Ταλάντωση ελατηρίου

Εισαγωγή

Όταν η θέση ενός σωματιδίου/μάζας ποικίλλει περιοδικά μεταξύ δύο σημείων ή περίπου ενός συγκεκριμένου σημείου τότε λέγεται ότι βρίσκεται σε ταλαντωτική κίνηση. Απαιτείται δύναμη επαναφοράς για την ταλάντωση ενός σωματιδίου ή μάζας. Όποτε, ένα σωματίδιο ή μάζα αναγκάζεται να αλλάξει τη σταθερή του θέση, τότε, παρουσία δύναμης επαναφοράς, το σωματίδιο ή η μάζα αρχίζει να ταλαντώνεται μεταξύ δύο σημείων ή περίπου ενός κεντρικού σημείου. Κάθε φορά που το ελατήριο είτε τεντώνεται είτε συμπιέζεται, εμφανίζεται η δύναμη επαναφοράς. Μπορούμε να συμπιέσουμε ή να τεντώσουμε το ελατήριο είτε οριζόντια είτε κάθετα. Λόγω της δύναμης επαναφοράς το ελατήριο, το ελατήριο αρχίζει να ταλαντώνεται μεταξύ δύο σημείων ή περίπου ενός κεντρικού σημείου. Σε αυτό το άρθρο, πρώτα θα συζητήσουμε την οριζόντια ταλάντωση και μετά την κατακόρυφη ταλάντωση μαζί με τον συνδυασμό των ελατηρίων.

Νόμος του Χουκ και σταθερά άνοιξης

Ο νόμος του Hooke λέει ότι «η δύναμη επαναφοράς που αναπτύσσεται το ελατήριο λόγω επέκτασης/συμπίεσης είναι ευθέως ανάλογη με την έκταση/συμπίεση του ελατηρίου. Γενικά γράφεται ως "F =-k x". Το "F" αντιπροσωπεύει τη δύναμη επαναφοράς, το "x" είναι η μετατόπιση του ελατηρίου είτε με τη μορφή επέκτασης είτε συμπίεσης και το "k" είναι σταθερά αναλογικότητας. Καθώς έχουμε αρνητικά πρόσημα στο νόμο του Χουκ, μπορούμε να πούμε ότι η κατεύθυνση της επαναφοράς της δύναμης και η κατεύθυνση της μετατόπισης έχουν αντίθετες κατευθύνσεις.

Η σταθερά της αναλογικότητας είναι γνωστή ως σταθερά ακαμψίας / σταθερά ελατηρίου. Η ακαμψία του ελατηρίου υποδεικνύεται από  αυτήν τη Σταθερά ελατηρίου Δηλαδή, υψηλότερη τιμή "k" σημαίνει μεγαλύτερη ακαμψία και χαμηλότερη τιμή σταθεράς ελατηρίου σημαίνει μικρότερη ακαμψία του δεδομένου ελατηρίου.

Οριζόντια ταλάντωση ελατηρίου 

Θα υποθέσουμε ένα σύστημα στο οποίο έχουμε ένα μπλοκ μάζας m συνδεδεμένο σε ένα ελατήριο χωρίς μάζα με σταθερά ακαμψίας ή σταθερά δύναμης ή σταθερά ελατηρίου του ελατηρίου ως «k». Θα τοποθετήσουμε το σύστημα μάζας ελατηρίου σε μια οριζόντια επιφάνεια χωρίς τριβές / λεία.

Έστω x0 η θέση ισορροπίας ή η μέση θέση της μάζας m τη χρονική στιγμή t =0 και το ελατήριο βρίσκεται σε χαλαρή κατάσταση, δηλαδή η μάζα είναι σε ηρεμία. Εάν τραβήξουμε τη μάζα οριζόντια μέσω μιας μικρής μετατόπισης x προς τα δεξιά από τη θέση ισορροπίας της και μετά μετά την απελευθέρωση, θα αρχίσει να ταλαντώνεται πέρα ​​δώθε γύρω από αυτή τη μέση / θέση ισορροπίας. Εάν η δύναμη επαναφοράς στο ελατήριο υποτεθεί ότι είναι "F", τότε,

F=-K x (από το νόμο του Hooke)

Τώρα, 

md2xdt2=-K x ( από τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα)

Τώρα, συγκρίνοντας την παραπάνω εξίσωση με απλή αρμονική κίνηση, έχουμε

2=​​km 

Άρα, ω=km

Η συχνότητα της ταλάντωσης μπορεί να δοθεί ως f=2π=12πkm

Χρονική περίοδος ταλάντωσης, T=1f=2πmk

Κάθετη ταλάντωση ελατηρίου

Θα εξετάσουμε ένα σύστημα ελατηρίου-μάζας. Σε αυτό το σύστημα ένα μπλοκ μάζας m έχει προσαρτηθεί στο ένα άκρο ενός ελατηρίου χωρίς μάζα και το ελατήριο έχει το "k" ως σταθερά ελατηρίου. Θα αναρτήσουμε το σύστημα μάζας του ελατηρίου από ένα άκαμπτο στήριγμα και θα υποθέσουμε ότι δεν υπάρχει αντίσταση αέρα. Σε αυτήν την περίπτωση, η σταθερά δύναμης δίνεται από,

k=mgl

Τώρα, αν τραβήξουμε προς τα κάτω το μπλοκ κατά μια μικρή απόσταση "x", μια δύναμη επαναφοράς "-kx" ενεργεί κατακόρυφα προς τα πάνω και τραβά το μπλοκ προς την ανοδική κατεύθυνση. Λόγω αυτής της δύναμης επαναφοράς, το μπλοκ θα επιστρέψει στην αρχική του θέση και θα συνεχίσει να κινείται προς την ανοδική κατεύθυνση. Θα υπερβεί την αρχική συνθήκη ισορροπίας και το ελατήριο θα συμπιεστεί από την απόσταση "'y" προς τα πάνω. Σε αυτήν την κατάσταση, η δύναμη επαναφοράς θα είναι προς τα κάτω. Εξαιτίας αυτού, το μπλοκ θα κινηθεί και πάλι προς τα κάτω και θα υπερβεί το σημείο ισορροπίας. Το σύστημα θα συνεχίσει να εκτελεί ταλαντώσεις σε κάθετη κατεύθυνση.

Τώρα, συγκρίνοντας την παραπάνω εξίσωση με απλή αρμονική κίνηση, έχουμε

2=​​km 

Άρα, ω=km

Η συχνότητα της ταλάντωσης μπορεί να δοθεί ως f=2π=12πkm

Χρονική περίοδος ταλάντωσης, T=1f=2πmk =2πmlmg =2πlg

Παράλληλος και σειριακός συνδυασμός ελατηρίων

Αν έχουμε δύο ελατήρια χωρίς μάζα με σταθερά ελατηρίου “k1” και “k2” συνδεδεμένα παράλληλα με το ίδιο μπλοκ μάζας “m” στο ένα άκρο. Τότε η ισοδύναμη σταθερά του ελατηρίου αυτού του συνδυασμού δίνεται ως:

keq =k1 + k2 .

Χρονική περίοδος ταλάντωσης, T=1f=2πmk1 + k2

Αν έχουμε δύο ελατήρια χωρίς μάζα με σταθερά ελατηρίου k1 και k2 συνδεδεμένα σε σειρά σε ένα μπλοκ μάζας “m”. Στη συνέχεια, η ισοδύναμη σταθερά του ελατηρίου αυτού του συνδυασμού δίνεται ως

k=k1*k2k1+k2.

Χρονική περίοδος ταλάντωσης, T=1f=2πm(k1+k2)k1* k2

Συμπέρασμα

Στο παραπάνω άρθρο, συζητήσαμε τις ταλαντώσεις ενός ελατηρίου σε οριζόντιες και παράλληλες κατευθύνσεις. Παρατηρήσαμε ότι η σταθερά του ελατηρίου είναι ένας πολύ σημαντικός παράγοντας στην ταλάντωση ενός ελατηρίου καθώς καθορίζει την ακαμψία του ελατηρίου. Εάν έχουμε υψηλότερη τιμή σταθεράς ελατηρίου, τότε έχουμε μεγαλύτερη ακαμψία του δεδομένου ελατηρίου, που σημαίνει μεγαλύτερη επαναφορά για μια συγκεκριμένη μετατόπιση του ελατηρίου και για χαμηλότερη τιμή ακαμψίας του ελατηρίου, μικρότερη δύναμη επαναφοράς θα αναπτυχθεί το ελατήριο για μια ιδιαίτερη μετατόπιση του ελατηρίου.

Η σταθερά ελατηρίου του ελατηρίου επηρεάζει τη χρονική περίοδο ταλάντωσης του συστήματος μάζας του ελατηρίου καθώς η χρονική περίοδος ταλάντωσης και η τετραγωνική ρίζα της σταθεράς του ελατηρίου σχετίζονται αντιστρόφως μεταξύ τους, πράγμα που σημαίνει ότι για υψηλότερη τιμή σταθεράς ελατηρίου, η χρονική περίοδος έχει μικρότερη τιμή και για χαμηλότερη τιμή της σταθεράς του ελατηρίου παίρνουμε υψηλότερη τιμή για τη χρονική περίοδο "T" ταλάντωσης.