Σύστημα μεταβλητής μάζας
Ο δεύτερος νόμος κίνησης του Νεύτωνα δηλώνει τη σχέση μεταξύ της μάζας ενός αντικειμένου, της επιτάχυνσής του και της καθαρής δύναμης που ασκεί σε αυτό. Αλλά αυτός ο νόμος δεν μπορεί να εφαρμοστεί σε ορισμένα αντικείμενα που παίρνουν ή χάνουν βάρος όταν βρίσκονται σε κίνηση. Μια άλλη εξίσωση πρέπει να εξαχθεί για τέτοια αντικείμενα με τη βοήθεια του νόμου της κίνησης του Νεύτωνα και την προσθήκη του συντελεστή ορμής.
Σημασία συστήματος μεταβλητής μάζας
Μια ύλη της οποίας η μάζα ποικίλλει με το χρόνο και έχει τη μορφή συλλογής ονομάζεται σύστημα μεταβλητής μάζας.
Παραγωγή
Για να είναι απλούστεροι οι υπολογισμοί, όλα τα σώματα θεωρούνται σωματίδια. Οι εξισώσεις κίνησης του συστήματος μεταβλητής μάζας έχουν διαφορετικές παραγώγους. Η εξίσωση εξαρτάται από το αν η μάζα φεύγει ή εισέρχεται. Η εξαγωγή της εξίσωσης του συστήματος μεταβλητής μάζας εξαρτάται από την εκτίναξη της μάζας από το σώμα ή από την αύξηση της μάζας από το σώμα.
Μαζική κατάλυση ή εξώθηση
Η προέλευση για το σύστημα στο οποίο η μάζα από το κύριο σώμα εκτινάσσεται είναι διαφορετική από όταν αφαιρείται. Έστω μια μάζα m ταξιδεύει με ταχύτητα v τη χρονική στιγμή t, που οδηγεί στην αρχική ορμή ενός συστήματος να είναι,
p1 =mv
Ας πάρουμε την ταχύτητα της μάζας dm (αφαιρούμενη), τη στιγμή t + dt. Τότε η ορμή που παίρνουμε για το σύστημα είναι,
p2 =(m – dm)(v+dv) – udm=mv + mdv – vdm – dmdv – udm
Στην παραπάνω εξίσωση, το u λαμβάνεται ως η ταχύτητα της εκτινασσόμενης μάζας. Λαμβάνεται αρνητικά επειδή είναι σε κατεύθυνση που είναι αντίθετη από τη μάζα. Η ορμή του συστήματος τη χρονική στιγμή dt δίνεται ως:
dp = p2 – p1 =(mv + mdv – vdm – dmdv – udm) – (mv)=mdv – (v+dv+u)dm
Τώρα, η αποκομμένη μάζα m θα έχει τη σχετική ταχύτητα vrel ως εξής,
vrel =u – (- v- dv) =v + dv + u
Έτσι, μπορούμε να γράψουμε την αλλαγή στην ορμή ως,
dp =(mv)=mdv vrel dm
Επομένως, σύμφωνα με τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα
Fext =dp dt =mdv-vrel dm/dt =m dvdt – vrel dmdt
Έτσι, η τελική εξίσωση είναι,
Fext + vrel dmdt =m dvdt
Μαζική προσαύξηση ή συσσώρευση
Ένα σώμα που κινείται με την ταχύτητα v έχει τη μάζα m, η οποία ποικίλλει ανάλογα με το χρόνο και την αρχική t. Ταυτόχρονα, ένα σωματίδιο με μάζα dm με ταχύτητα u αρχίζει επίσης να κινείται. Μπορούμε να γράψουμε την ορμή στο σημείο εκκίνησης (αρχική ορμή) ως,
p1=mv+udm
Τώρα σε μια χρονική στιγμή t + dt, αφήστε τόσο το κύριο σώμα όσο και το σωματίδιο να συσσωρευτούν σε ένα σώμα ταχύτητας v + dv. Λαμβάνουμε τη νέα ορμή του συστήματος ως,
p2=(m+dm)(v+dv)=mv+mdv+vdm+dmdv
Οι τιμές των dm και dv είναι πολύ μικρές, οπότε αγνοήστε το προϊόν τους. Τη στιγμή dt, η ορμή του συστήματος αλλάζει ως εξής,
dp=p2-p1=(mv+mdv+vdm) – (mv+udm)=mdv-(u-v)dm
Επομένως, σύμφωνα με τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα
Fext =dp dt =mdv-(u-v)dmdt =m dvdt –(u-v) dmdt
Γνωρίζουμε ότι το dm είναι σε σχέση με το m, το οποίο έχει ταχύτητα u – v . Έτσι, κρατώντας το u-v να είναι vrel , στην εξίσωση που παίρνουμε,
Fext + vrel dmdt =m dvdt
Φόρμες
Χρησιμοποιώντας την εξίσωση της επιτάχυνσης, a =dv/dt, μπορούμε να γράψουμε την εξίσωση κίνησης του συστήματος μεταβλητής μάζας ως
Fext + vrel dmdt =ma
Αντικαταστήστε τα σώματα με acm αν δεν μπαίνουν κάτω από τα σωματίδια α. Έτσι η κεντρική μάζα του συστήματος θα έχει την επιτάχυνση,
Fext + vrel dmdt =macm
Συχνά η δύναμη που οφείλεται στην ώθηση λέγεται ως Fthrust =vrel dmdtso.
Fext + Fthrust =macm
Εάν η καθαρή δύναμη ληφθεί ως το άθροισμα της δύναμης ώθησης και της εξωτερικής δύναμης, τότε η εξίσωση θα επιστρέψει στον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα, που είναι
Fnet =macm
Επίσης, η εξίσωση Fext + Fthrust =macm δείχνει ότι το σώμα θα εξακολουθεί να έχει την επιτάχυνση λόγω της ώθησης χωρίς εξωτερικές δυνάμεις.
Συμπέρασμα
Έτσι, μπορεί να συναχθεί το συμπέρασμα ότι η ορμή διατηρείται σε ένα σύστημα μεταβλητής μάζας. Οι εξισώσεις κίνησης για το σύστημα μεταβλητής μάζας έχουν διαφορετικές παραλλαγές αφού οι εξισώσεις εξαρτώνται από την κατάσταση της αύξησης ή της κατάλυσης της μάζας. Ακόμα κι αν δεν δράσουν εξωτερικές δυνάμεις στο σώμα, θα επιταχυνθούν λόγω της δύναμης ώθησης.
