B Day –37) και (B Day 0, A Day) –37) είναι και οι δύο 10, είναι ότι οι απαντήσεις των δοκιμών αλλάζουν σε πραγματικό χρόνο ανάλογα με τις δοκιμές που καλείτε εσείς και ο φίλος σας στους υπολογιστές σας για σύγκριση. Αναλογικά, τα κβαντικά αποτελέσματα μπορούν να εξηγηθούν (υποθέτοντας ρεαλισμό και ελευθερία επιλογής) μόνο με την υπόθεση υπερφωτιστικών συνδέσεων μεταξύ ευρέως διαχωρισμένων σωματιδίων που επιβάλλουν τους συσχετισμούς τη στιγμή της ίδιας της μέτρησης.

Ερώτηση 3: Από πού προέρχονται όλοι οι αριθμοί στο παραπάνω σενάριο (–37, 0, +37, 10 και 36);

Απάντηση 3: Αυτή η ερώτηση ήταν περιττή. Η συσχέτιση μεταξύ φωτονίων με πολωτές που χωρίζονται κατά 37 μοίρες δίνεται από το 1 – cos[(37-0)/2],  που είναι περίπου 10 τοις εκατό, το οποίο αντανακλά τη συσχέτιση μεταξύ των δοκιμών Α και Β με διαφορά 37 ημερών μεταξύ τους. Ομοίως, η έκφραση 1 – cos[(37-(-37))/2] =36 τοις εκατό δίνει τη συσχέτιση μεταξύ φωτονίων με γωνίες πολωτή 74 μοίρες μεταξύ τους, κάτι που αντανακλά τη συσχέτιση μεταξύ των δοκιμών Α και Β με διαφορά 74 ημερών.

Ερώτηση 4: Χρησιμοποιώντας τον παραπάνω τύπο, ποια είναι η μεγαλύτερη δυνατή διαφορά μεταξύ της πραγματικής συσχέτισης για μια γωνία 2θ και της μέγιστης τιμής που υπολογίζεται για 2θ από τη δεδομένη συσχέτιση για θ, σύμφωνα με τις τρεις παραδοχές που περιγράφονται παραπάνω; Σε ποια γωνία μεταξύ των πολωτών λαμβάνει χώρα αυτή η μεγαλύτερη δυνατή διαφορά;

Απάντηση 4: Η μεγαλύτερη διαφορά μεταξύ των κβαντικών και των κλασικών συσχετισμών σε αυτή την περίπτωση είναι 0,25 ή 25 τοις εκατό, σε γωνία 60 μοιρών μεταξύ των πολωτών. Μπορείτε να το υπολογίσετε αυτό μεγιστοποιώντας τη διαφορά μεταξύ των κλασικών και κβαντικών εκφράσεων για συσχετίσεις, όπως εξήγησε καλά ο Michael. Εναλλακτικά, μπορείτε απλώς να δημιουργήσετε ένα υπολογιστικό φύλλο που να υπολογίζει τη διαφορά με τη γωνία να κυμαίνεται από 0 έως 90 μοίρες και να σχεδιάσετε τις δύο καμπύλες για να δείτε τη διαφορά. Το γράφημα για τις κλασικές συσχετίσεις είναι μια ευθεία γραμμή, ενώ για τις κβαντικές συσχετίσεις έχει σχήμα S. Οι διαφορές είναι μέγιστες σε γωνίες 60 και 120 μοιρών και ελάχιστες (μηδενικές) στις 0, 90 και 180 μοίρες.

Αυτή η επίδειξη της ανισότητας του Bell υπαγορεύει να παρατήσουμε μία ή περισσότερες από τις υποθέσεις μας. Ο Michael συνόψισε πολύ ωραία τις εναλλακτικές που μας έχουν μείνει:

Το μοντέλο μπαλονιού προφανώς απορρίπτει την τοποθεσία. Το ίδιο και το μοντέλο Bohm της κβαντικής μηχανικής.

Ο υπερντετερμινισμός προφανώς απορρίπτει την ελευθερία επιλογής. Το ίδιο και το μοντέλο Hall που αναφέρεται στο άρθρο της Natalie Wolchover.

Η τυπική κβαντομηχανική προφανώς απορρίπτει τον ρεαλισμό. Η ερμηνεία της Κοπεγχάγης, για παράδειγμα, επιτρέπει μόνο ότι οι συσκευές προετοιμασίας και μέτρησης είναι πραγματικές («κλασικές»), με την κβαντική μηχανική να αφορά τους συσχετισμούς μεταξύ τέτοιων συσκευών. Υπό αυτή την έννοια, οι συσχετίσεις είναι πραγματικές, όταν μετρώνται, αλλά δεν υπάρχει καμία υποκείμενη πραγματικότητα, για παράδειγμα, «φωτόνια» που προκαλούν αυτές τις συσχετίσεις.

Αυτή είναι μια μεγάλη περίληψη της ληφθείσας σοφίας. Αλλά νομίζω ότι η κβαντομηχανική ήδη απορρίπτει την εντοπιότητα. Υπάρχουν πολλά πειστικά παραδείγματα για αυτό, αλλά θα αναφέρω δύο που έχουμε συνηθίσει τόσο πολύ που δεν τα βλέπουμε καν πια.

Το πρώτο είναι το θέμα των ίδιων των διακριτών κβαντικών αλμάτων. Στα μοντέλα του ατόμου, τα ηλεκτρόνια μεταπηδούν από το να κηλιδώνονται γύρω από το άτομο σε ένα τροχιακό στο να κηλιδώνονται γύρω από ένα άλλο με εντελώς διαφορετική διαμόρφωση, απελευθερώνοντας ένα φωτόνιο συγκεκριμένης ενέργειας. Δεν υπάρχει ενδιάμεση κατάσταση, καμία διακύμανση στη συχνότητα, όπως θα αναμενόταν αν το ηλεκτρόνιο βρισκόταν αρχικά σε διαφορετικά σημεία σε αυτά τα τροχιακά. Αυτό προφανώς απαιτεί μη τοπικότητα. Όπως είπε ο φυσικός της Κολούμπια I.I. Ο Ράμπι, ένας από τους αρχικούς συνεισφέροντες στην κβαντομηχανική, είπε:«Το άτομο βρίσκεται σε μια κατάσταση και μετακινείται σε μια άλλη, και δεν μπορείτε να φανταστείτε τι βρίσκεται ανάμεσα, οπότε το αποκαλείτε κβαντικό άλμα. Στην κβαντομηχανική, δεν ρωτάτε ποια είναι η ενδιάμεση κατάσταση, επειδή δεν υπάρχει ενδιάμεση κατάσταση. Περνάει από το ένα στο άλλο με τον μυστηριώδη τρόπο του Θεού.»

Η δεύτερη τεράστια προσβολή για την εντοπιότητα εμφανίζεται στην εκδοχή της κβαντικής μηχανικής του Feynman "ολοκληρωμένη διαδρομή". Αυτή η προσέγγιση υποθέτει ότι ένα σωματίδιο πηγαίνει από το ένα σημείο στο άλλο ακολουθώντας ταυτόχρονα όλα τα μονοπάτια παντού στο σύμπαν. Εδώ είναι η μη τοπικότητα με μια εκδίκηση. Και όμως λειτουργεί υπέροχα.

Ναι, η μη τοπικότητα είναι κυριολεκτικά παντού στην κβαντική μηχανική, και θα πρέπει να την αγκαλιάσουμε πρόθυμα. Αυτό σημαίνει ότι η εσωτερική σύνθεση κάθε κβαντικού σωματιδίου ή εμπλεκόμενου ζεύγους είναι μη τοπική και εγγενώς υπερφωτεινή. Όπως είπα, ίσως κάθε σωματίδιο έχει τη δική του σκουληκότρυπα, ή κάτι τέτοιο, για να παίξει:ER=EPR, ακόμη και για μεμονωμένες καταστάσεις. Αυτή η μη τοπικότητα δεν διαρρέει ποτέ ανοιχτά, όπως δεν συμβαίνει σε περίπτωση κβαντικού άλματος ενός ηλεκτρονίου ή στο πείραμα EPR. Επομένως, η σχετικότητα δεν απειλείται καθόλου.

Ο εναγκαλισμός της μη τοπικότητας και των υπερφωτιστικών εσωτερικών σε κβαντικά αντικείμενα είναι εξαιρετικά απελευθερωτικός - μας επιτρέπει να κατασκευάζουμε μοντέλα που είναι φυσικά και μπορούν να οπτικοποιηθούν και δεν είναι απλώς αφηρημένα μαθηματικά. Για μένα, υπάρχουν επιτακτικά επιχειρήματα εναντίον του τελευταίου, όπως έχω αναφέρει λεπτομερώς στις απαντήσεις μου στις phayes και στον Alex Livingston. Ένα βασικό σημείο είναι ότι οι πιθανότητες και οι παρεμβολές απαιτούν σύνολα και δεν μπορούν να δημιουργηθούν από μεμονωμένα σωματίδια (όπως είναι στην κβαντομηχανική), εκτός εάν υποθέσετε ότι έχουν μέρη.

Νομίζω ότι μια συναρπαστική εικόνα είναι ότι κάθε κβαντικό σωματίδιο είναι σαν μια φυσαλίδα που μπορεί να χωριστεί σε απειροελάχιστες υπερφωτεινές φυσαλίδες σε μια κατανομή κύματος, η οποία μπορεί να αναμορφώσει τη φυσαλίδα σε διαφορετικές τοποθεσίες. Μπορούμε να ανιχνεύσουμε το σωματίδιο μόνο όταν αναγκάσουμε τις φυσαλίδες να κάνουν μια επιλογή μεταξύ δύο αντίθετων χαρακτηριστικών ή θέσεων κάνοντας μια μέτρηση, η οποία κάνει τις φυσαλίδες να συγχωνεύονται ξανά σε μια πλήρη φυσαλίδα. Φανταστείτε δύο τεντωμένα και επίπεδα πλαστικά φύλλα με μια φούσκα παγιδευμένη μέσα. Εάν ασκήσετε λίγη πίεση, η φυσαλίδα κλασματοποιείται σε εκατομμύρια μικροσκοπικές φυσαλίδες που καταλαμβάνουν ολόκληρη την περιοχή μέσα στα φύλλα. Απελευθερώστε την πίεση και οι φυσαλίδες μεταμορφώνονται στην αρχική φυσαλίδα σε διαφορετική θέση. Μπορούμε να υποθέσουμε ότι η πιθανότητα να συνενωθεί σε ένα συγκεκριμένο σημείο είναι ανάλογη με το μέγεθος της φυσαλίδας σε αυτό το σημείο, το οποίο θα συσχετίζεται καθαρά με τον κανόνα ερμηνείας της πιθανότητας Born.

Μπορεί πραγματικά μια τέτοια φαντασίωση να είναι αληθινή; Δεν καταλαβαίνω γιατί δεν θα μπορούσε να είναι. Όπως εξήγησα, το μοντέλο φυσαλίδων μπορεί να εξηγήσει το πείραμα της διπλής σχισμής (το οποίο κάποτε είπε ο Feynman περιέχει όλες τις βασικές πτυχές της κβαντικής μηχανικής) και δίνει μια διαισθητική αίσθηση του πώς οι μετρήσεις και τα περιβαλλοντικά φαινόμενα ανάλογα με αυτά δημιουργούν την πραγματικότητά μας. Φυσικά, οι φυσαλίδες θα μπορούσαν να είναι σε επίπεδο σωματικότητας τόσο λεπτές που μπορεί να μην πλησιάσουμε ποτέ να τις εντοπίσουμε. Αλλά τα μοντέλα που βασίζονται σε αυτά θα μπορούσαν να βοηθήσουν στην ενοποίηση της κβαντικής μηχανικής και της σχετικότητας και να βοηθήσουν στην αποσαφήνιση της δομής του χωροχρόνου. Αυτοί θα? Μόνο ο χρόνος (και ο χώρος!) θα δείξει. Εν τω μεταξύ, τέτοια μοντέλα μπορούν να κάνουν την κβαντομηχανική ξανά ζωντανή. Και αφού δεν είμαι φυσικός, μπορώ να τα καταφέρω χωρίς να χάσω τη δουλειά μου! Χαίρομαι που κάποιοι από εσάς βρήκαν αυτό ενδιαφέρον.

Το Quanta T-shirt για αυτό το παζλ πηγαίνει στον Michael, για τη συνεισφορά του σε αυτήν και σε πολλές άλλες προηγούμενες στήλες. Οι απαντήσεις και τα σχόλια του Ashish ήταν επίσης εξαιρετικές. Ευχαριστώ όλους όσους συνέβαλαν. Τα λέμε την επόμενη εβδομάδα για νέες πληροφορίες!