Σχετική γωνιακή ταχύτητα

Τι είναι η γωνιακή ταχύτητα;

Η γωνιακή ταχύτητα μπορεί να οριστεί ως ο ρυθμός μεταβολής της γωνιακής θέσης στο χρόνο. Είναι διανυσματική ποσότητα. Η διεύθυνσή του είναι κάθετη στο διάνυσμα θέσης και την κατεύθυνση της ταχύτητάς του.

Από τη διανυσματική ανάλυση, γνωρίζουμε ότι ο ρυθμός μεταβολής μιας διανυσματικής ποσότητας Α σε χρόνο όταν περιστρέφεται γύρω από ένα σημείο με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω δίνεται από,

dA/dt =ω X A

Επομένως ο ρυθμός μεταβολής του διανύσματος θέσης r ως προς ένα σημείο δίνεται από

dr/dt =ω X r

⇒ v =ω X r

V εδώ είναι η ταχύτητα σε σχέση με αυτό το σημείο. Αυτή είναι η τυπική σχέση μεταξύ γωνιακής ταχύτητας και διανύσματος ταχύτητας. Αν η διεύθυνση του διανύσματος θέσης και η γωνιακή ταχύτητα είναι αμοιβαία κάθετες, μπορούμε να γράψουμε την παραπάνω εξίσωση ως v =ωr. Εδώ, σε αυτήν την περίπτωση, το σημείο αναφοράς βρίσκεται σε ηρεμία.

Η γωνιακή ταχύτητα μπορεί επίσης να οριστεί ως ο ρυθμός μεταβολής της γωνίας στο χρόνο.

ω =dΦ/dt

Σχετική ταχύτητα:

Η σχετική ταχύτητα ενός σώματος μπορεί να οριστεί ως η ταχύτητα αυτού του σώματος στο πλαίσιο αναφοράς ενός άλλου σώματος που επίσης κινείται. Η σχετική ταχύτητα ενός σώματος Α σε σχέση με ένα σώμα Β που ταξιδεύει υπό γωνία Φ με Β μπορεί να γραφτεί ως,

vAB =( va2 + vb2 – 2vavbcosΦ)½

Σχετική γωνιακή ταχύτητα περιστροφής ενός άκαμπτου σώματος.

Η γωνιακή ταχύτητα ενός σημείου σε ένα άκαμπτο σώμα γύρω από τον άξονα περιστροφής του θα είναι πάντα ίση με τη γωνιακή ταχύτητα του άκαμπτου σώματος. Αλλά αν αφαιρέσουμε το σημείο αναφοράς από τον άξονα περιστροφής, τότε η σχετική γωνιακή ταχύτητα ενός σημείου σε αυτό το άκαμπτο σώμα θα αλλάξει ανάλογα με το σημείο που θα επιλέξουμε.

Για παράδειγμα, ας ρίξουμε μια ματιά στην περιστροφή του δίσκου που φαίνεται στην παρακάτω εικόνα,

 Εδώ εξετάσαμε δύο σημεία στο δίσκο. Έστω τα δύο σημεία p και q. Εδώ ο δίσκος περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω. Άρα η γωνιακή ταχύτητα των σημείων p και q θα δοθεί από το

vp =ωrp  και vq =ωrq ( rp και rq είναι η απόσταση των p και q από το κέντρο , αντίστοιχα.)

Εδώ πρέπει να βρούμε τη σχετική γωνιακή ταχύτητα του σημείου q ως προς το p. Επομένως, έστω η γωνιακή ταχύτητα του q ως προς το p γραφτεί ως ωqp. Άρα το ωqp θα δοθεί από,

   ωqp =( κάθετη συνιστώσα του vqp ) / (rq – rp) , (vqp =σχετική ταχύτητα μεταξύ p και q)

Ως εκ τούτου, ωqp =(vq – vp)/(rq – rp)

⇒ ωqp =(ωrq – ωrp)/(rq – rp)

⇒ ωqp =ω

Αυτή είναι η τιμή της σχετικής ταχύτητας μεταξύ των δύο σημείων. Εφόσον η τιμή είναι ανεξάρτητη από την απόσταση μεταξύ των δύο σημείων, μπορούμε να πούμε ότι ωqp =ω θα είναι η σχετική γωνιακή ταχύτητα μεταξύ οποιωνδήποτε δύο σημείων σε αυτόν τον δίσκο.

Επιπλέον, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτήν την ανάλυση για να υποστηρίξουμε ότι η τιμή της σχετικής γωνιακής ταχύτητας μεταξύ δύο σημείων σε ένα άκαμπτο σώμα θα είναι ίση με τη γωνιακή ταχύτητα της περιστροφής αυτού του σώματος.

Μπορούμε επίσης να πούμε ότι η σχετική ταχύτητα είναι ο ρυθμός αλλαγής του διανύσματος θέσης σε σχέση με ένα επιθυμητό πλαίσιο αναφοράς.

Σημείωση:Εδώ έχουμε τη σχετική ταχύτητα να είναι σε απλή μορφή, αλλά για μεγαλύτερους υπολογισμούς, η έκφραση για σχετική γωνιακή ταχύτητα θα γίνει πιο περίπλοκη.

Σχετική γωνιακή ταχύτητα μεταξύ δύο σωμάτων που κινούνται υπό γωνία με ένα άλλο.

Ας εξετάσουμε δύο σώματα x και y που κινούνται με ταχύτητα vx και vy, αντίστοιχα, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Εδώ πρέπει να βρούμε την κάθετη συνιστώσα της σχετικής ταχύτητας μεταξύ x και y.

Κατά την επίλυση του διανύσματος ταχύτητας κάθετο στην ευθεία που ενώνει τα δύο σώματα και παράλληλη προς την ευθεία που ενώνει τα δύο σώματα, έχουμε την κάθετη συνιστώσα της σχετικής ταχύτητας να είναι

vxy丄 =vysinΦ1 + vxsinΦ2  

Επομένως, η σχετική γωνιακή ταχύτητα μεταξύ των δύο σωμάτων θα είναι,

ωxy =vxy丄 / rxy

⇒ ωxy =( vysinΦ1 + vxsinΦ2) / rxy

Σημείωση:Υπάρχει διαφορά μεταξύ του ρυθμού μεταβολής της γωνίας μεταξύ δύο σημείων και της σχετικής γωνιακής ταχύτητας. Παρόλο που μπορεί να φαίνεται το ίδιο, ο ρυθμός αλλαγής γωνίας μεταξύ δύο σημείων είναι απλώς η διαφορά στη γωνιακή τους ταχύτητα και τη σχετική γωνιακή ταχύτητα που διέπει τον ρυθμό περιστροφής ενός σημείου σε σχέση με ένα άλλο.

Συμπέρασμα:

Η σχετική γωνιακή ταχύτητα μεταξύ δύο σημείων είναι ο ρυθμός περιστροφής του ενός σημείου ως προς το άλλο. Αυτή η τιμή μπορεί να μην είναι πάντα ίση με τη διαφορά μεταξύ των αντίστοιχων γωνιακών ταχυτήτων τους. Η σχετική γωνιακή ταχύτητα μεταξύ δύο σημείων σε ένα άκαμπτο σώμα θα είναι ίση με τη γωνιακή ταχύτητα του άκαμπτου σώματος. Η σχετική ταχύτητα μεταξύ δύο τυχαίων σωμάτων που κινούνται σε τυχαία γωνία θα εξαρτηθεί από τον διαχωρισμό τους και τον σχετικό προσανατολισμό τους. Βρίσκουμε πάντα την κάθετη συνιστώσα της σχετικής ταχύτητας για να βρούμε τη σχετική γωνιακή ταχύτητα.