Προβλήματα σε ισοδυναμικές επιφάνειες

Ισοδυναμική επιφάνεια

Για μια δεδομένη κατανομή φορτίου, ο τόπος όλων των σημείων που έχουν το ίδιο δυναμικό ονομάζεται Ισοδυναμική επιφάνεια.

Η ισοδυναμική επιφάνεια, όπως ορίζει το όνομα, είναι μια επιφάνεια στην οποία το δυναμικό είναι παντού ίσο. Σημαίνει ότι αν σχεδιάσουμε μια επιφάνεια με τέτοιο τρόπο ώστε το ηλεκτρικό δυναμικό να είναι το ίδιο σε όλα τα σημεία της επιφάνειας, τότε λέμε ότι είναι ισοδυναμική επιφάνεια.

Ακολουθούν μερικά παραδείγματα ισοδυναμικών επιφανειών:

• Για σημειακή φόρτιση:Θεωρήστε ένα σημειακό φορτίο (q), τότε η ισοδυναμική επιφάνεια θα είναι μια σφαίρα, όπως φαίνεται παρακάτω.

Όπου, το δυναμικό στα σημεία A, B, C, D θα είναι ίσο.

"Οι ομόκεντρες σφαίρες με φορτίο στο κέντρο των σφαιρών είναι ισοδυναμικές επιφάνειες."

• Για γραμμική φόρτιση:Θεωρήστε μια γραμμική πυκνότητα φορτίου, τότε η ισοδυναμική επιφάνεια θα είναι κυλινδρική, όπως φαίνεται παρακάτω.

"Οι ομόκεντροι κύλινδροι με γραμμικό φορτίο στον άξονα των κυλίνδρων είναι ισοδυναμικές επιφάνειες.

Ας διερευνήσουμε πώς να απεικονίσουμε τις ισοδυναμικές. Ένας τρόπος για να γίνει αυτό είναι σχεδιάζοντας κάτι που ονομάζεται Ισοδυναμικές επιφάνειες.

Ιδιότητες ισοδυναμικών επιφανειών

1. Η διαφορά δυναμικού μεταξύ οποιωνδήποτε δύο σημείων σε μια ισοδυναμική επιφάνεια είναι πάντα μηδέν. Στη δεδομένη ισοδυναμική επιφάνεια παρακάτω, το δυναμικό στο σημείο Α θα είναι ίσο με το δυναμικό στο σημείο Β. Επομένως, 

(VA-VB) =0

Ή

VA =VB

1. Η συνιστώσα ενός ηλεκτρικού πεδίου παράλληλου προς την ισοδυναμική επιφάνεια είναι μηδέν, καθώς το δυναμικό δεν αλλάζει προς αυτή την κατεύθυνση. Έτσι, το ηλεκτρικό πεδίο είναι πάντα κάθετο στην ισοδυναμική επιφάνεια.
2. Το δυναμικό μειώνεται όσο απομακρυνόμαστε από το κέντρο.
3. Μια ισοδυναμική επιφάνεια λόγω φορτίου γραμμής είναι κυλινδρική.
4. Μια ισοδυναμική επιφάνεια λόγω σημειακού φορτίου είναι σφαιρική.
5. Οι ισοδυναμικές επιφάνειες δεν τέμνονται ποτέ η μία την άλλη γιατί αν το κάνουν, τότε θα υπάρχουν δύο τιμές σε ένα μόνο σημείο, κάτι που δεν είναι δυνατό.
6. Εάν ένα φορτίο μετακινηθεί από ένα σημείο σε ένα άλλο σημείο της ισοδυναμικής επιφάνειας, τότε η εργασία που θα γίνει θα είναι μηδέν.
7. Όλες οι μεταλλικές επιφάνειες είναι πάντα ισοδυναμικές (Αγωγοί).

Τώρα, είναι καιρός να αντιμετωπίσουμε κάποια προβλήματα σε ισοδυναμικές επιφάνειες.

Πρόβλημα 1:Τι ακριβώς είναι λοιπόν αυτές οι επιφάνειες;

Όπως υποδηλώνει το όνομα, αυτές είναι τρισδιάστατες επιφάνειες στις οποίες το δυναμικό (V) σε κάθε σημείο είναι ίσο.

• Σημείωση:

Οι επιφάνειες είναι πιο κοντά στο κέντρο και απομακρύνονται όλο και περισσότερο. Γιατί είναι αυτό;

Λοιπόν, έχει να κάνει με την ισχύ των ηλεκτρικών πεδίων. Η ηλεκτρική δύναμη κοντά στο φορτίο είναι πολύ ισχυρή, επομένως οι ισοδυναμικές επιφάνειες είναι πιο κοντά. Καθώς απομακρυνόμαστε περισσότερο από το φορτίο, το πεδίο εξασθενεί, και έτσι, οι επιφάνειες απομακρύνονται η μία από την άλλη.

Πρόβλημα 2:Γιατί τα ηλεκτρικά πεδία γίνονται πιο αδύναμα, όταν απομακρύνονται σε ισοδυναμικές επιφάνειες;

Η σχέση μεταξύ ηλεκτρικού πεδίου και δυναμικού δίνεται ως

E =V/d

Όπου E είναι το ηλεκτρικό πεδίο,

V είναι το δυναμικό και

d είναι η απόσταση.

Έτσι, καθώς η απόσταση αυξάνεται στην ισοδυναμική επιφάνεια, το δυναμικό θα είναι σταθερό, επομένως η τιμή του ηλεκτρικού πεδίου θα μειωθεί.

Πρόβλημα 3:Πώς να σχεδιάσετε μια ισοδυναμική επιφάνεια;

Εάν θέλετε να σχεδιάσετε μια ισοδυναμική επιφάνεια, τότε απλώς σχεδιάστε το ηλεκτρικό πεδίο

γραμμές πρώτα και μετά κάντε μια επιφάνεια κάθετη σε αυτήν. Αυτό θα είναι το 

σας

ισοδυναμική επιφάνεια.

Ακολουθούν μερικά παραδείγματα:

Πρόβλημα 4:Πώς να σχεδιάσετε μια ισοδυναμική επιφάνεια για ένα ομοιόμορφα αυξανόμενο ηλεκτρικό πεδίο στην κατεύθυνση z;

Οι ισοδυναμικές επιφάνειες βρίσκονται στο επίπεδο XY. Καθώς το μέγεθος του πεδίου αυξάνεται κατά μήκος της θετικής κατεύθυνσης Z, η απόσταση μεταξύ των διαδοχικών ισοδυναμικών επιφανειών μειώνεται.

Εάν τα ηλεκτρικά πεδία ήταν σταθερά, η απόσταση μεταξύ των διαδοχικών ισοδυναμικών επιφανειών θα παρέμενε σταθερή.

Πρόβλημα 5:Ένα σωματίδιο με φορτίο 10 C κινείται σε μια ισοδυναμική επιφάνεια 5 V. Βρείτε την εργασία που έγινε εάν το σωματίδιο κινείται 2 μέτρα στην επιφάνεια.

Η εργασία που έχει γίνει μπορεί να υπολογιστεί με τον ακόλουθο τύπο

W =-qΔV

Δίνεται q =10 C

Αφού το σωματίδιο κινείται σε ισοδυναμική επιφάνεια ΔV=0.

Άρα δουλειά που έγινε W =0.

Βασικά σημεία

• Το καλύτερο παράδειγμα επιφάνειας ηλεκτρικού δυναμικού είναι ένας αγωγός.
• Το ηλεκτρικό πεδίο κατευθύνεται από μια ισοδυναμική επιφάνεια στο υψηλότερο δυναμικό σε μια ισοδυναμική επιφάνεια στο χαμηλότερο δυναμικό.
• Το δυναμικό είναι μια κλιμακωτή ποσότητα.
• Οι ισοδυναμικές επιφάνειες είναι πάντα κάθετες στο ηλεκτρικό πεδίο.
• Το δυναμικό ποικίλλει αντιστρόφως ανάλογο με την απόσταση 'r'.
• Οι ισοδυναμικές επιφάνειες μας δίνουν μια εικόνα του ηλεκτρικού πεδίου και της διαμόρφωσης φορτίου.

Συμπέρασμα

Ισοδυναμική επιφάνεια είναι η επιφάνεια όπου η τιμή του δυναμικού είναι η ίδια σε οποιοδήποτε σημείο της επιφάνειας. Αυτό δείχνει ότι το δυναμικό V είναι σταθερό εάν η απόσταση 'r' είναι σταθερή. Εάν σας δοθεί οποιαδήποτε κατανομή φορτίου, τότε πρώτα σχεδιάστε γραμμές ηλεκτρικού πεδίου μέσω της δεδομένης κατανομής και στη συνέχεια κάντε μια επιφάνεια κάθετη στις γραμμές. Αυτή θα είναι μια ισοδυναμική επιφάνεια με αυτήν της δεδομένης κατανομής φορτίου.