Αντικατάσταση έκφρασης
Η αντικατάσταση έκφρασης είναι χρήσιμη όταν πρέπει να μετατρέψουμε μια πολύ περίπλοκη συνάρτηση σε μορφή smple. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την Αντικατάσταση Έκφρασης σε αντίστροφη τριγωνομετρική συνάρτηση, διαφοροποίηση συνάρτησης και μερικές φορές ακόμη και στην ολοκλήρωση συνάρτησης. Αν βρούμε κάποια από τις εκφράσεις που εμπλέκονται στη συνάρτηση, πρέπει πρώτα να κάνουμε τη σωστή αντικατάσταση και μετά να προχωρήσουμε. Εάν δεν βρεθεί τέτοια έκφραση, μπορούμε επίσης να κάνουμε τη μαθηματική πράξη χωρίς αντικατάσταση.
Αντικατάσταση έκφρασης:
Τα παρακάτω είναι μερικά από τα πιο χρήσιμα υποκατάστατα για την απλοποίηση των μαθηματικών παραστάσεων και τη διευκόλυνση της διαδικασίας διαφοροποίησης και ολοκλήρωσης.
x =aSinθ ή x =aCosθ χρησιμοποιείται για τη συνάρτηση f(a2−x2)
x =a Secθ ή x =aCosecθ χρησιμοποιείται για τη συνάρτηση f(x2−a2)
x =aTanθ, ή x =aCotθ χρησιμοποιείται για τη συνάρτηση f(x2+a2). f(a2+x2)
x =a Cos2θ χρησιμοποιείται για τις συναρτήσεις f( a-xa+x ), f( a+xa-x )
x=atan θ χρησιμοποιείται για τις συναρτήσεις f( a-xa+x ), f( a+xa-x )
x=atan θ χρησιμοποιείται για τις συναρτήσεις f( 2×1+x2 ), f2x1-x2
a =rcosα, b =rsinα χρησιμοποιείται για τις συναρτήσεις f(x) =acosx + bcosx
x =a sin2 θ + b cos2 θ χρησιμοποιείται για τις συναρτήσεις f(x) =x -α ή ꞵ -x
x =a(1 – cos θ)χρησιμοποιείται για τη συνάρτηση f(2ax−x2)
Ενσωμάτωση με αντικατάσταση:
Η ενσωμάτωση με αντικατάσταση χρησιμοποιείται όταν η ολοκλήρωση μιας δεδομένης συνάρτησης δεν μπορεί να πραγματοποιηθεί απευθείας επειδή η αλγεβρική συνάρτηση δεν είναι στην τυπική μορφή. Επιπλέον, η παρεχόμενη συνάρτηση μπορεί να μειωθεί στην τυπική της μορφή αντικαθιστώντας κατάλληλα.
Θεωρήστε το αόριστο ολοκλήρωμα ∫f(x).dx, μιας συνάρτησης f(x), για αξιολόγηση. Αντικαθιστώντας το x με g(t) και αντικαθιστώντας αυτό το ολοκλήρωμα μπορεί να αλλάξει σε άλλη μορφή, ως εξής:
x=g(t).
I =∫f(x).dx
x =g(t) όπου dx/dt =g'(t)
dx =g'(t).dt
I =∫f(x).dx=∫f(g(t)).g′(t).dt
Εκτέλεση υποκατάστασης αόριστης ολοκλήρωσης:
Οι παρακάτω οδηγίες θα σας βοηθήσουν να ολοκληρώσετε αυτήν την προσέγγιση ενσωμάτωσης με αντικατάσταση.
Βήμα 1:Για να μειωθεί η δεδομένη συνάρτηση, επιλέξτε μια νέα μεταβλητή, t.
Βήμα 2:Όπου η f(x) είναι ενσωματωμένη ως προς το x, βρείτε την τιμή του dx για το δεδομένο ολοκλήρωμα.
Βήμα 3:Κάντε τις απαραίτητες αλλαγές στη συνάρτηση f(x), καθώς και στη νέα τιμή dx.
Βήμα 4:Ενσωματώστε τη συνάρτηση που λάβατε από την αντικατάσταση.
Βήμα 5:Για να λάβετε την τελική λύση, αντικαταστήστε την αρχική μεταβλητή x στην τελική απάντηση.
Δείτε πώς γίνεται,
Για να βρείτε το I=∫f(x)dx
Λήψη x=g(t), αφού διαφοροποιηθεί το dxdt=g'(t)dx=g'(t)dt
Αντικατάσταση τιμών I=∫f(x)dx=∫f(g(t))g'(t)dt
Ας σας βοηθήσουμε να το κατανοήσετε με άλλο τρόπο,
Ο κανόνας της αλυσίδας για τα παράγωγα αντιστοιχεί στην αντικατάσταση των ολοκληρωμάτων.
Λήψη του F(u) ως αντιπαράγωγο του f(u):
∫f(u)du=F(u)+c
Η λήψη u=u(x) είναι μια διαφοροποιήσιμη συνάρτηση και εφαρμόζεται ο κανόνας της αλυσίδας
ddx∫F(u(x))=F'(u(x))u'(x)=f(u(x))u'(x)
Ενσωμάτωση και των δύο πλευρών
∫f(u(x))u'(x)dx=F(u(x))+c
∫f(u(x))u'(x)dx=∫f(u)du, όπου u=u(x)
Αριθμητικά που σχετίζονται με την αντικατάσταση έκφρασης:
∫etan-1×1+x2dx
Λύση:Η έκφραση είναι:∫etan-1×1+x2dx
Πάρτε το tan-1x=t και διαφοροποιήστε το:ddxtan-1x=dtdx
11+x2=dtdx
dx=(1+x2)dt
Αντικαταστήστε την τιμή:
∫etan-1×1+x2dx=∫et(1+x2)1+x2dt=∫etdt=et+c=etan-1x+c
Ας βρούμε το ολοκλήρωμα του 2xsec2(x2+1)
Η έκφραση είναι:∫2xsec2(x2+1)dx
Λήψη x2+1=t και διαφοροποίηση:ddx(x2+1)=dtdx
2x=dtdxdx=dt2x
Αντικαταστήστε την τιμή:
∫2xsec2(x2+1)dx=∫2xsec2(x2+1)dt2x=∫sec2tdt=tant+c=tan(x2+1)+c
Συμπέρασμα :
Η αντικατάσταση είναι μια τεχνική για την απλούστευση ενός συστήματος εξισώσεων εκφράζοντας μια μεταβλητή σε όρους μιας άλλης και έτσι εξαλείφοντας μια μεταβλητή από την εξίσωση. Στη συνέχεια, υπολογίστε αυτήν την εξίσωση και αντικαταστήστε την μέχρι να βρείτε τη λύση. Η Αντικατάσταση Έκφρασης στοχεύει στην απλοποίηση των εξισώσεων επαναγράφοντας τες με όρους μιας μεμονωμένης μεταβλητής. Το κρίσιμο σημείο που πρέπει να θυμάστε εδώ είναι ότι αντικαθιστάτε συνεχώς ίσες τιμές.
