Ποια είναι η Διαφορική Μορφή του Θεωρήματος του Gauss

Ο νόμος του Γκάους είναι ένα από τα θεμελιώδη στοιχεία της φυσικής. Αφορά την παραγωγή ηλεκτρικών πεδίων με την κατανομή των φορτίων στην περιοχή.

Ο νόμος του Gauss δηλώνει ότι η ροή που βγαίνει από την επιφάνεια ισούται με 1 /ε0 του φορτίου που περικλείεται από την επιφάνεια. Το θεώρημα Gauss έχει διάφορες εφαρμογές.

Σε αυτό το υλικό μελέτης, μαθαίνουμε για τη διαφορική μορφή του θεωρήματος του Gauss.

Προϋποθέσεις για το νόμο του Gauss

• Απαιτείται η συμμετρία έναντι της κατανομής φορτίου.
• Το ηλεκτρικό πεδίο πρέπει να είναι συμμετρικό, ίσο και σταθερό σε όλα τα σημεία της επιφάνειας του Gauss.
• Η γωνία θ μεταξύ του διανύσματος Α και του διανύσματος Ε πρέπει να είναι ίδια σε όλα τα σημεία της επιφάνειας.
• Η επιφάνεια του Gauss δεν πρέπει να διέρχεται από κανένα σημείο φορτίου (το φορτίο πρέπει να περικλείεται στην επιφάνεια του Gauss).

Εξίσωση του νόμου του Gauss

Ολοκληρωτική εξίσωση του νόμου του Gauss:

∫E⋅dA =Q/ε0

Πού,

E είναι το διάνυσμα ηλεκτρικού πεδίου

Q είναι το κλειστό ηλεκτρικό φορτίο

ε0 είναι η ηλεκτρική διαπερατότητα του ελεύθερου χώρου

Το A είναι το διάνυσμα κανονικής περιοχής που δείχνει προς τα έξω

Ηλεκτρική ροή

Η ροή είναι ένα μέτρο της ισχύος ενός πεδίου που διέρχεται από μια επιφάνεια. Η ηλεκτρική ροή εκφράζεται ως:

Φ =∫E⋅dA

Η ροή είναι μια κλιμακωτή ποσότητα.

Η ηλεκτρική ροή ορίζεται ως το μέτρο του αριθμού των γραμμών ηλεκτρικού πεδίου που διασχίζουν μια περιοχή.

Η μονάδα SI ηλεκτρικής ροής είναι Nm2/C.

ΦE =E⋅S =EScosθ

Μια άλλη δήλωση του νόμου του Gauss δηλώνει ότι η καθαρή ροή ενός ηλεκτρικού πεδίου μιας δεδομένης επιφάνειας διαιρούμενου κλειστού φορτίου πρέπει να είναι ίση με μια σταθερά.

Διαφορική μορφή του νόμου του Gauss

Σύμφωνα με το θεώρημα του Gauss, η ηλεκτρική ροή σε μια κλειστή επιφάνεια είναι ίση με 1/ε0 φορές του φορτίου που περικλείεται στην επιφάνεια.

Ο νόμος του Gauss αντιπροσωπεύεται από-.

Όπου το 'q' αντιπροσωπεύει το συνολικό φορτίο της επιφάνειας και το '∈0' αντιπροσωπεύει τη διαπερατότητα του ελεύθερου χώρου.

Το θεώρημα Gauss έχει διαφορετικές εφαρμογές.

Η εξίσωση δίνει την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου ενός άπειρου φορτισμένου σύρματος

E =λ/2π∈0r

όπου,

E =Ηλεκτρικό πεδίο

λ =Γραμμική πυκνότητα φορτίου 

∈0 =Επιτρεπτότητα ελεύθερου χώρου 

Όπου λ =q/l (όπου το λ δηλώνει γραμμική πυκνότητα φορτίου, q δηλώνει το συνολικό φορτίο του επιλεγμένου κομματιού και L δηλώνει το συνολικό μήκος του επιλεγμένου κομματιού).

Η εξίσωση δίνει την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου που οφείλεται σε ένα άπειρο επίπεδο φύλλου φορτίου:

E =σ/2∈0

Πού,

E =Ηλεκτρικό πεδίο 

σ =Πυκνότητα επιφανειακής φόρτισης 

∈0  =Επιτρεπτότητα σε ελεύθερο χώρο.

Όπου, σ =q/A (όπου το σ υποδηλώνει την επιφανειακή πυκνότητα φορτίου, το q υποδηλώνει το συνολικό φορτίο του φύλλου, το A δηλώνει την επιφάνεια του φύλλου).

Σύμφωνα με τη διαφορική μορφή του νόμου του Gauss, η απόκλιση του ηλεκτρικού πεδίου σε οποιοδήποτε σημείο του χώρου είναι ίση με 1/∈0 φορές την πυκνότητα φορτίου όγκου «ρ» σε αυτό το σημείο.

Το θεώρημα απόκλισης Gauss αντιπροσωπεύεται από το

Εφαρμογή του νόμου του Gauss

• Εδώ, λ γραμμική πυκνότητα φορτίου σε περίπτωση άπειρης γραμμής φορτίου, σε απόσταση «d». E =(1/4πdε0) (2π/d) =λ/2πdε0.
• Εδώ, σ είναι η πυκνότητα επιφανειακού φορτίου και, στη συνέχεια, η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου κοντά σε ένα επίπεδο φύλλο φορτίου αντιπροσωπεύεται από E =σ/2ε0K.
• Εδώ, η διηλεκτρική σταθερά είναι Κ και το μέσο είναι ΑΕΡΑ, τότε το ηλεκτρικό πεδίο στον αέρα =σ/Kε0. Η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου κοντά σε ένα επίπεδο αγωγό φορτίου E =σ/Kε0 (στο μέσο της διηλεκτρικής σταθεράς).
•  Ε =σ/ε0 εφαρμόζεται όταν το πεδίο βρίσκεται ανάμεσα σε δύο παράλληλες πλάκες ενός συμπυκνωτή, όπου σ είναι η πυκνότητα επιφανειακής φόρτισης.

Συμπέρασμα

Ο νόμος του Gauss εξάγει τη σχέση μεταξύ του φορτίου που περικλείεται και της ηλεκτρικής ροής. Όπως ο νόμος του Νεύτωνα, είναι επίσης ένας παγκόσμιος νόμος. Αλλά είναι χρήσιμο υπό ορισμένες συνθήκες να εφαρμόζεται σε κλειστές επιφάνειες, το τυπικό σχήμα των επιφανειών Gauss (σφαιρική, κυλινδρική ή επίπεδη συμμετρία). Η κατανομή της αλλαγής πρέπει να είναι συμμετρική. Δεν ισχύει για ανοιχτές επιφάνειες. Ο νόμος του Gauss εφαρμόζεται επίσης σε μη ομοιόμορφες επιφάνειες.