Ακολουθία Fibonacci
Οι αριθμοί Fibonacci, που συνήθως συντομεύονται ως Fn , είναι μια μαθηματική σειρά στην οποία κάθε αριθμός είναι το άθροισμα των δύο προηγούμενων. Η σειρά αρχίζει συνήθως με το 0 και το 1, ενώ ορισμένοι συγγραφείς παραλείπουν τους δύο πρώτους όρους και ξεκινούν με 1 και 1 ή 1 και 2. Ακολουθούν οι επόμενες πολλές τιμές της σειράς, ξεκινώντας από 0 και 1:0, 1, 1 , 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 και ούτω καθεξής.
Η εργασία του Pingala για την απαρίθμηση διαφόρων μοτίβων της σανσκριτικής ποίησης που χτίστηκαν από συλλαβές δύο μηκών το 200 π.Χ. ήταν η πρώτη που ανέφερε τους αριθμούς Fibonacci στα ινδικά μαθηματικά. Ονομάστηκαν από τον Λεονάρντο της Πίζας, στη συνέχεια γνωστός ως Φιμπονάτσι, ένας Ιταλός μαθηματικός που εισήγαγε τη σειρά στα μαθηματικά της Δυτικής Ευρώπης στο βιβλίο του Liber Abaci, που δημοσιεύτηκε το 1202.
Αριθμοί Fibonacci
Ο αριθμός Fibonacci είναι μια ακολουθία αριθμών στην οποία κάθε αριθμός είναι το άθροισμα των δύο αριθμών πριν από αυτόν. Οι αριθμοί Fibonacci είναι ένα σύνολο ακεραίων στα μαθηματικά όπου κάθε αριθμός ισούται με το άθροισμα των δύο προηγούμενων αριθμών, ξεκινώντας από το 0 και το 1. xn+2 =xn +xn+1 είναι η σχέση υποτροπής. Η ακολουθία Fibonacci είναι:0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…,∞.
Ακολουθία Fibonacci και χρυσή αναλογία
Αν η αναλογία δύο μεγεθών είναι ίδια με την αναλογία του συνόλου τους προς τη μεγαλύτερη από τις δύο ποσότητες, λέγεται ότι βρίσκονται στη χρυσή τομή στα μαθηματικά. Η χρυσή τομή είναι 1,618034 (περίπου).
Η ακολουθία Fibonacci αναπαρίσταται συχνά γραφικά με τη μορφή της σπείρας Fibonacci. Το εμβαδόν του παρακάτω αριθμού της σειράς εξηγείται από καθένα από τα τετράγωνα. Συνδέοντας τις γωνίες των κουτιών, η σπείρα Fibonacci μπορεί να σχεδιαστεί μέσα στα τετράγωνα. Δεδομένου ότι η αναλογία μεταξύ των δύο αριθμών στην ακολουθία Fibonacci είναι πολύ κοντά στη χρυσή αναλογία, η οποία είναι περίπου 1,618034, τα τετράγωνα ταιριάζουν άψογα. Η αναλογία είναι πιο κοντά στη χρυσή τομή, όσο μεγαλύτεροι είναι οι αριθμοί στην ακολουθία Fibonacci. Το Χρυσό Ορθογώνιο είναι το όνομα που δίνεται στη σπείρα και στο ορθογώνιο που προκύπτει.
Υπολογισμός αριθμού Fibonacci
Η Χρυσή Αναλογία και η Ακολουθία Φιμπονάτσι είναι άρρηκτα συνδεδεμένες. Γνωρίζουμε ότι η χρυσή αναλογία έχει τιμή περίπου 1,618034 και αντιπροσωπεύεται από το σύμβολο φ. Η χρυσή αναλογία σχετίζεται στενά με την αναλογία που σχηματίζεται από δύο διαδοχικούς αριθμούς Fibonacci.
Οι αριθμοί Fibonacci 5 και 8 είναι δύο παραδείγματα διαδοχικών αριθμών Fibonacci. 85=1,6 είναι η αναλογία 8 και 5.
Σκεφτείτε ένα άλλο σύνολο αριθμών, όπως το 13 και το 21, των οποίων η αναλογία είναι 2113=1,6153.
Σημαίνει ότι η αναλογία είναι πολύ κοντά στη Χρυσή Αναλογία εάν το ζεύγος των αριθμών Fibonacci έχει μεγαλύτερη τιμή. Ως αποτέλεσμα, μπορούμε να προσδιορίσουμε τους αριθμούς Fibonacci στη σειρά χρησιμοποιώντας τη Χρυσή Αναλογία. Το xn=φ-1-φn5 είναι ο τύπος για τον υπολογισμό των αριθμών Fibonacci χρησιμοποιώντας τη Χρυσή Αναλογία.
Αυτή είναι η χρυσή αναλογία, η οποία είναι περίπου ίση με 1,618 και n είναι ο ντος όρος της ακολουθίας Fibonacci.
Ιδιότητες της ακολουθίας Fibonacci
Οι αριθμοί Fibonacci έχουν τις ακόλουθες ιδιότητες:
ας πάρουμε οποιους τρεις διαδοχικούς αριθμούς και τους προσθέσουμε μαζί, θα έχουμε τη σειρά Fibonacci. Ο τρίτος αριθμός προκύπτει διαιρώντας το αποτέλεσμα με δύο. Πάρτε τρεις διαδοχικούς ακέραιους αριθμούς, όπως 2,3 και 5, και προσθέστε τους μαζί, δηλ. 2+3+5=10. Όταν διαιρέσετε το 10 με το 2, λαμβάνετε 5, αυτός είναι ο τρίτος αριθμός στη σειρά.
Στη σειρά Fibonacci, πάρτε τέσσερις διαδοχικές μη μηδενικές τιμές. Πολλαπλασιάστε τον εξωτερικό και τον εσωτερικό αριθμό μαζί. Όταν αφαιρεθούν αυτοί οι δύο ακέραιοι, η διαφορά είναι 1.
Λάβετε, για παράδειγμα, τέσσερις διαδοχικούς ακέραιους αριθμούς όπως 2,3,5 και 8. Πολλαπλασιάστε τους εξωτερικούς αριθμούς, για παράδειγμα, 2 και 8 και τον εσωτερικό αριθμό, για παράδειγμα, 3 και 5. Αφαιρέστε τους δύο φιγούρες, με αποτέλεσμα 16-15=1. Ως αποτέλεσμα, η διαφορά είναι 1.
Εφαρμογές της ακολουθίας Fibonacci
Η ακολουθία Fibonacci μπορεί να βρεθεί σε πολλά διαφορετικά μέρη, συμπεριλαμβανομένης της φύσης, της μουσικής και του ανθρώπινου σώματος.
Στη μουσική, χρησιμοποιείται για να συγκεντρώσει αριθμούς και να δημιουργήσει μια όμορφη αναλογία.
Σε διάφορους τομείς της επιστήμης, όπως η φυσική υψηλής ενέργειας, η κβαντική μηχανική και η κρυπτογραφία.
Χρησιμοποιείται στον προγραμματισμό (αλγόριθμοι υπολογιστών, διασύνδεση παράλληλων και κατανεμημένων συστημάτων).
Συμπέρασμα
Η ακολουθία Fibonacci είναι μια σειρά αριθμών που αρχίζει με ένα ή μηδέν και συνεχίζει με ένα, ακολουθώντας τον κανόνα ότι κάθε αριθμός (που ονομάζεται αριθμός Fibonacci) ισούται με το άθροισμα των δύο αριθμών πριν αυτό.
