Επίλυση των Διαφορικών Εξισώσεων

Ο νόμος του Coulomb περιγράφει τη δύναμη μεταξύ δύο ακίνητων, ηλεκτρικά φορτισμένων σωματιδίων, γνωστή και ως ηλεκτροστατική δύναμη.

Ο Θαλής της Μιλήτου ήταν ο πρώτος που τήρησε το νόμο του Κουλόμπ το 600 π.Χ. Δύο σώματα φορτισμένα με στατικό ηλεκτρισμό είτε θα απωθούν είτε θα προσελκύουν το ένα το άλλο ανάλογα με τη φύση του φορτίου τους. Ο υπολογισμός της δύναμης έλξης ή απώθησης μεταξύ φορτισμένων σωμάτων ήταν απλώς μια παρατήρηση, όχι μια μαθηματική θεωρία.

Το 1785, ο Charles Augustin de Coulomb, ένας Γάλλος φυσικός, δημοσίευσε την εξίσωση για τη δύναμη απώθησης ή έλξης μεταξύ δύο ηλεκτρικά φορτισμένων σωμάτων μετά από πολλούς αιώνες. Επιπλέον, αυτό ήταν κοινώς γνωστό ως Νόμος του Coulomb. Ο νόμος του Coulomb δηλώνει ότι η ένταση της ηλεκτροστατικής δύναμης έλξης ή απώθησης μεταξύ δύο ηλεκτρικά φορτισμένων σωμάτων είναι ευθέως ανάλογη με το γινόμενο των φορτίων τους και αντιστρόφως ανάλογη με το τετράγωνο των αποστάσεων τους.

Αρχή του νόμου του Coulomb

Αν έχουμε δύο φορτισμένα σώματα, ένα θετικά φορτισμένο, ένα αρνητικά φορτισμένο και απόσταση μεταξύ τους, θα έλκονται το ένα το άλλο. Όταν αυξάνουμε το φορτίο ενός σώματος ενώ διατηρούμε το άλλο αμετάβλητο, η δύναμη έλξης αυξάνεται.

Με τον ίδιο τρόπο, αν αυξήσουμε το φορτίο του δεύτερου σώματος διατηρώντας το πρώτο αμετάβλητο, η δύναμη έλξης μεταξύ τους αυξάνεται ξανά. Επομένως, η δύναμη μεταξύ των φορτισμένων σωμάτων είναι ανάλογη των φορτίων τους.

Διατηρώντας τα φορτία σταθερά στα Q1 και Q2, η δύναμη μεταξύ των δύο σημείων αυξάνεται καθώς μειώνεται η απόσταση και η δύναμη μειώνεται όσο αυξάνεται το μήκος μεταξύ των σημείων.

Αν η απόσταση μεταξύ των δύο σωμάτων φορτίου είναι d, τότε η δύναμη που ασκεί σε αυτά είναι αντιστρόφως ανάλογη του d2. F ∝ 1/d2. Η δύναμη μεταξύ δύο εξίσου φορτισμένων σωμάτων δεν είναι ίδια σε όλα τα μέσα. Επομένως το εr θα άλλαζε για διαφορετικά μέσα. Έτσι, η δύναμη που εφαρμόζεται μπορεί να ποικίλλει ανάλογα με το μέσο. F ∝ 1/ εr

Εξίσωση του νόμου του Coulomb

Σύμφωνα με το νόμο του Κουλόμπ, η ενέργεια μεταξύ δύο φορτισμένων αντικειμένων είναι ανάλογη με τα αντίστοιχα φορτία τους και αντιστρόφως ανάλογη με την απόσταση διαχωρισμού τους και μπορεί να εκφραστεί μαθηματικά ως F=k * Q1* Q2/ d2

Το αντικείμενο «1» φορτίζεται με Q1 (σε Coulombs), το αντικείμενο «2» φορτίζεται με Q2 και d είναι η απόσταση μεταξύ των δύο αντικειμένων (μέτρα). Το γράμμα Κ αντιπροσωπεύει τη σταθερά του νόμου του Κουλόμπ k.

Η τιμή του k εξαρτάται από το μέσο στο οποίο βυθίζονται τα φορτισμένα αντικείμενα. Όσον αφορά τον αέρα, η τιμή είναι περίπου 9,0 x 109 N /m2 /c2. Στην εξίσωση, το k αντικαθιστά τα Κουλόμπ, αφαιρώντας τις μονάδες απόστασης και φορτίου, αφήνοντας τα Νεύτωνα ως μονάδα δύναμης.

Ένα σημειακό φορτίο μπορεί να περιγραφεί χρησιμοποιώντας το νόμο του Κουλόμπ, ο οποίος περιγράφει τη δύναμη μεταξύ δύο αντικειμένων με ακρίβεια, σχεδόν σαν να ήταν όλα συγκεντρωμένα στο κέντρο του. Το φορτίο μιας αγώγιμης σφαίρας αλληλεπιδρά με το φορτίο άλλων αντικειμένων.

Το κέντρο φόρτισης μιας σφαίρας, ανεξάρτητα από το πόσο ομοιόμορφα είναι κατανεμημένα τα φορτία, μπορεί να θεωρηθεί το κέντρο της.

Ένα σημειακό φορτίο βρίσκεται στο κέντρο της σφαίρας. Εφόσον ο νόμος του Κουλόμπ ισχύει για σημειακά φορτία, η απόσταση μεταξύ των κέντρων φορτίου κάθε αντικειμένου είναι d στην εξίσωση.

Οι Q1 και Q2 είναι οι ποσότητες φορτίου για τα δύο αλληλεπιδρώντα αντικείμενα στην εξίσωση του νόμου του Coulomb. Καθώς ένα αντικείμενο μπορεί να φορτιστεί θετικά ή αρνητικά, αυτές οι ποσότητες μπορούν να εκφραστούν ως θετικές ή αρνητικές τιμές. Στην περίπτωση ενός αρνητικά φορτισμένου αντικειμένου, το πρόσημο δείχνει ότι έχει πλεόνασμα ηλεκτρονίων, ενώ ένα θετικά φορτισμένο αντικείμενο έχει έλλειμμα ηλεκτρονίων.

Μια απωστική δύναμη προκύπτει εάν χρησιμοποιούνται τα σημάδια «+» και «-», ενώ μια αρνητική τιμή υποδηλώνει ελκτική δύναμη.

Όταν τα Q1 και Q2 έχουν το ίδιο φορτίο, τότε η τιμή της δύναμης πρέπει να είναι θετική και όταν τα Q1 και Q2 έχουν αντίθετα φορτία, η τιμή δύναμης είναι αρνητική, αφού το ένα έχει φορτίο «+», ενώ το άλλο έχει φορτίο «-». . Επομένως, η αλληλεπίδραση μεταξύ αντικειμένων «αντίθετα φορτισμένων» και «ομοίως φορτισμένων» αντικειμένων συνάδει με την ιδέα ότι τα «αντίθετα φορτισμένα» αντικείμενα έχουν μια ελκυστική αλληλεπίδραση.

Περιορισμοί του νόμου του Coulomb

Σε αντίθεση με άλλους γενικούς τύπους, ο νόμος του Coulomb προκύπτει με συγκεκριμένες παραδοχές και δεν μπορεί να εφαρμοστεί ελεύθερα. Τα όριά του είναι τα εξής:

• Ο νόμος του Κουλόμπ δεν ισχύει εάν ο μέσος αριθμός μορίων διαλύτη ανάμεσα σε δύο ενδιαφέροντα σωματίδια φορτίου είναι μεγάλος.
• Οι χρεώσεις πόντων πρέπει να είναι σε ηρεμία για να εφαρμοστεί ο νόμος του Coulomb.
• Ο νόμος του Coulomb είναι άκυρος εάν τα φορτισμένα σώματα είναι περιορισμένης διάστασης έτσι ώστε να μην μπορούν να θεωρηθούν σημειακή χρέωση. Έτσι, ο νόμος του Coulomb δεν ισχύει για αποστάσεις κάτω από 10-15 cm.
• Ο νόμος του αντίστροφου τετραγώνου ισχύει για τον νόμο του Coulomb. Είναι κατάλληλο μόνο σε περιπτώσεις όπου ισχύει ο νόμος του αντίστροφου τετραγώνου.
• Τα μόρια του διαλύτη μεταξύ των σωματιδίων πρέπει να είναι μεγαλύτερα και από τα δύο φορτία για να είναι έγκυρα.
• Οι φορτίσεις με κανονικά και λεία σχήματα μπορούν να αντιμετωπιστούν εύκολα με αυτόν τον τύπο, αλλά οι φορτίσεις με ακανόνιστα σχήματα γίνονται πολύ περίπλοκες.
• Μια χρέωση σε αυθαίρετο σχήμα καθιστά δύσκολη την εφαρμογή του νόμου του Coulomb. Έτσι, δεν μπορούμε να προσδιορίσουμε την απόσταση «d» μεταξύ των φορτίων όταν αυτά διαμορφώνονται αυθαίρετα. Το κέντρο των αυθαίρετα διαμορφωμένων φορτισμένων σωμάτων δεν μπορεί να προσδιοριστεί με ακρίβεια, επομένως η απόσταση r δεν μπορεί να προσδιοριστεί σωστά.

Συμπέρασμα

Η ηλεκτρική δύναμη είναι αντιστρόφως ανάλογη με το τετράγωνο του νόμου του Κουλόμπ. Επιπλέον, αυτός ο νόμος χρησιμοποιείται για την ακριβή εξαγωγή του νόμου του Gauss για γενικές περιπτώσεις. Τα φορτία σε ηρεμία ασκούν τις ακόλουθες ιδιότητες σύμφωνα με το νόμο του Coulomb - όπου παρόμοια φορτία απωθούν το ένα το άλλο και σε αντίθεση με τα φορτία ελκύονται το ένα το άλλο.

Η διανυσματική μορφή του νόμου του Κουλόμπ παρέχει την κατεύθυνση των ηλεκτρικών πεδίων που προκαλούνται από φορτία. Δύο αρνητικά φορτία απωθούν το ένα το άλλο, ενώ ένα θετικό φορτίο έλκει ένα αρνητικό φορτίο. Στη φυσική, τα φορτία ενεργούν σύμφωνα με τις γραμμές έλξης τους.