Νόμος του Γκάους

Ο νόμος του Gauss δηλώνει ότι το κλειστό ηλεκτρικό φορτίο είναι ευθέως ανάλογο με τη συνολική ροή ενός ηλεκτρικού πεδίου. Η ηλεκτρική ροή είναι το ηλεκτρικό πεδίο που διέρχεται από μια δεδομένη περιοχή πολλαπλασιαζόμενη με το εμβαδόν της επιφάνειας σε επίπεδο κάθετο στο πεδίο. Ο νόμος του Gauss χρησιμοποιείται για κάθε κλειστή επιφάνεια Σύμφωνα με το νόμο του Gauss, η πλήρης κίνηση που συνδέεται με μια επιφάνεια Gauss είναι 1/ε0 φορές το φορτίο που περικλείεται από μια επιφάνεια Gauss.

Τύπος νόμου του Gauss

Σύμφωνα με αυτόν τον νόμο, η συνολική ροή που περικλείεται σε μια κλειστή επιφάνεια είναι ανάλογη με το απόλυτο φορτίο που περικλείεται από την επιφάνεια.

Φ είναι η συνολική ροή, το συνολικό ηλεκτρικό φορτίο Q συνολικό φορτίο σε μια κλειστή επιφάνεια ή μια δεδομένη επιφάνεια και  ε0είναι η ηλεκτρική σταθερά, η οποία μπορεί να απεικονιστεί ως εξής.

 Q=ε0

Με αυτόν τον τρόπο, ο τύπος του νόμου του Gauss μπορεί να εκφραστεί όπως φαίνεται παρακάτω

E=Q/ε0

Παραγωγή 

Λαμβάνοντας υπόψη τη συνολική ροή μέσω μιας σφαίρας ακτίνας, το r περικλείει ένα σημειακό φορτίο q στο κέντρο του. Διαχωρίστε τη σφαίρα σε στοιχεία μικρής περιοχής.

 Η ροή μέσω ενός στοιχείου περιοχής ΔS είναι

Δɸ=E.ΔS=q4πε0r2r.ΔS

Χρησιμοποιήσαμε τον νόμο του Κουλόμπ για το ηλεκτρικό πεδίο λόγω μιας μόνο φόρτισης q. Τώρα, δεδομένου ότι η κανονική σφαίρα σε κάθε σημείο βρίσκεται κατά μήκος του διανύσματος ακτίνας σε αυτό το σημείο, το στοιχείο εμβαδού ΔS και rˆ έχουν την ίδια κατεύθυνση. Επομένως, 

Δɸ=q4π0r2ΔS

Δεδομένου ότι το μέγεθος ενός μοναδιαίου διανύσματος είναι 1, η συνολική ροή μέσω της σφαίρας προκύπτει αθροίζοντας τη ροή μέσω όλων των διαφορετικών στοιχείων: 

ɸ=𝝨q4π0r2ΔS

Δεδομένου ότι κάθε στοιχείο περιοχής της σφαίρας βρίσκεται στην ίδια απόσταση r από το φορτίο, 

ɸ=𝝨q4π0r2ΔS=q4π0r2S

Τώρα S, το συνολικό εμβαδόν της σφαίρας ισούται με 4πr2

ɸ=q4π0r2×4πr2=q0

Σημασία του νόμου του Gauss

• Χρησιμοποιείται για την επίλυση πολύπλοκων ηλεκτροστατικών προβλημάτων, συμπεριλαμβανομένων μοναδικών σχημάτων, για παράδειγμα, ζυγού σε σχήμα κάννης, κυκλικής ή επίπεδης.

• Αυτό μπορεί να είναι εξαιρετικά πολύτιμο για την επεξεργασία της δύναμης πεδίου λόγω ενός ατελείωτου, μακρού, σταθερά φορτισμένου καλωδίου.

• Υποθέτοντας ότι η κατανομή φορτίου χρειάζεται συμμετρία χρήσης, σε αυτές τις περιπτώσεις, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτόν τον νόμο για να εξακριβώσουμε τα σημειακά πεδία φόρτισης των συγκεκριμένων στοιχείων φόρτισης που είναι διαθέσιμα στο αντικείμενο .

• Αυτός ο νόμος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τη βελτίωση της κριτικής αξιολόγησης του ηλεκτρικού πεδίου χωρίς κανένα πρόβλημα.

• Όπου η επίλυση του ηλεκτρικού πεδίου είναι δύσκολη, τότε, σε εκείνο το σημείο, αυτός ο νόμος χρησιμοποιείται σε βασική μορφή.

Προβλήματα που απεικονίζουν το νόμο του Gauss

Παράδειγμα 1:Προσδιορίστε την ηλεκτρική ροή για μια κλειστή επιφάνεια που περιέχει 200 ​​εκατομμύρια ηλεκτρόνια.

Λύση: 

ɸ=q/ε0

ɸ=200 × 106(1,6 ×10-19)/8,85×10-12

ɸ=3.764 Nm2/C    

Παράδειγμα 2:Ένας ομοιόμορφα φορτισμένος στερεός σφαιρικός μονωτήρας είχε ακτίνα 0,25 m και το συνολικό φορτίο στον όγκο είναι 3,5 pC. Βρείτε το e-πεδίο σε μια θέση 0,15 m από το κέντρο της σφαίρας.

Λύση:

E=[q/4πε0R3]r

E=[3,5×10-12/4πε0(0,25)3](0,15)

E=0.116N/C

Παράδειγμα 3:Μια κλειστή επιφάνεια Gauss στον τρισδιάστατο χώρο όπου μετράται η ηλεκτρική ροή. Η επιφάνεια του Gauss είναι σφαιρική, περικλείεται από 50 ηλεκτρόνια και έχει ακτίνα 0,8 μέτρα.

• Βρείτε την ηλεκτρική ροή που έχει απόσταση 0,8 μέτρων από το πεδίο που μετράται από το κέντρο της επιφάνειας.

• Υπολογίστε το ηλεκτρικό φορτίο που διέρχεται από την επιφάνεια.

• Εξηγήστε τη σχέση που υπάρχει μεταξύ του εσώκλειστου φορτίου και του ηλεκτρικού φορτίου.

Λύση:  

 ɸ=Q/ε0

 ɸ=[50(1,60×10-19)/8,85×10-12] 

E=0.113/4π(0.8)2

Συμπέρασμα

Ο νόμος του Gauss εφαρμόζεται σε οποιαδήποτε κλειστή επιφάνεια. Είναι ένα σημαντικό εργαλείο, καθώς επιτρέπει την εκτίμηση της ποσότητας εσώκλειστου φορτίου χαρτογραφώντας το πεδίο σε μια επιφάνεια εκτός της κατανομής φορτίου. Για υπολογισμούς επαρκών σχημάτων, βελτιώνει την ανάλυση του ηλεκτρικού πεδίου. Είναι μία από τις τέσσερις εξισώσεις του Maxwell, που διαμορφώνει τη βάση της κλασικής ηλεκτροδυναμικής. Ο νόμος του Gauss μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον προσδιορισμό του νόμου του Coulomb και το αντίστροφο.