Παράξενοι αριθμοί που βρέθηκαν σε συγκρούσεις σωματιδίων
Στον Μεγάλο Επιταχυντή Αδρονίων στη Γενεύη, οι φυσικοί πυροβολούν πρωτόνια γύρω από μια διαδρομή 17 μιλίων και τα συντρίβουν μαζί με ταχύτητα σχεδόν την ταχύτητα του φωτός. Είναι ένα από τα πιο καλά συντονισμένα επιστημονικά πειράματα στον κόσμο, αλλά όταν προσπαθούν να κατανοήσουν τα κβαντικά συντρίμμια, οι φυσικοί ξεκινούν με ένα εντυπωσιακά απλό εργαλείο που ονομάζεται διάγραμμα Feynman και δεν διαφέρει και τόσο από το πώς ένα παιδί θα απεικόνιζε την κατάσταση.
Τα διαγράμματα Feynman επινοήθηκαν από τον Richard Feynman τη δεκαετία του 1940. Διαθέτουν γραμμές που αντιπροσωπεύουν στοιχειώδη σωματίδια που συγκλίνουν σε μια κορυφή (που αντιπροσωπεύει μια σύγκρουση) και στη συνέχεια αποκλίνουν από εκεί για να αντιπροσωπεύσουν τα κομμάτια που προκύπτουν από τη συντριβή. Αυτές οι γραμμές είτε εκτοξεύονται μόνες τους είτε συγκλίνουν ξανά. Η αλυσίδα των συγκρούσεων μπορεί να είναι τόσο μεγάλη όσο ένας φυσικός τολμά να σκεφτεί.
Σε αυτό οι σχηματικοί φυσικοί προσθέτουν στη συνέχεια αριθμούς, για τη μάζα, την ορμή και την κατεύθυνση των εμπλεκόμενων σωματιδίων. Στη συνέχεια, ξεκινούν μια επίπονη λογιστική διαδικασία — ενσωματώστε τα, προσθέστε ότι, συμπληρώστε αυτό. Το τελικό αποτέλεσμα είναι ένας μεμονωμένος αριθμός, που ονομάζεται πιθανότητα Feynman, ο οποίος ποσοτικοποιεί την πιθανότητα η σύγκρουση σωματιδίων να διαδραματιστεί όπως σχεδιάστηκε.
«Κατά κάποιο τρόπο ο Φάινμαν εφηύρε αυτό το διάγραμμα για να κωδικοποιήσει τα περίπλοκα μαθηματικά ως συσκευή τήρησης βιβλίων», είπε ο Σεργκέι Γκούκοφ, θεωρητικός φυσικός και μαθηματικός στο Ινστιτούτο Τεχνολογίας της Καλιφόρνια.
Τα διαγράμματα Feynman έχουν εξυπηρετήσει καλά τη φυσική όλα αυτά τα χρόνια, αλλά έχουν περιορισμούς. Το ένα είναι αυστηρά διαδικαστικό. Οι φυσικοί επιδιώκουν ολοένα και πιο υψηλής ενέργειας συγκρούσεις σωματιδίων που απαιτούν μεγαλύτερη ακρίβεια μέτρησης — και όσο αυξάνεται η ακρίβεια, αυξάνεται και η πολυπλοκότητα των διαγραμμάτων Feynman που πρέπει να υπολογιστούν για να δημιουργηθεί μια πρόβλεψη.
Ο δεύτερος περιορισμός είναι πιο θεμελιώδης. Τα διαγράμματα Feynman βασίζονται στην υπόθεση ότι όσο περισσότερες πιθανές συγκρούσεις και υποσυγκρούσεις υπολογίζουν οι φυσικοί, τόσο πιο ακριβείς θα είναι οι αριθμητικές προβλέψεις τους. Αυτή η διαδικασία υπολογισμού, γνωστή ως διατακτική διαστολή, λειτουργεί πολύ καλά για συγκρούσεις σωματιδίων ηλεκτρονίων, όπου κυριαρχούν οι ασθενείς και οι ηλεκτρομαγνητικές δυνάμεις. Λειτουργεί λιγότερο καλά για συγκρούσεις υψηλής ενέργειας, όπως οι συγκρούσεις μεταξύ πρωτονίων, όπου κυριαρχεί η ισχυρή πυρηνική δύναμη. Σε αυτές τις περιπτώσεις, η καταγραφή ενός ευρύτερου φάσματος συγκρούσεων — με τη σχεδίαση ολοένα πιο περίπλοκων διαγραμμάτων Feynman — μπορεί στην πραγματικότητα να παρασύρει τους φυσικούς.
«Γνωρίζουμε βεβαίως ότι κάποια στιγμή αρχίζει να αποκλίνει» από τη φυσική του πραγματικού κόσμου, είπε ο Φράνσις Μπράουν, μαθηματικός στο Πανεπιστήμιο της Οξφόρδης. "Αυτό που δεν είναι γνωστό είναι πώς να υπολογίσει κανείς σε ποιο σημείο πρέπει να σταματήσει να υπολογίζει τα διαγράμματα."
Ωστόσο, υπάρχει λόγος για αισιοδοξία. Την τελευταία δεκαετία, φυσικοί και μαθηματικοί έχουν εξερευνήσει μια εκπληκτική αλληλογραφία που έχει τη δυνατότητα να δώσει νέα πνοή στο διάγραμμα Feynman και να δημιουργήσει εκτεταμένες γνώσεις και στα δύο πεδία. Έχει να κάνει με το περίεργο γεγονός ότι οι τιμές που υπολογίζονται από τα διαγράμματα Feynman φαίνεται να ταιριάζουν ακριβώς με μερικούς από τους πιο σημαντικούς αριθμούς που εμφανίζονται σε έναν κλάδο των μαθηματικών γνωστό ως αλγεβρική γεωμετρία. Αυτές οι τιμές ονομάζονται "περίοδοι κινήτρων" και δεν υπάρχει προφανής λόγος για τον οποίο θα πρέπει να εμφανίζονται οι ίδιοι αριθμοί και στις δύο ρυθμίσεις. Πράγματι, είναι τόσο περίεργο όσο θα ήταν αν κάθε φορά που μετρούσατε ένα φλιτζάνι ρύζι, παρατηρούσατε ότι ο αριθμός των κόκκων ήταν πρώτος.
"Υπάρχει μια σύνδεση από τη φύση με την αλγεβρική γεωμετρία και τις περιόδους, και εκ των υστέρων, δεν είναι τυχαίο", δήλωσε ο Dirk Kreimer, ένας φυσικός στο Πανεπιστήμιο Humboldt στο Βερολίνο.
Τώρα μαθηματικοί και φυσικοί συνεργάζονται για να αποκαλύψουν τη σύμπτωση. Για τους μαθηματικούς, η φυσική έχει επιστήσει την προσοχή τους σε μια ειδική κατηγορία αριθμών που θα ήθελαν να κατανοήσουν:Υπάρχει μια κρυφή δομή σε αυτές τις περιόδους που εμφανίζονται στη φυσική; Ποιες ειδικές ιδιότητες μπορεί να έχει αυτή η κατηγορία αριθμών; Για τους φυσικούς, η ανταμοιβή αυτού του είδους μαθηματικής κατανόησης θα ήταν ένας νέος βαθμός πρόβλεψης όταν πρόκειται να προβλέψουν πώς θα εξελιχθούν τα γεγονότα στον ακατάστατο κβαντικό κόσμο.
Ενα επαναλαμβανόμενο θέμα
Σήμερα οι περίοδοι είναι ένα από τα πιο αφηρημένα μαθήματα των μαθηματικών, αλλά ξεκίνησαν ως μια πιο συγκεκριμένη ανησυχία. Στις αρχές του 17ου αιώνα, επιστήμονες όπως ο Galileo Galilei ενδιαφέρθηκαν να βρουν πώς να υπολογίσουν το χρόνο που χρειάζεται ένα εκκρεμές για να ολοκληρώσει μια ταλάντευση. Συνειδητοποίησαν ότι ο υπολογισμός κατέληξε στο να πάρουν το ολοκλήρωμα - ένα είδος άπειρου αθροίσματος - μιας συνάρτησης που συνδύαζε πληροφορίες σχετικά με το μήκος και τη γωνία απελευθέρωσης του εκκρεμούς. Περίπου την ίδια εποχή, ο Johannes Kepler χρησιμοποίησε παρόμοιους υπολογισμούς για να καθορίσει το χρόνο που χρειάζεται ένας πλανήτης για να ταξιδέψει γύρω από τον ήλιο. Ονόμασαν αυτές τις μετρήσεις "περιόδους" και τις καθιέρωσαν ως μία από τις πιο σημαντικές μετρήσεις που μπορούν να γίνουν σχετικά με την κίνηση.
Κατά τη διάρκεια του 18ου και του 19ου αιώνα, οι μαθηματικοί άρχισαν να ενδιαφέρονται να μελετούν τις περιόδους γενικά — όχι μόνο επειδή σχετίζονταν με εκκρεμές ή πλανήτες, αλλά ως μια κατηγορία αριθμών που δημιουργούνται από την ολοκλήρωση πολυωνυμικών συναρτήσεων όπως το x + 2x – 6 και 3x – 4x – 2x + 6. Για περισσότερο από έναν αιώνα, διακοσμητές όπως ο Carl Friedrich Gauss και ο Leonhard Euler εξερεύνησαν το σύμπαν των περιόδων και διαπίστωσαν ότι περιείχε πολλά χαρακτηριστικά που έδειχναν κάποια υποκείμενη τάξη. Κατά μία έννοια, το πεδίο της αλγεβρικής γεωμετρίας — το οποίο μελετά τις γεωμετρικές μορφές πολυωνυμικών εξισώσεων — αναπτύχθηκε τον 20ο αιώνα ως μέσο για την επιδίωξη αυτής της κρυφής δομής.
Αυτή η προσπάθεια προχώρησε ραγδαία τη δεκαετία του 1960. Μέχρι εκείνη την εποχή οι μαθηματικοί είχαν κάνει αυτό που κάνουν συχνά:Μετέφραζαν σχετικά συγκεκριμένα αντικείμενα όπως εξισώσεις σε πιο αφηρημένα, τα οποία ήλπιζαν ότι θα τους επέτρεπαν να εντοπίσουν σχέσεις που δεν ήταν αρχικά εμφανείς.
Αυτή η διαδικασία περιλάμβανε πρώτα την εξέταση των γεωμετρικών αντικειμένων (γνωστά ως αλγεβρικές ποικιλίες) που ορίζονται από τις λύσεις σε κατηγορίες πολυωνυμικών συναρτήσεων, αντί να κοιτάξουμε τις ίδιες τις συναρτήσεις. Στη συνέχεια, οι μαθηματικοί προσπάθησαν να κατανοήσουν τις βασικές ιδιότητες αυτών των γεωμετρικών αντικειμένων. Για να το κάνουν αυτό, ανέπτυξαν τις γνωστές ως θεωρίες συνομολογίας — τρόπους αναγνώρισης δομικών πτυχών των γεωμετρικών αντικειμένων που ήταν ίδιες ανεξάρτητα από τη συγκεκριμένη πολυωνυμική εξίσωση που χρησιμοποιήθηκε για τη δημιουργία των αντικειμένων.
Μέχρι τη δεκαετία του 1960, οι θεωρίες της κοομολογίας είχαν πολλαπλασιαστεί σε σημείο απόσπασης της προσοχής - η μονολογική συνομολογία, η συνομολογία de Rham, η συνομολογία étale και ούτω καθεξής. Ο καθένας, φαινόταν, είχε διαφορετική άποψη για τα πιο σημαντικά χαρακτηριστικά των αλγεβρικών ποικιλιών.
Σε αυτό το ακατάστατο τοπίο, ο πρωτοπόρος μαθηματικός Alexander Grothendieck, ο οποίος πέθανε το 2014, συνειδητοποίησε ότι όλες οι θεωρίες κοομολογίας ήταν διαφορετικές εκδοχές του ίδιου πράγματος.
"Αυτό που παρατήρησε ο Grothendieck είναι ότι, στην περίπτωση μιας αλγεβρικής ποικιλίας, ανεξάρτητα από το πώς υπολογίζεις αυτές τις διαφορετικές θεωρίες κοομολογίας, βρίσκεις πάντα με κάποιο τρόπο την ίδια απάντηση", είπε ο Μπράουν.
Αυτή η ίδια απάντηση - το μοναδικό πράγμα στο επίκεντρο όλων αυτών των θεωριών συνομολογίας - ήταν αυτό που ο Grothendieck αποκάλεσε «κίνητρο». «Στη μουσική σημαίνει ένα επαναλαμβανόμενο θέμα. Για τον Grothendieck ένα κίνητρο ήταν κάτι που έρχεται ξανά και ξανά με διαφορετικές μορφές, αλλά είναι πραγματικά το ίδιο», είπε ο Pierre Cartier, μαθηματικός στο Ινστιτούτο Προηγμένων Επιστημονικών Σπουδών έξω από το Παρίσι και πρώην συνάδελφος του Grothendieck.
Τα κίνητρα είναι κατά μία έννοια τα θεμελιώδη δομικά στοιχεία των πολυωνυμικών εξισώσεων, με τον ίδιο τρόπο που οι πρώτοι παράγοντες είναι τα στοιχειώδη κομμάτια μεγαλύτερων αριθμών. Τα κίνητρα έχουν επίσης τα δικά τους δεδομένα που σχετίζονται με αυτά. Ακριβώς όπως μπορείτε να χωρίσετε την ύλη σε στοιχεία και να προσδιορίσετε τα χαρακτηριστικά κάθε στοιχείου - τον ατομικό του αριθμό και το ατομικό του βάρος και ούτω καθεξής - οι μαθηματικοί αποδίδουν ουσιαστικές μετρήσεις σε ένα κίνητρο. Οι πιο σημαντικές από αυτές τις μετρήσεις είναι οι περίοδοι του κινήτρου. Και αν η περίοδος ενός κινήτρου που προκύπτει σε ένα σύστημα πολυωνυμικών εξισώσεων είναι ίδια με την περίοδο ενός κινήτρου που προκύπτει σε ένα διαφορετικό σύστημα, ξέρετε ότι τα κίνητρα είναι τα ίδια.
«Αφού γνωρίζετε τις περιόδους, που είναι συγκεκριμένοι αριθμοί, αυτό είναι σχεδόν το ίδιο με το να γνωρίζετε το ίδιο το κίνητρο», είπε ο Minhyong Kim, μαθηματικός στην Οξφόρδη.
Ένας άμεσος τρόπος για να δείτε πώς μπορεί να εμφανιστεί η ίδια περίοδος σε απροσδόκητα περιβάλλοντα είναι με το pi, «το πιο διάσημο παράδειγμα λήψης περιόδου», είπε ο Cartier. Το Pi εμφανίζεται με πολλές μορφές στη γεωμετρία:στο ολοκλήρωμα της συνάρτησης που ορίζει τον μονοδιάστατο κύκλο, στο ολοκλήρωμα της συνάρτησης που ορίζει τον δισδιάστατο κύκλο και στο ολοκλήρωμα της συνάρτησης που ορίζει τη σφαίρα. Το ότι αυτή η ίδια τιμή θα επαναλαμβανόταν σε τέτοια ολοκληρώματα με φαινομενικά διαφορετική εμφάνιση ήταν πιθανότατα μυστηριώδες για τους αρχαίους στοχαστές. «Η σύγχρονη εξήγηση είναι ότι η σφαίρα και ο συμπαγής κύκλος έχουν το ίδιο κίνητρο και επομένως πρέπει να έχουν ουσιαστικά την ίδια περίοδο», έγραψε ο Μπράουν σε ένα email.
Το επίπονο μονοπάτι του Feynman
Αν τα περίεργα μυαλά ήθελαν εδώ και πολύ καιρό να μάθουν γιατί τιμές όπως το pi εμφανίζονται στους υπολογισμούς στον κύκλο και τη σφαίρα, σήμερα οι μαθηματικοί και οι φυσικοί θα ήθελαν να μάθουν γιατί αυτές οι τιμές προκύπτουν από ένα διαφορετικό είδος γεωμετρικού αντικειμένου:τα διαγράμματα Feynman.
Τα διαγράμματα Feynman έχουν μια βασική γεωμετρική όψη τους, που σχηματίζονται ως έχουν από ευθύγραμμα τμήματα, ακτίνες και κορυφές. Για να δείτε πώς κατασκευάζονται και γιατί είναι χρήσιμα στη φυσική, φανταστείτε μια απλή πειραματική διάταξη στην οποία ένα ηλεκτρόνιο και ένα ποζιτρόνιο συγκρούονται για να παράγουν ένα μιόνιο και ένα αντιμιόνιο. Για να υπολογίσει την πιθανότητα να λάβει χώρα αυτό το αποτέλεσμα, ένας φυσικός θα πρέπει να γνωρίζει τη μάζα και την ορμή καθενός από τα εισερχόμενα σωματίδια και επίσης κάτι για τη διαδρομή που ακολούθησαν τα σωματίδια. Στην κβαντομηχανική, η διαδρομή που ακολουθεί ένα σωματίδιο μπορεί να θεωρηθεί ως ο μέσος όρος όλων των πιθανών μονοπατιών που μπορεί να ακολουθήσει. Ο υπολογισμός αυτής της διαδρομής γίνεται θέμα λήψης ενός ολοκληρώματος, γνωστό ως ολοκλήρωμα διαδρομής Feynman, πάνω από το σύνολο όλων των μονοπατιών.
Κάθε διαδρομή που θα μπορούσε να ακολουθήσει μια σύγκρουση σωματιδίων από την αρχή μέχρι το τέλος μπορεί να αναπαρασταθεί από ένα διάγραμμα Feynman και κάθε διάγραμμα έχει το δικό του σχετικό ολοκλήρωμα. (Το διάγραμμα και το ολοκλήρωμά του είναι ένα και το αυτό.) Για να υπολογίσετε την πιθανότητα ενός συγκεκριμένου αποτελέσματος από ένα συγκεκριμένο σύνολο συνθηκών εκκίνησης, λαμβάνετε υπόψη όλα τα πιθανά διαγράμματα που θα μπορούσαν να περιγράψουν τι συμβαίνει, να λάβετε κάθε ολοκλήρωμα και να προσθέσετε αυτά τα ολοκληρώματα μαζί. Αυτός ο αριθμός είναι το πλάτος του διαγράμματος. Οι φυσικοί στη συνέχεια τετραγωνίζουν το μέγεθος αυτού του αριθμού για να πάρουν την πιθανότητα.
Αυτή η διαδικασία είναι εύκολο να εκτελεστεί για ένα ηλεκτρόνιο και ένα ποζιτρόνιο που εισέρχεται και ένα μιόνιο και ένα αντιμιόνιο που βγαίνει. Αλλά αυτό είναι βαρετή φυσική. Τα πειράματα για τα οποία ενδιαφέρονται πραγματικά οι φυσικοί περιλαμβάνουν διαγράμματα Feynman με βρόχους. Οι βρόχοι αντιπροσωπεύουν καταστάσεις στις οποίες τα σωματίδια εκπέμπουν και στη συνέχεια επαναρροφούν επιπλέον σωματίδια. Όταν ένα ηλεκτρόνιο συγκρούεται με ένα ποζιτρόνιο, υπάρχει ένας άπειρος αριθμός ενδιάμεσων συγκρούσεων που μπορούν να συμβούν πριν αναδυθεί το τελικό ζεύγος μιονίων και αντιμιονίων. Σε αυτές τις ενδιάμεσες συγκρούσεις, νέα σωματίδια όπως τα φωτόνια δημιουργούνται και εκμηδενίζονται πριν μπορέσουν να παρατηρηθούν. Τα σωματίδια που εισέρχονται και εξέρχονται είναι τα ίδια με αυτά που περιγράφηκαν προηγουμένως, αλλά το γεγονός ότι συμβαίνουν αυτές οι μη παρατηρήσιμες συγκρούσεις μπορεί να έχει ακόμα ανεπαίσθητες επιπτώσεις στο αποτέλεσμα.
«Είναι σαν τους Tinkertoys. Μόλις σχεδιάσετε ένα διάγραμμα, μπορείτε να συνδέσετε περισσότερες γραμμές σύμφωνα με τους κανόνες της θεωρίας», δήλωσε ο Flip Tanedo, φυσικός στο Πανεπιστήμιο της Καλιφόρνια στο Riverside. "Μπορείτε να συνδέσετε περισσότερα sticks, περισσότερους κόμβους, για να το κάνετε πιο περίπλοκο."
Λαμβάνοντας υπόψη τους βρόχους, οι φυσικοί αυξάνουν την ακρίβεια των πειραμάτων τους. (Η προσθήκη ενός βρόχου είναι σαν να υπολογίζετε μια τιμή σε μεγαλύτερο αριθμό σημαντικών ψηφίων). Αλλά κάθε φορά που προσθέτουν έναν βρόχο, ο αριθμός των διαγραμμάτων Feynman που πρέπει να ληφθούν υπόψη — και η δυσκολία των αντίστοιχων ολοκληρωμάτων — αυξάνεται δραματικά. Για παράδειγμα, μια έκδοση ενός βρόχου ενός απλού συστήματος μπορεί να απαιτεί μόνο ένα διάγραμμα. Μια έκδοση δύο βρόχων του ίδιου συστήματος χρειάζεται επτά διαγράμματα. Τρεις βρόχοι απαιτούν 72 διαγράμματα. Αυξήστε το σε πέντε βρόχους και ο υπολογισμός απαιτεί περίπου 12.000 ολοκληρώματα — ένα υπολογιστικό φορτίο που μπορεί κυριολεκτικά να πάρει χρόνια για να επιλυθεί.
Αντί να διερευνούν τόσα πολλά κουραστικά ολοκληρώματα, οι φυσικοί θα ήθελαν να αποκτήσουν μια αίσθηση του τελικού πλάτους απλώς κοιτάζοντας τη δομή ενός δεδομένου διαγράμματος Feynman — ακριβώς όπως οι μαθηματικοί μπορούν να συσχετίσουν περιόδους με κίνητρα.
"Αυτή η διαδικασία είναι τόσο περίπλοκη και τα ολοκληρώματα είναι τόσο δύσκολα, οπότε αυτό που θα θέλαμε να κάνουμε είναι να αποκτήσουμε μια εικόνα για την τελική απάντηση, το τελικό ολοκλήρωμα ή την τελεία, κοιτάζοντας απλώς το γράφημα", είπε ο Μπράουν.
Αποθήκευση
Αποθήκευση
Μια εκπληκτική σύνδεση
Οι περίοδοι και τα πλάτη παρουσιάστηκαν μαζί για πρώτη φορά το 1994 από τον Kreimer και τον David Broadhurst, φυσικό στο Open University στην Αγγλία, με μια εργασία που ακολούθησε το 1995. Η εργασία οδήγησε τους μαθηματικούς να υποθέσουν ότι όλα τα πλάτη ήταν περίοδοι μικτών κινήτρων Tate — ένα ειδικό είδος κινήτρου που πήρε το όνομά του από τον John Tate, ομότιμο καθηγητή στο Πανεπιστήμιο του Χάρβαρντ, στο οποίο όλες οι περίοδοι είναι πολλαπλές τιμές μιας από τις πιο σημαίνουσες κατασκευές στη θεωρία αριθμών, της συνάρτησης ζήτα Riemann. Στην περίπτωση που εισέρχεται ένα ζεύγος ηλεκτρονίων-ποζιτρονίων και βγαίνει ένα ζεύγος μιονίου-αντιμιονίου, το κύριο μέρος του πλάτους εξέρχεται ως εξαπλάσιο της συνάρτησης ζήτα Riemann που εκτιμάται στο τρεις.
Εάν όλα τα πλάτη ήταν πολλαπλές τιμές ζήτα, θα έδινε στους φυσικούς μια καλά καθορισμένη κατηγορία αριθμών για να εργαστούν. Αλλά το 2012 ο Brown και ο συνεργάτης του Oliver Schnetz απέδειξαν ότι δεν είναι έτσι. Ενώ όλα τα πλάτη που συναντούν οι φυσικοί σήμερα μπορεί να είναι περίοδοι μικτών κινήτρων Tate, «υπάρχουν τέρατα που κρύβονται εκεί έξω που ρίχνουν ένα κλειδί στα έργα», είπε ο Brown. Αυτά τα τέρατα είναι "σίγουρα περίοδοι, αλλά δεν είναι οι ωραίες και απλές περιόδους που οι άνθρωποι ήλπιζαν."
Αυτό που γνωρίζουν οι φυσικοί και οι μαθηματικοί είναι ότι φαίνεται να υπάρχει μια σύνδεση μεταξύ του αριθμού των βρόχων σε ένα διάγραμμα Feynman και μιας έννοιας στα μαθηματικά που ονομάζεται «βάρος». Το βάρος είναι ένας αριθμός που σχετίζεται με τη διάσταση του χώρου στον οποίο ενσωματώνεται:Μια περίοδος αναπόσπαστο σε έναν μονοδιάστατο χώρο μπορεί να έχει βάρος 0, 1 ή 2. μια περίοδος αναπόσπαστο σε έναν δισδιάστατο χώρο μπορεί να έχει βάρος έως και 4, και ούτω καθεξής. Το βάρος μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί για την ταξινόμηση των περιόδων σε διαφορετικούς τύπους:Όλες οι περίοδοι βάρους 0 εικάζονται ότι είναι αλγεβρικοί αριθμοί, οι οποίοι μπορούν να είναι οι λύσεις σε πολυωνυμικές εξισώσεις (αυτό δεν έχει αποδειχθεί). η περίοδος ενός εκκρεμούς έχει πάντα βάρος 1. Το pi είναι μια περίοδος βάρους 2. και τα βάρη των τιμών της συνάρτησης ζήτα Riemann είναι πάντα διπλάσια από την είσοδο (άρα η συνάρτηση ζήτα που αξιολογείται στο 3 έχει βάρος 6).
Αυτή η ταξινόμηση των περιόδων κατά βάρη μεταφέρεται στα διαγράμματα Feynman, όπου ο αριθμός των βρόχων σε ένα διάγραμμα σχετίζεται με κάποιο τρόπο με το βάρος του πλάτους του. Τα διαγράμματα χωρίς βρόχους έχουν πλάτη βάρους 0. τα πλάτη των διαγραμμάτων με έναν βρόχο είναι όλες περίοδοι μικτών κινήτρων Tate και έχουν, το πολύ, βάρος 4. Για γραφήματα με πρόσθετους βρόχους, οι μαθηματικοί υποψιάζονται ότι η σχέση συνεχίζεται, ακόμα κι αν δεν μπορούν να τη δουν ακόμα.
«Πηγαίνουμε σε υψηλότερους βρόχους και βλέπουμε περιόδους πιο γενικού τύπου», είπε ο Kreimer. "Εκεί οι μαθηματικοί ενδιαφέρονται πραγματικά γιατί δεν καταλαβαίνουν πολλά για κίνητρα που δεν είναι μικτά κίνητρα Tate."
Οι μαθηματικοί και οι φυσικοί επί του παρόντος πηγαίνουν πέρα δώθε προσπαθώντας να καθορίσουν το εύρος του προβλήματος και να δημιουργήσουν λύσεις. Οι μαθηματικοί προτείνουν συναρτήσεις (και τα ολοκληρώματά τους) στους φυσικούς που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την περιγραφή των διαγραμμάτων Feynman. Οι φυσικοί παράγουν διαμορφώσεις συγκρούσεων σωματιδίων που ξεπερνούν τις λειτουργίες που έχουν να προσφέρουν οι μαθηματικοί. «Είναι πολύ εκπληκτικό να βλέπεις πόσο γρήγορα έχουν αφομοιώσει πολύ τεχνικές μαθηματικές ιδέες», είπε ο Μπράουν. "Έχουμε ξεμείνει από κλασικούς αριθμούς και συναρτήσεις για να δώσουμε στους φυσικούς."
Ομάδες της φύσης
Από την ανάπτυξη του λογισμού τον 17ο αιώνα, οι αριθμοί που προέκυψαν στον φυσικό κόσμο έχουν συμβάλει στη μαθηματική πρόοδο. Αυτό συμβαίνει σήμερα. Το γεγονός ότι οι περίοδοι που προέρχονται από τη φυσική είναι «κάπως θεόδοτες και προέρχονται από φυσικές θεωρίες σημαίνει ότι έχουν πολλή δομή και τη δομή της που ένας μαθηματικός δεν θα σκεφτόταν απαραίτητα ή θα προσπαθούσε να επινοήσει», είπε ο Μπράουν.
Προσθέτει ο Kreimer, «Φαίνεται ότι οι περίοδοι που θέλει η φύση είναι ένα μικρότερο σύνολο από τις περιόδους που μπορούν να ορίσουν τα μαθηματικά, αλλά δεν μπορούμε να ορίσουμε πολύ καθαρά τι είναι πραγματικά αυτό το υποσύνολο».
Ο Brown θέλει να αποδείξει ότι υπάρχει ένα είδος μαθηματικής ομάδας - μια ομάδα Galois - που ενεργεί στο σύνολο των περιόδων που προέρχονται από τα διαγράμματα Feynman. «Η απάντηση φαίνεται να είναι ναι σε κάθε περίπτωση που έχει υπολογιστεί ποτέ», είπε, αλλά η απόδειξη ότι η σχέση ισχύει κατηγορηματικά είναι ακόμα σε απόσταση. «Αν ήταν αλήθεια ότι υπήρχε μια ομάδα που ενεργούσε με βάση τους αριθμούς που προέρχονται από τη φυσική, αυτό σημαίνει ότι βρίσκεις μια τεράστια κατηγορία συμμετριών», είπε ο Μπράουν. "Αν αυτό είναι αλήθεια, τότε το επόμενο βήμα είναι να ρωτήσετε γιατί υπάρχει αυτή η μεγάλη ομάδα συμμετρίας και ποια πιθανή φυσική σημασία θα μπορούσε να έχει."
Μεταξύ άλλων, θα εμβαθύνει την ήδη προκλητική σχέση μεταξύ θεμελιωδών γεωμετρικών κατασκευών από δύο πολύ διαφορετικά περιβάλλοντα:τα κίνητρα, τα αντικείμενα που επινόησαν οι μαθηματικοί πριν από 50 χρόνια για να κατανοήσουν τις λύσεις των πολυωνυμικών εξισώσεων και τα διαγράμματα Feynman, τη σχηματική αναπαράσταση του τρόπου με τον οποίο συγκρούονται σωματίδια παίζουν έξω. Κάθε διάγραμμα Feynman έχει ένα κίνητρο που συνδέεται με αυτό, αλλά το τι ακριβώς λέει η δομή ενός κινήτρου για τη δομή του σχετικού διαγράμματός του παραμένει εικασία όλων.
