Τύποι συστήματος εξισώσεων

Ένα σύστημα εξισώσεων αποτελείται από δύο ή περισσότερες γραμμικές εξισώσεις που διαθέτουν περισσότερες από μία μεταβλητές. Μια λύση σε ένα σύστημα εξισώσεων είναι τυπικά το σύνολο τιμών ικανών να λύσουν τις γραμμικές εξισώσεις και να ικανοποιήσουν το σύστημα εξισώσεων ταυτόχρονα.

Ένα σύστημα έχει δύο κύριες ιδιότητες:

1. Αποτελείται από πολλές λειτουργίες που αλληλεπιδρούν και επηρεάζουν η μία την άλλη.

2. Παράγει μια έξοδο όταν παρέχεται μια είσοδος.

Ομοίως, ένα σύστημα εξισώσεων είναι ένα γραμμικό σύστημα που αποτελείται από μια είσοδο, που είναι οι τιμές των μεταβλητών, και διάφορες συναρτήσεις, οι οποίες είναι οι συντελεστές που επηρεάζουν ο ένας τον άλλον.

Το γραμμικό σύστημα είναι όπου η έξοδος εξαρτάται από την είσοδο. Ομοίως, ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων εξαρτάται επίσης από την είσοδο, δηλαδή τις μεταβλητές.

Χαρακτηριστικά συστημάτων εξισώσεων

Ένα σύστημα εξισώσεων έχει κατάλληλα χαρακτηριστικά για τις γραμμικές εξισώσεις:

1. Μπορούν να αναπαρασταθούν με τη μορφή γραφήματος, δηλαδή να εκπληρώνουν τη γραφική εξίσωση 

y =mx + b

όπου m =κλίση του γραφήματος

και b =y-intercept 

1. Δεν υπάρχουν καμπύλες, μόνο ευθείες γραμμές που προκύπτουν από τη γραμμική εξίσωση σε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων.

2. Οποιοδήποτε σημείο σε μία ευθεία είναι η λύση της μεταβλητής αυτής της εξίσωσης, αλλά η λύση σε δύο ή περισσότερες εξισώσεις ταυτόχρονα πρέπει να είναι το σημείο όπου τέμνονται αυτές οι ευθείες.

Λύσεις σε ένα σύστημα εξισώσεων

Το σημείο στο οποίο τέμνονται οι γραφικές παραστάσεις όλων των εξισώσεων είναι η λύση ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων. Ένα γραμμικό σύστημα εξισώσεων μπορεί να έχει μια μοναδική λύση, άπειρες λύσεις ή καμία λύση. Ας εξερευνήσουμε τις διαφορετικές λύσεις ενός συστήματος εξισώσεων:

1. Μοναδικές λύσεις:όταν οι ευθείες των εξισώσεων σε ένα σύστημα εξισώσεων τέμνονται σε ένα μόνο σημείο και σε κανένα άλλο, το σύστημα λέγεται ότι έχει μια μοναδική ή μοναδική λύση .

2. Άπειρες λύσεις:όταν οι γραμμές των εξισώσεων σε ένα σύστημα εξισώσεων τέμνονται σε πολλά σημεία, κάτι που συνήθως συμβαίνει όταν έχουν την ίδια κλίση και την ίδια τομή y, Υποτίθεται ότι είναι η ίδια γραμμή και ως εκ τούτου επικαλύπτονται σε πολλά σημεία. Σε τέτοιες περιπτώσεις, διαθέτουν άπειρες λύσεις.

3. Καμία λύση:όταν οι γραμμές των εξισώσεων σε ένα σύστημα εξισώσεων δεν τέμνονται καθόλου, κάτι που συνήθως συμβαίνει όταν έχουν την ίδια κλίση αλλά διαφορετική τομή y , λέγεται ότι δεν έχουν λύση. Τέτοιες ευθείες είναι παράλληλες.

Τύποι του συστήματος εξισώσεων

Με βάση τους τύπους λύσεων που μπορεί να έχει ένα σύστημα εξισώσεων, τα συστήματα εξισώσεων χωρίζονται σε δύο τύπους:

1. Συνεπές σύστημα:Ένα σύστημα με μοναδική ή μεμονωμένη λύση λέγεται ότι είναι συνεπές. Αυτό αναφέρεται συχνά ως "κανονικό" σύστημα εάν αντιπροσωπεύει ένα πραγματικό φυσικό σύστημα ή ένα πραγματικό σύστημα.

2. Ασυνεπές σύστημα:Ένα σύστημα που έχει άπειρες λύσεις λέγεται ότι είναι ασυνεπές ή περιττό. Αυτό οφείλεται στις επαναλαμβανόμενες λύσεις που παρέχει το σύστημα λόγω της φύσης του. Αυτό το σύστημα θεωρείται ανακριβής ανάλυση εάν χρησιμοποιείται για να αναπαραστήσει ένα πραγματικό σύστημα.

Με βάση τις ορίζουσες των εξισώσεων, τα συστήματα χωρίζονται σε δύο τύπους:

1. Ομογενές

2. Μη ομοιογενής

Ας εξετάσουμε ένα σύστημα εξισώσεων ως εξής:

a1x + b1y + c1z =d1 

a2x + b2y + c2z =d2

a3x + b3y + c3z =d3 

[Παρατηρήστε ότι αυτές οι εξισώσεις δεν εμφανίζονται στη μορφή y =mx + b. Ωστόσο, πρέπει να αναδιαταχθούν σε αυτήν τη μορφή πριν σχεδιάσουν ένα γράφημα για να καθορίσουν τις λύσεις τους.]

Αν d1 =d2 =d3 =0, τότε το σύστημα λέγεται ότι είναι ομοιογενές. διαφορετικά, είναι μη ομοιογενής.

Πώς χρησιμοποιούνται τα συστήματα εξισώσεων στην πραγματική ζωή;

Στην πραγματική ζωή, μάλλον συγκεκριμένα στη φυσική, τα συστήματα εξισώσεων χρησιμοποιούνται συνήθως για να αναπαραστήσουν εξισώσεις κίνησης. Αυτές είναι εξισώσεις που περιγράφουν τη συμπεριφορά ενός φυσικού ή ενός συστήματος της πραγματικής ζωής ως προς την κινητική ως συνάρτηση του χρόνου. Συχνά θα βρείτε προβλήματα που εστιάζουν στη συγκριτική συμπεριφορά δύο συνόλων με κοινή φυσική λειτουργία. Αυτά τα προβλήματα μπορούν εύκολα να λυθούν χρησιμοποιώντας ένα σύστημα εξισώσεων.

Τα πιο συνηθισμένα παραδείγματα αυτών των προβλημάτων αφορούν την ταχύτητα, ανάντη και κατάντη, ή εκείνα που συγκρίνουν αποστάσεις που καλύπτονται από δύο συστήματα σε διαφορετικά χρονικά διαστήματα.

Ας πάρουμε ένα παράδειγμα.

Ένα αγόρι μπορεί να τρέξει με ταχύτητα 0,2 χλμ. ανά λεπτό. Ο φίλος του μπορεί να κάνει ποδήλατο με ταχύτητα 0,6 χλμ. το λεπτό. Ωστόσο, ο φίλος απαιτεί τουλάχιστον 5 λεπτά για να λαδώσει το ποδήλατό του πριν ξεκινήσει. Πόσο καιρό θα κάνει ο φίλος του να προσπεράσει το αγόρι;

Ας υποθέσουμε ότι το αγόρι καλύπτει x απόσταση σε y χρόνο.

Γνωρίζουμε ότι απόσταση =ταχύτητα * χρόνος

Λοιπόν, για το αγόρι, παίρνουμε x =0,2 y

Ομοίως, για τον φίλο του, παίρνουμε x =0,6 (y – 5) [Σημείωση:Το 5 αφαιρείται από το χρόνο που χρειάστηκε ο φίλος καθώς ο φίλος ξεκινά 5 λεπτά αργότερα λόγω του χρόνου που απαιτείται για να λαδώστε το ποδήλατό του.]

Ως εκ τούτου, λαμβάνουμε δύο διαφορετικά σύνολα εξισώσεων με μια μοναδική λύση καθώς αντιπροσωπεύουν μια φυσική ρύθμιση.

Συμπέρασμα

Ένα σύστημα εξισώσεων είναι μια συλλογή δύο ή περισσότερων εξισώσεων με το ίδιο σύνολο αγνώστων. Κατά την επίλυση ενός συστήματος εξισώσεων, προσπαθούμε να βρούμε τιμές για καθένα από τα άγνωστα που θα ικανοποιούν κάθε εξίσωση του συστήματος. Ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων είναι μια πολύ σημαντική έννοια, καθώς χρησιμοποιείται για την αναπαράσταση και την επίλυση πολλών προβλημάτων της πραγματικής ζωής, συμπεριλαμβανομένων εκείνων της φυσικής, της μηχανικής και των μαθηματικών.