Βαρυτικό πεδίο λόγω ομοιόμορφης στερεάς σφαίρας
Το βαρυτικό πεδίο ορίζεται ως η ισχύς της βαρυτικής δύναμης. Είναι επίσης η δύναμη που επενεργεί σε μια μονάδα δοκιμής μάζας.
Π.χ. =F/m
Ή, Π.χ. =[- [GMm/r² ]/m r
Ένταση βαρυτικού πεδίου (π.χ.) =[- GM/r2]
Ο Νεύτωνας απέδειξε ότι το βαρυτικό πεδίο στο συμπαγές σφαιρικό κέλυφος είναι το ίδιο σε όλα τα σημεία του κελύφους.
Βαρυτικό πεδίο σε διαφορετικά σώματα
Ο νόμος της βαρύτητας του Νεύτωνα βασίζεται αποκλειστικά σε σημειακές μάζες. Η έκφραση αυτού του νόμου του βαρυτικού πεδίου ενός σωματιδίου χρησιμεύει ως αφετηρία για τη δημιουργία σχέσεων έντασης πεδίου λόγω άκαμπτων σωμάτων. Ως αποτέλεσμα, η μαθηματική εξαγωγή της έντασης πεδίου για γεωμετρικά σχήματα βασίζεται σε μια πραγματική μάζα σώματος που συσσωρεύει όλη τη συλλογή διακριτών στοιχείων και συνδυάζει ξεχωριστά εφέ. Θα χρειαστεί να χρησιμοποιήσουμε κάποια οπτικοποίηση επειδή θα συνδυάσουμε διανύσματα με ιδιότητες κατεύθυνσης.
Θα δούμε επίσης τη θεωρία του κελύφους του Νεύτωνα, η οποία είναι σημαντική για τον ορισμό της σφαιρικής μάζας ως σημειακής μάζας, μαζί με αυτές τις παραγώγους για την ένταση του βαρυτικού πεδίου.
Ουράνια σώματα που έχουν ένα ευδιάκριτο βαρυτικό πεδίο μαζί με κινήσεις μας παρασύρουν στον απέραντο κόσμο της επιστήμης. Ο κύριος στόχος μας είναι να εξαγάγουμε μια μαθηματική έκφραση για την ένταση πεδίου μιας στερεής σφαίρας. Μια συμπαγής σφαίρα μπορεί να θεωρηθεί ως ένας ατελείωτος αριθμός σφαιρικών κελυφών. Το σφαιρικό κέλυφος, από την άλλη πλευρά, μπορεί να θεωρηθεί ως μια συλλογή από λεπτούς κυκλικούς δακτυλίους διαφόρων μεγεθών.
Η εύρεση του καθαρού αποτελέσματος αυτών των στοιχείων μπορεί να είναι μια κουραστική διαδικασία. Ως αποτέλεσμα, ο πρωταρχικός μας στόχος είναι να διατυπώσουμε μια ολοκληρωτική έκφραση για τη στοιχειακή μάζα που είναι κατάλληλη για ολοκλήρωση μεταξύ λογικών ορίων. Τώρα, για τη διαδικασία ολοκλήρωσης, πρέπει να ξεκινήσετε από τον δακτύλιο, στη συνέχεια να μετακινηθείτε προς το σφαιρικό κέλυφος και μετά να προχωρήσετε στη συμπαγή σφαίρα.
Βαρυτικό πεδίο λόγω του ομοιόμορφου κυκλικού δακτυλίου
Χρειαζόμαστε ένα βαρυτικό πεδίο που ξεκινά από το σημείο που πετά από τον κεντρικό άξονα του δακτυλίου. Στο παρακάτω σχήμα, το βαρυτικό πεδίο μετράται στο αξονικό σημείο «P». Εδώ, "M" θα ήταν η μάζα και "a" θα ήταν η ακτίνα. Υπάρχει επίσης μια μικρή μάζα "dm" σε αυτόν τον κυκλικό δακτύλιο.
dE =Gdm / PA²
=Gdm / (a² + r²)
Το παρακάτω σχήμα δείχνει ότι το βαρυτικό πεδίο είναι αξονικό. Αυτό το βαρυτικό πεδίο φαίνεται στο επίπεδο του OAP σε κατευθύνσεις παράλληλες και κάθετες στον άξονα.
Devi =dE cos ∅
dEī =dE sin ∅
Υπάρχουν δύο σημεία που πρέπει να λάβετε υπόψη κατά τον υπολογισμό της τιμής.
Πρώτον, το σχήμα δείχνει τις μετρήσεις των "y" και "r", οι οποίες είναι ίδιες για όλες τις στοιχειώδεις μάζες. Επίσης, πρέπει να εξετάσετε τις στοιχειώδεις μάζες που είναι ίσες. Όλα αυτά τα στοιχεία μάζας "dm" απέχουν ίση απόσταση από το σημείο "P" και το μέγεθος του βαρυτικού πεδίου που οφείλεται σε αυτό είναι το ίδιο.
Δεύτερον, με το ζεύγος στοιχειακών μαζών στις συμμετρικά αντίθετες πλευρές του δακτυλίου, οι κάθετες συνιστώσες της έντασης του στοιχειακού πεδίου κατευθύνονται σε αντίθετες κατευθύνσεις. Αυτά τα κάθετα εξαρτήματα θα γίνουν μηδέν για ολόκληρο τον δακτύλιο όταν ολοκληρωθεί η ενοποίηση. Εάν η κατανομή της μάζας στον δακτύλιο είναι ομοιόμορφη, μπορούμε να πούμε ότι η ισχύς μηδενικού πεδίου είναι κάθετη στην αξονική γραμμή. Για να λάβουμε τον ομοιόμορφο δακτύλιο της καθαρής βαρυτικής έντασης, πρέπει να ενσωματώσουμε μόνο τις αξονικές συνιστώσες της έντασης του στοιχειακού πεδίου.
Στο προηγούμενο σχήμα, οι κάθετες συνιστώσες αλληλοεξουδετερώνονται.
Επομένως, η μαθηματική έκφραση θα ήταν:
E =∫ dE cos ∅
E =∫ Gdm cos ∅ / (a² + r²)
Εδώ, το cos ∅ αντιπροσωπεύει τον τριγωνομετρικό λόγο, ο οποίος είναι σταθερός για κάθε σημείο του κυκλικού δακτυλίου. Τώρα, αφαιρέστε τους λόγους συνημιτόνου μαζί με άλλες σταθερές από την ολοκλήρωση.
E =G cos ∅ / (a² + r²) ∫ dm
Τώρα, μετά την ολοκλήρωση, m =0 έως m =M
G M cos ∅ / (a² + r²)
Για τρίγωνο OAP,
Cos ∅ =r / (a² + r² ) ½
Τώρα, αντικαταστήστε τις τιμές του cos ∅ στην εξίσωση:
E =GMr / ( a² + r² ) 3/2
E =0 όταν r =0
Στο κέντρο του δακτυλίου, το βαρυτικό πεδίο θα γίνει μηδέν. Αυτό οφείλεται στις βαρυτικές δυνάμεις που παράγονται από δύο αντίθετες πανομοιότυπες στοιχειακές μάζες που είναι ίσες και αντίθετες, εξισορροπώντας η μία την άλλη.
Βαρυτικό πεδίο λόγω ομοιόμορφης στερεάς σφαίρας
Η ομοιόμορφη συμπαγής σφαίρα με ακτίνα «α» και μάζα «Μ» αποτελείται από απεριόριστο αριθμό λεπτών σφαιρικών κελυφών. Αν δείτε το σχήμα που δίνεται παρακάτω, ένα τέτοιο σφαιρικό κέλυφος έχει απειροελάχιστα μικρό πάχος "dx". Η ισχύς του βαρυτικού πεδίου λόγω του λεπτού σφαιρικού κελύφους, το οποίο είναι τοποθετημένο έξω από το κέλυφος σε γραμμική απόσταση "r" από το κέντρο, δίνεται από:
dE =Gdm / r²
Στο προηγούμενο σχήμα, το βαρυτικό πεδίο βρίσκεται σε απόσταση «r» από το κέντρο της σφαίρας.
Η ένταση του βαρυτικού πεδίου που παράγεται εδώ δρα προς την κατεύθυνση του κέντρου της σφαίρας. Μπορείτε επίσης να προσθέσετε εντάσεις βαρυτικού πεδίου διαφορετικών κελυφών για να αποκτήσετε την ένταση πεδίου της σφαίρας. Εδώ, μπορείτε να σημειώσετε ότι τα κέντρα των ολόσφαιρων κελυφών συμπίπτουν σε ένα σημείο. Σημαίνει επίσης ότι τα σφαιρικά κελύφη έχουν την ίδια γραμμική απόσταση μεταξύ των κέντρων τους και της οπτικής γωνίας. Μπορείτε να συμπεράνετε ότι το "r²" είναι σταθερό για όλα τα σφαιρικά κελύφη και μπορεί επίσης να αφαιρεθεί από το ολοκλήρωμα.
E = Gdm / r² =G/r² ∫ dm
=GM / r²
Μια ομοιόμορφη συμπαγής σφαίρα συμπεριφέρεται ακριβώς όπως ένα κέλυφος στην εξίσωση που δίνεται. Λειτουργεί σαν όλη η μάζα του να είναι συγκεντρωμένη στον πυρήνα του για ένα σημείο έξω. Η ακτίνα της σφαίρας, «a», είναι μέρος αυτής της εξίσωσης. Όμως, το σημείο έξω από τη σφαίρα λειτουργεί ως σημειακή μάζα.
Συμπέρασμα
Έτσι, από τις παραπάνω μαθηματικές εξισώσεις, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι το βαρυτικό πεδίο είναι η βαρυτική δύναμη ανά μονάδα μάζας, δηλαδή, μια μικροσκοπική μάζα θα υπήρχε οπουδήποτε. Είναι ένα διανυσματικό πεδίο που δείχνει προς την κατεύθυνση της δύναμης που δέχεται η μάζα.
