Υπέρθεση κυμάτων
Ηχητικά κύματα
Τα κύματα είναι παντού γύρω μας. Ας υποθέσουμε ότι βρίσκεστε σε μια βάρκα και ακούτε τη σειρήνα ενός πλοίου. Σε αυτήν την περίπτωση, θα μπορείτε να ακούσετε τόσο το άμεσο ηχητικό κύμα από τη σειρήνα του πλοίου όσο και το ηχητικό κύμα που ανακλάται από το θαλασσινό νερό.
Εισαγωγή στην υπέρθεση κυμάτων
Ας χρησιμοποιήσουμε το παράδειγμα ενός κύματος χορδής για να ορίσουμε την αρχή της υπέρθεσης κυμάτων που βασίζεται στο θεώρημα υπέρθεσης. Σύμφωνα με αυτό, το αλγεβρικό σύνολο των μετατοπίσεων που προκαλούνται από κάθε κύμα ισούται με την καθαρή μετατόπιση οποιουδήποτε στοιχείου στη χορδή για δεδομένο χρόνο. Ως αποτέλεσμα, η αρχή της υπέρθεσης αναφέρεται στη διαδικασία προσθήκης διακριτών κυματομορφών για τον προσδιορισμό της καθαρής κυματομορφής.
Όταν δύο ή περισσότερα κύματα φτάνουν στην ίδια θέση την ίδια στιγμή, υπερτίθενται το ένα πάνω στο άλλο. Όταν τα κύματα συγκρούονται, οι διαταραχές των κυμάτων υπερτίθενται, ένα φαινόμενο είναι γνωστό ως υπέρθεση κυμάτων. Κάθε διακοπή συνδέεται με μια δύναμη, η οποία αθροίζεται. Εάν όλες οι διαταραχές ακολουθούν την ίδια διαδρομή, το τελικό κύμα είναι απλώς το άθροισμα των μεμονωμένων διαταραχών των κυμάτων—δηλαδή, τα πλάτη τους αθροίζονται.
Δύο παλμοί κύματος αντίθετης κατεύθυνσης υπερτιθέμενοι
Δύο παλμοί κυμάτων Gauss ταξιδεύουν στο ίδιο μέσο αλλά διαφορετικές κατευθύνσεις, όπως φαίνεται στην κινούμενη εικόνα στα αριστερά. Τα κύματα διέρχονται μεταξύ τους ανεπηρέαστα και η καθαρή μετατόπιση είναι ίση με το σύνολο των χωριστών μετατοπίσεων τους.
Αξίζει επίσης να σημειωθεί ότι, επειδή οι παλμοί των κυμάτων Gauss δεν αλλάζουν σχήμα καθώς ταξιδεύουν, αυτό το μέσο δεν είναι διασκορπισμένο (όλες οι συχνότητες κινούνται με τον ίδιο ρυθμό). Το σχήμα των κυμάτων θα διέφερε αν το μέσο ήταν διασκορπιστικό.
Τα σολίτονα είναι μη γραμμικά κύματα που αλληλεπιδρούν μεταξύ τους αλλά δεν υπακούουν στην αρχή της υπέρθεσης.
Εποικοδομητική και καταστροφική παρέμβαση
Δύο κύματα ταξιδεύουν προς την ίδια κατεύθυνση (με το ίδιο πλάτος, συχνότητα και μήκος κύματος). Η προκύπτουσα μετατόπιση κύματος μπορεί να εκφραστεί ως:Όταν εστιάζουμε στην αρχή της υπέρθεσης των κυμάτων, η μετατόπιση κύματος που προκύπτει μπορεί να γραφτεί ως:
y(x,t) =ymsin(kx−ωt) + ymsin(kx−ωt+ϕ)
y(x,t) =2ymcos(ϕ/2)sin(kx−ωt+ϕ/2)
Πρόκειται για ένα κινούμενο κύμα του οποίου το πλάτος είναι ανάλογο της φάσης του. Όταν τα δύο κύματα βρίσκονται σε φάση (=0), παρεμβάλλονται εποικοδομητικά, με αποτέλεσμα ένα κύμα με διπλάσιο πλάτος από τα ξεχωριστά κύματα. Όταν η φάση δύο κυμάτων απέχει 180 μοίρες μεταξύ τους, παρεμβάλλονται καταστροφικά και αλληλοεξουδετερώνονται.
Η κινούμενη εικόνα στα αριστερά δείχνει πώς, ανάλογα με τη σχετική φάση τους, δύο ημιτονοειδή κύματα του ίδιου πλάτους και συχνότητας μπορούν να προσθέσουν καταστροφικά ή εποικοδομητικά.
(ΣΗΜΕΙΩΣΗ:Αυτό το κινούμενο σχέδιο δεν απεικονίζει την πραγματική διάδοση του κύματος σε ένα μέσο· χρησιμεύει απλώς για να δείξει το αποτέλεσμα της προσαρμογής της μετατόπισης φάσης μεταξύ δύο κυμάτων και της επακόλουθης εποικοδομητικής ή καταστροφικής παρεμβολής.)
Με τον καιρό, η διαφορά φάσης μεταξύ των δύο κυμάτων διευρύνεται, αποκαλύπτοντας τις επιπτώσεις τόσο των εποικοδομητικών όσο και των καταστροφικών παρεμβολών. Η συνέπεια είναι ένα μεγάλο πλάτος όταν τα δύο μεμονωμένα κύματα είναι ακριβώς σε φάση. Το κύμα αθροίσματος είναι 0 όταν τα δύο γκρι κύματα είναι τελείως εκτός φάσης.
Ένα στάσιμο κύμα σχηματίζεται από δύο ημιτονοειδή κύματα που κινούνται σε κατευθύνσεις αντίθετες το ένα από το άλλο
Ένα κινούμενο κύμα μετακινείται από τη μια τοποθεσία στην άλλη, ενώ ένα στάσιμο κύμα φαίνεται να είναι ακίνητο και δονείται στο ίδιο σημείο. Δύο κύματα που ταξιδεύουν σε αντίθετες κατευθύνσεις σε αυτό το κινούμενο σχέδιο. Το προκύπτον πλάτος κύματος μπορεί να γραφτεί ως:Χρησιμοποιώντας την αρχή της υπέρθεσης κυμάτων, το προκύπτον πλάτος κύματος μπορεί να γραφτεί ως:
y(x,t) =ym sin(kx−ωt) + ymsin(kx+ωt)
y(x,t) =2ym cos(ωt)sin(kx)
Δεδομένου ότι η εξάρτηση θέσης και χρόνου έχουν διαχωριστεί, αυτό το κύμα δεν είναι πλέον ένα ταξιδιωτικό κύμα. 2 εμ sin(kx) είναι το πλάτος του κύματος ως συνάρτηση της θέσης (kx). Αυτό το πλάτος δεν κινείται. Αντίθετα, παραμένει ακίνητο και ταλαντώνεται πάνω-κάτω ακολουθώντας το cos(ωt). Τα στάσιμα κύματα έχουν θέσεις με μέγιστη μετατόπιση (αντινόδες) και θέσεις με μηδενικές μετατοπίσεις (μηδενικές μετατοπίσεις) (κόμβους).
Όταν δύο ημιτονοειδή κύματα ίδιας συχνότητας (και μήκους κύματος) και πλάτους ταξιδεύουν σε αντίθετες κατευθύνσεις στο ίδιο μέσο, η καθαρή μετατόπιση του μέσου είναι ίση με το άθροισμα των δύο κυμάτων χρησιμοποιώντας την υπέρθεση κυμάτων. Τα δύο κύματα αλληλοακυρώνονται όταν είναι 180° εκτός φάσης μεταξύ τους και αθροίζονται όταν είναι τέλεια σε φάση μεταξύ τους, όπως φαίνεται στο βίντεο. Το καθαρό αποτέλεσμα των δύο κυμάτων που διέρχονται το ένα από το άλλο κυμαίνεται μεταξύ μηδέν και κάποιου μέγιστου πλάτους. Ωστόσο, επειδή αυτό το μοτίβο απλώς ταλαντώνεται αντί να κινείται προς τα δεξιά ή προς τα αριστερά, αναφέρεται ως "στάσιμο κύμα".
Δύο ημιτονοειδή κύματα με διαφορετικές συχνότητες:Beats
Στην ίδια κατεύθυνση κινούνται δύο κύματα ίδιου πλάτους. Αν και οι συχνότητες και τα μήκη κύματος των δύο κυμάτων είναι διαφορετικά, και τα δύο ταξιδεύουν με τον ίδιο ρυθμό. Η προκύπτουσα μετατόπιση σωματιδίων μπορεί να αναπαρασταθεί ως:Χρησιμοποιώντας την αρχή της υπέρθεσης των κυμάτων, η προκύπτουσα μετατόπιση σωματιδίων μπορεί να γραφτεί ως:
y(x,t) =ym sin(k1 x−ω2 t) + ymsin(k2 x−ω2 t)
y(x,t) =2ym cos[x(k1 −k2 )/2−t(ω1−ω2)/2]sin[x(k1 +k2 )/2−t(ω1+ω2)/2]
Η προκύπτουσα κίνηση των σωματιδίων είναι το αποτέλεσμα δύο κυμάτων που ταξιδεύουν σε αντίθετες κατευθύνσεις. Ένα συστατικό είναι ένα ημιτονοειδές κύμα με μέση συχνότητα f =½ (f1 + f2). Αυτή είναι η συχνότητα που αντιλαμβάνεται ο ακροατής. Η άλλη συνιστώσα είναι ένα συνημιτονικό κύμα με διαφορική συχνότητα f =½(f1 – f2). Αυτή η λέξη περιγράφει πώς ελέγχεται το πλάτος του κύματος "φάκελος" και πώς γίνεται αντιληπτό το "beats", fbeat =(f1 – f2).
Τα δύο κύματα ταξιδεύουν με τον ίδιο ρυθμό αφού βρίσκονται στο ίδιο μέσο. Το κύμα αθροίσματος υπέρθεσης κινείται προς την ίδια κατεύθυνση και με την ίδια ταχύτητα με τα δύο συνιστώμενα κύματα, αλλά το τοπικό του πλάτος καθορίζεται από το αν τα δύο μεμονωμένα κύματα έχουν την ίδια ή αντίθετη φάση. Το κύμα "beat" ταλαντώνεται στη μέση συχνότητα, με τη διαφορική συχνότητα να επηρεάζει το περίβλημα του πλάτους.
Συμπέρασμα
Όταν δύο (ή περισσότερα) κύματα διέρχονται από ένα ειδικό μέσο, η αρχή της υπέρθεσης των κυμάτων μπορεί να εφαρμοστεί σε αυτά. Τα κύματα είναι ανενόχλητα καθώς ταξιδεύουν το ένα μέσα στο άλλο. Το άθροισμα των επιμέρους μετατοπίσεων κύματος είναι η καθαρή μετατόπιση του μέσου σε οποιαδήποτε θέση στο χώρο ή στο χρόνο. Αυτό ισχύει τόσο για κύματα πεπερασμένου μήκους (παλμοί κυμάτων) όσο και για συνεχή ημιτονοειδή.
