Στο μυαλό του Φράκταλ Βασιλιά

Ο συνονόματός μας, ο ναυτίλος, δεν είναι απλώς ένα πολιτιστικό και μυθικό αντικείμενο. έχει επίσης κάποια πλούσια (και όχι φανταστικά) μαθηματικά σε αυτό. Αυτό συμβαίνει επειδή είναι ένα από τα φράκταλ της φύσης. Πρόκειται για αντικείμενα των οποίων το σχήμα σε μια δεδομένη κλίμακα μήκους αντικατοπτρίζεται από το σχήμα των μικρότερων τμημάτων τους. Τα φράκταλ, με τη σειρά τους, εκτείνονται πολύ πέρα ​​από τα μαθηματικά, συνδέοντας τη φυσική με το χρηματιστήριο και τη σύγχρονη μουσική. Και ποιος καλύτερα να μας πει για αυτό από τον καθηγητή Benoit Mandelbrot, ο οποίος ανακάλυψε, ονόμασε και όρισε τη λέξη «fractal»; Σίγουρα ένας από τους πιο γνωστούς μαθηματικούς των τελευταίων 50 ετών, ο Mandelbrot μεγάλωσε μελετώντας ελλείψεις ενώ κρυβόταν από τους Ναζί στη γαλλική ύπαιθρο. Μετά από 35 χρόνια στην IBM Research στα βόρεια της Νέας Υόρκης, και μια καθηγήτρια στο Γέιλ που ξεκίνησε σε ηλικία 75 ετών, οι ομιλίες του για το φράκταλ έγιναν τόσο γνωστές όσο το σοκ με τα λευκά φριζαρισμένα μαλλιά του. Υπήρχε μόνο ένα πρόβλημα για εμάς:Ο Mandelbrot πέθανε το 2010. Απτόητοι, χρησιμοποιήσαμε 18 διαφορετικές πηγές, συμπεριλαμβανομένων τριών που ήταν αδημοσίευτες, για να συγκεντρώσουμε μια μεταθανάτια συνέντευξη. Οι λέξεις με πλάγιους χαρακτήρες είναι δικές μας. τα υπόλοιπα είναι του Mandelbrot. Χάσαμε την ευκαιρία να συζητήσουμε με τον άντρα. αλλά είμαστε βέβαιοι ότι αν το είχαμε, θα είχε πάει κάπως έτσι. (Μια πλήρης αναφορά της συνέντευξης μπορείτε να βρείτε εδώ.)

Είστε ένας μαθηματικός που ενδιαφέρεται για πολλές ακατάστατες ιδέες. Γιατί;

Οι κύκλοι, οι ελλείψεις και οι παραβολές ήταν η αγάπη μου όταν ήμουν νέος, αλλά είναι πολύ σπάνια στην άγρια ​​φύση. Ο Galileo είχε απόλυτο δίκιο που ισχυρίστηκε ότι στην επιστήμη αυτά τα σχήματα είναι απαραίτητα. Αλλά αποδείχτηκε ότι δεν ήταν επαρκείς, απλώς και μόνο επειδή το μεγαλύτερο μέρος του κόσμου έχει μεγάλη τραχύτητα και άπειρη πολυπλοκότητα. Πάρε μια σπασμένη πέτρα. Όλοι λένε ότι είναι περίπλοκο. Έφτιαξα τη λέξη fractal από το fractus, που είναι αυτό που αναφέρεται στα λατινικά μετά το σπάσιμο της πέτρας. Είναι τραχύ και ακανόνιστο και διαλυμένο. Τώρα, πώς περιγράφετε το σχήμα μιας σπασμένης πέτρας; Πώς θα περιγράφατε το σχήμα ενός σπασμένου μετάλλου; Παραδόξως, οι διαδικασίες που χρησιμοποιήθηκαν για τον καθορισμό της τραχύτητας ήταν πολύ μη ικανοποιητικές και πολύ ad hoc, δεν έπιασαν καθόλου την ουσία. Ενώ με τη γεωμετρία φράκταλ, το αποτέλεσμα είναι εξαιρετικής και παρθένας απλότητας. Είναι η κατάλληλη γλώσσα για να περιγράψει τη φύση αυτών των σχημάτων.

Τι είναι ακριβώς το φράκταλ;

Δεν υπάρχει ενιαίος μαθηματικός ορισμός του φράκταλ. Για να κατανοήσετε ένα φράκταλ είναι καλύτερο να σκεφτείτε ένα δέντρο. Σε ένα δέντρο, αν πάρεις ένα κλαδί, καλά, το κλαδί με τα υποκλάδια του μοιάζει πολύ με ολόκληρο το δέντρο, αλλά είναι φυσικά μικρότερο. Αν πάρετε ένα μικρότερο κλαδί, πάλι είναι σαν ολόκληρο το δέντρο ή σαν κάθε κλαδί. Επομένως, ένα δέντρο μπορεί να χωριστεί σε μέρη και κάθε μέρος είναι πολύ, πολύ κοντά στο να είναι πανομοιότυπο με ολόκληρο το δέντρο. Σε τελική ανάλυση, οι μέθοδοι φράκταλ μπορούν να χρησιμεύσουν για την ανάλυση οποιουδήποτε "συστήματος", είτε είναι φυσικό είτε τεχνητό, που αποσυντίθεται σε "μέρη" που αρθρώνονται με παρόμοιο τρόπο.

Έτσι η τραχύτητα και η ομοιότητα του εαυτού είναι στενά συνδεδεμένα. Αλλά είναι πραγματικά τόσο σημαντική η τραχύτητα;

Η τραχύτητα είναι πανταχού παρούσα στη φύση και τον πολιτισμό—βρίσκεται στην κατανομή των γαλαξιών και στα σχήματα των ακτών, των βουνών, των νεφών, των δέντρων και των διάφορων αγωγών στους πνεύμονες. επίσης σε γραφήματα τιμών μετοχών, πίνακες ζωγραφικής, μουσική και πολλές μαθηματικές κατασκευές (γνωστές και αυτές που απέκτησα).

Έτσι, συνδέσατε την επιστήμη με πολλές πραγματικές καταστάσεις.

Ήθελα βαθιά να προσδιορίσω κάποιο πεδίο όπου θα μπορούσα να μιμηθώ τον Κέπλερ — όχι τον Νεύτωνα, ούτε τον Κοπέρνικο, αλλά τον Κέπλερ. Δίνω εξαιρετικά μεγάλη αξία στην ακριβή στιγμή που μια ιδέα που είναι πολύ αφηρημένη και αφαιρεθεί από οποιεσδήποτε εφαρμογές - πείτε την παιχνίδι - μετατρέπεται σε εργαλείο και χρησιμοποιείται για να κατανοήσει μέρος της ακαταστασίας της φύσης. Έβλεπα πάντα μια στενή συγγένεια μεταξύ των αναγκών των «καθαρών» μαθηματικών και ενός συγκεκριμένου ήρωα της ελληνικής μυθολογίας, του Ανταίο. Ο γιος της Γης, έπρεπε να αγγίζει το έδαφος κάθε τόσο για να αποκαταστήσει την επαφή με τη μητέρα του. αλλιώς η δύναμή του εξασθενούσε. Για να τον στραγγαλίσει, ο Ηρακλής απλώς τον κράτησε από το έδαφος.

Αποκαλείτε τον εαυτό σας εφαρμοσμένο επιστήμονα;

Αποκαλώ τον εαυτό μου μαθηματικό επιστήμονα. Είναι το επίσημο όνομα της καρέκλας μου στο Yale και επιλέχθηκε με προσοχή. Είναι σκόπιμα διφορούμενο. Σε μια διαφορετική εποχή, θα αποκαλούσα τον εαυτό μου φυσικό φιλόσοφο. Μερικοί άνθρωποι με αποκαλούν πειραματικό φιλόσοφο, επειδή αυτός ο όρος δεν έχει άλλη αποδεκτή σημασία, και επειδή δεν υπάρχει αμφιβολία ότι είμαι φιλόσοφος στην καρδιά. Είμαι επίσης φυσικός, οικονομολόγος και καλλιτέχνης.

Δεν ακούγεσαι σαν τον τυπικό σου ακαδημαϊκό.

Θα μπορούσε κανείς να περιγράψει σχεδόν κάθε πανεπιστήμιο ως μια συλλογή μάλλον μικρών και πολύ στενών επιχειρήσεων:τα διάφορα τμήματα. Το έργο μου εμπνεύστηκε από μια ισχυρή πεποίθηση ότι ο διαχωρισμός της επιστήμης ήταν εξαιρετικά επιβλαβής.

Πώς;

Σε εκπληκτικό και απογοητευτικό βαθμό, η επιστήμη έχει υποβιβαστεί πρόθυμα σε ένα χαρακτηριστικό του επαγγελματικού αθλητισμού, όπου η αξία ενός αθλητή αξιολογείται αποκλειστικά σε ένα στενά καθορισμένο γεγονός. Για μένα, αυτό κάνει τους Ολυμπιακούς Αγώνες μια πολύ βαρετή μορφή επαγγελματικής ψυχαγωγίας.

Και απολαύσατε το αντίθετο.

Αυτό που με έχει ευχαριστήσει περισσότερο είναι το γεγονός ότι υπάρχουν τόσες πολλές διαφορετικές πτυχές που υπό κανονικές συνθήκες θα έπρεπε να ήταν αρκετά ξεχωριστές και χωρίς οργανικούς δεσμούς, αλλά που έχουν αναπτυχθεί εξ ολοκλήρου μαζί στον ίδιο ρυθμό και σε πολύ διαφορετικές κατευθύνσεις.

Πληρώσατε κάποιο τίμημα για αυτήν την προσέγγιση;

Κάποτε, όταν ήταν ακόμη σχετικά νέος, έλαβα από ένα κορυφαίο πανεπιστήμιο των ΗΠΑ, μια πολύ λαμπερή προσφορά που αποσύρθηκε την επόμενη μέρα, αφού ο κοσμήτορας ασχολήθηκε με την επαγγελματική μου δραστηριότητα σε πολλούς άλλους τομείς. Μη ξέροντας πώς να με χωρέσει σε μια υπάρχουσα περιστερότρυπα με κριτές, αυτό το πανεπιστήμιο δεν είδε τρόπο να με απασχολήσει. Όταν δούλευα στα οικονομικά, πέθαινα παρομοίως για να μου επιτραπεί να καταστήσω γνωστό στις ερευνητικές μου εργασίες ότι οι μέθοδοί μου ήταν μέρος μιας γενικής φιλοσοφίας, μιας συγκεκριμένης προσέγγισης της παρατυπίας και του χάους, και ότι είχαν επίσης σημασία στη φυσική. Πάντα, οι διαιτητές μου ζήτησαν να βγάλω αυτές τις δηλώσεις. Αργότερα, συνέχισα να μελετώ τις αναταράξεις και οι συντάκτες με ανάγκασαν να κόψω αυτό που περιφρονούσαν ως «αμφίβολη φιλοσοφία» και να δώσω περισσότερες φόρμουλες και περισσότερες λεπτομέρειες για τους χειρισμούς. Σε κάθε περίπτωση παρίστανα τον τεχνικό του χώρου.

Πώς αναπτύξατε το ενδιαφέρον σας για τα οικονομικά;

Το υπόβαθρο βρίσκεται σε κάποια εργασία που είχα κάνει νωρίτερα για ένα αρχαίο θέμα - τον νόμο της διανομής του προσωπικού εισοδήματος. Προσκλήθηκα να μιλήσω σε ένα σεμινάριο του Χάρβαρντ που διευθύνει ο Hendrik S. Houthakker. Μπαίνοντας στο γραφείο του "Hank", μου ήρθε μια έκπληξη που έκανε εκείνη τη μέρα μια από τις πιο αξέχαστη της ζωής μου. Ένα περίεργο διάγραμμα στον μαυροπίνακά του μου φάνηκε σχεδόν πανομοιότυπο με αυτό που ετοιμαζόμουν να σχεδιάσω στη διάλεξή μου! Πώς ήταν, σύντομα ρώτησα, ότι κάτι που μόλις είχα ανακαλύψει σχετικά με τα προσωπικά εισοδήματα ήταν ήδη εκτεθειμένο; «Δεν έχω ιδέα για τι πράγμα μιλάς. Αυτό το διάγραμμα αφορά τις τιμές του βαμβακιού.» Δούλευε με έναν μαθητή πριν φτάσω και ο μαυροπίνακας δεν είχε ακόμη σβήσει.

Γιατί τα διαγράμματα ήταν παρόμοια;

Όλα τα διαγράμματα τιμών μοιάζουν. Σίγουρα, άλλα ανεβαίνουν, άλλα κάτω. Αλλά καθημερινά, μηνιαία, ετήσια, δεν υπάρχει μεγάλη διαφορά στη συνολική τους εμφάνιση. Αφαιρέστε τις ημερομηνίες και τους δείκτες τιμών και δεν μπορείτε να ξεχωρίσετε ποια είναι ποια. Είναι όλοι το ίδιο τρελό. Αλλά αυτό ακριβώς μπορούμε να δούμε τώρα στα δεδομένα του βαμβακιού:ένα μοτίβο φράκταλ. Εδώ, η κλιμάκωση φράκταλ προς τα πάνω και προς τα κάτω δεν γίνεται σε ένα σχήμα, όπως τα άνθη ενός κουνουπιδιού. Αντίθετα, εφαρμόζεται σε διαφορετικό είδος μοτίβου, όπως ποικίλλουν οι τιμές. Η ίδια η καρδιά των οικονομικών είναι φράκταλ. Όλα λοιπόν κάνουν τον κύκλο τους. Δεν ήταν τυχαίο ότι το βαμβακερό γράφημα του Houthakker έμοιαζε με το εισόδημά μου. Τα μαθηματικά ήταν τα ίδια.

Σύνδεσες ανόμοιες ιδέες οπτικά.

Είναι η ιστορία της επιστημονικής μου ζωής:όταν ψάχνω, κοιτάζω, κοιτάζω, κοιτάζω και παίζω με εικόνες. Μια ματιά σε μια εικόνα είναι σαν να διαβάζεις σε ένα επιστημονικό όργανο. Ένα δεν είναι ποτέ αρκετό. Ένας γερμανικής καταγωγής φίλος μου, σπουδαίος βιολόγος και φιλόσοφος, έφτασε στο σημείο να θεωρεί ότι η πρόοδος στην επιστήμη συνίσταται στην εξάλειψη των εικόνων όσο το δυνατόν περισσότερο. Τα μαθηματικά ήταν τέλεια γιατί είχαν διώξει εντελώς τις εικόνες… ακόμα και από τα δημοτικά βιβλία. Έβαλα τις φωτογραφίες πίσω. Αυτό έγινε δεκτό με πολύ εχθρικό τρόπο από τους περισσότερους συναδέλφους μου. Από τότε, η αντίθεση με τις εικόνες έχει αποδυναμωθεί, απλώς και μόνο επειδή ήταν τόσο ασυνήθιστα καρποφόρες και επειδή οι άνθρωποι αλλάζουν συνεχώς.

Αν και αυτό το είδος εργαλείου δεν είναι χωρίς κινδύνους;

Οι εικόνες μπορούν να εξαπατήσουν αλλά και να καθοδηγήσουν. Ο εγκέφαλος αναδεικνύει αυτό που φαντάζεται ως μοτίβα. αγνοεί τις αντιφατικές πληροφορίες. Η ανθρώπινη φύση λαχταρά να δει τάξη και ιεραρχία στον κόσμο. Θα το εφεύρει εκεί που δεν μπορεί να το βρει.

Γιατί αυτό το είδος σκέψης δεν είναι πιο συνηθισμένο;

Οι εικόνες είναι υποτιμημένες στην επιστήμη. Δεν τους εμπιστεύονται. Αυτή είναι εν μέρει η κληρονομιά 200 ετών των Γάλλων μαθηματικών Lagrange και Laplace, οι οποίοι εργάστηκαν σχολαστικά για να αναγάγουν όλη τη λογική σκέψη σε ακριβείς τύπους και προσεκτικά επιλεγμένες λέξεις. ατημέλητα διαγράμματα ήταν ύποπτα. Το κίνητρό τους ήταν, πιστεύω, εν μέρει τεχνολογικό:Εκείνη την εποχή τα σχέδια ήταν ανακριβή και δαπανηρά, προϊόν ανθρώπινου χεριού. Αλλά στη διάρκεια της ζωής μας ο υπολογιστής τα άλλαξε όλα αυτά.

Ανάμεσα στο ευρύ κοινό, είστε περισσότερο γνωστός για μερικά από τα όμορφες εικόνες φράκταλ που προέρχονται από τη δουλειά σας.

Τα μαθηματικά είναι μια αδικαιολόγητα αποτελεσματική πηγή όμορφων σχημάτων. Μας δίνουν το προνόμιο να ανταγωνιζόμαστε καλλιτέχνες με τους δικούς τους όρους. Αυτό σημαίνει τη δημιουργία σχημάτων που μπορεί να μην είναι όμοια με αυτά των μεγαλύτερων ζωγράφων της δημιουργίας, είναι απλώς αρχάριοι, δεν είναι επαγγελματίες σε αυτόν τον τομέα. Μαθαίνουμε να σχεδιάζουμε. Ο Ρέμπραντ ή ο Πικάσο της τέχνης των υπολογιστών δεν έχει ακόμη εκδηλωθεί. Αλλά αυτό που βλέπουμε ήδη είναι πολύ ενθαρρυντικό, ότι ίσως η τέχνη με τον τύπο, μπορεί να είναι η αρχή μιας νέας μορφής τέχνης.

Κουίζ φράκταλ σώματος του Benoit

Το ανθρώπινο σώμα είναι γεμάτο φράκταλ. Αναφέραμε μερικά από αυτά. Μπορείτε να μαντέψετε ποιο σχήμα φράκταλ ταιριάζει με ποιο μέρος του σώματος;

Μπορεί η τέχνη να κάνει τα μαθηματικά σέξι;

Πολλοί από τους φίλους μου σχολίασαν ότι ένα από τα σπουδαία πράγματα σχετικά με τη γεωμετρία φράκταλ ήταν ότι βελτίωσε τις σχέσεις τους με τις γυναίκες τους. Για πολύ καιρό έλεγαν στις γυναίκες τους ότι αυτό που έκαναν ήταν τόσο εκπληκτικό όμορφο, που είχαν βρει ένα φανταστικό όμορφο θεώρημα, φανταστικά όμορφη απόδειξη ενός παλιού θεωρήματος ή έναν φανταστικά όμορφο τρόπο σκέψης για κάτι. Και οι γυναίκες τους έγνεψαν κάπως καταφατικά λέγοντας «Ναι αγάπη μου». Στη συνέχεια, οι ίδιοι σύζυγοι επέστρεψαν με φωτογραφίες, για τα πράγματά μου ή τα πράγματά τους, που χρησιμοποίησαν τον τρόπο σκέψης μου και είπαν στις γυναίκες τους «Βλέπετε, σας μίλησα για την ομορφιά…»

Τι κάνει την τέχνη φράκταλ τόσο ξεχωριστή;

Πάρτε ακόμη και την πιο μινιμαλιστική τέχνη του καλλιτέχνη και προσπαθήστε να την περιγράψετε με ένα γράμμα τόσο ακριβή ώστε ο παραλήπτης να μπορεί να την αναπαράγει ακριβώς. Για να γίνει αυτό θα χρειαστεί μια εξαιρετικά μεγάλη περιγραφή με λέξεις. Αλλά η εξίσωση που δημιουργεί έναν φράκταλ δράκο έχει μήκος μίας γραμμής και αν τον δώσεις σε κάποιον με τον κατάλληλο πνευματικό και υπολογιστικό εξοπλισμό, θα μπορεί να τον αναπαράγει ακριβώς. Αυτή λοιπόν η τέχνη είναι η πιο μίνιμαλ από όλες.

Είναι ασυνήθιστο για τα μαθηματικά και την τέχνη να αλληλεπιδρούν με αυτόν τον τρόπο;

Οι μαθηματικοί είναι διαφορετικοί από όλους τους άλλους επιστήμονες και μάλιστα από όλους τους άλλους ανθρώπους, γιατί τα μαθηματικά σε εκπαιδεύουν να μην ανέχεσαι καμία ασάφεια. είναι απαίτηση. Αλλά έχουμε να κάνουμε με μια νέα μορφή του αμφιλεγόμενου αλλά αρχαίου θέματος ότι όλες οι γραφικές αναπαραστάσεις των μαθηματικών εννοιών είναι μια μορφή τέχνης, μια που είναι καλύτερη όταν είναι απλούστερη, όταν, για να δανειστούμε τον όρο ενός ζωγράφου, μπορεί να ονομαστεί «ελάχιστη τέχνη .» Θυμίζει μερικά από αυτά M.C. Escher; Θα έπρεπε, γιατί ο Escher είχε την αξία να εμπνέεται από τα υπερβολικά πλακάκια στο Fricke &Klein 1897. Η φράκταλ «νέα γεωμετρική τέχνη» δείχνει εκπληκτική συγγένεια με τους πίνακες των Μεγάλων Μαγίστρων ή την αρχιτεκτονική των Beaux Arts. Μπορεί κάλλιστα η τέχνη του φράκταλ να γίνεται εύκολα αποδεκτή επειδή δεν είναι πραγματικά άγνωστη.

Αν η σύνδεση με την τέχνη είναι τόσο ισχυρή, οι ίδιοι οι καλλιτέχνες πρέπει να έχουν προσέξει το έργο σας.

Ένας αξιοσημείωτα μεγάλος αριθμός καλλιτεχνών δεν διέθετε λεξιλόγιο για να εκφράσουν την αντίληψή τους για τη φύση των φράκταλ, ωστόσο αυτή η κατανόηση προκύπτει σαφώς από τη δουλειά τους.

Μπορείτε να δώσετε μερικά παραδείγματα;

Υπάρχουν αρκετές σχολές αυστηρά φράκταλ μουσικής. Ο [Αμερικανός συνθέτης Charles] Wuorinen χρησιμοποιεί πολύ έντονα θέματα φράκταλ στο έργο του, αλλά δεν συνθέτει μουσική φράκταλ ως τέτοια. Ο [Ούγγρος συνθέτης] Gyorgy Ligeti είναι επίσης ένας εξαιρετικά καλός φίλος μου. Είπε ότι είχε την αίσθηση ότι υπήρχε μια συγκεκριμένη δομή στη μουσική που καμία γλώσσα δεν μπορούσε να εξηγήσει. Θα έπρεπε κάπως να το διδάξει στους μαθητές λίγο πολύ με το παράδειγμα. Και όταν είδε για πρώτη φορά το βιβλίο για τα φράκταλ, συνειδητοποίησε ότι αυτή η δομή ήταν απλώς δομή φράκταλ και έχει επηρεαστεί πολύ από αυτήν. Μου εκμυστηρεύτηκε ότι μέχρι να δει τις φωτογραφίες μου, δεν είχε καταλάβει μια σημαντική πτυχή της μουσικής:δεν είναι ελεύθερη να κάνεις ό,τι θέλει, γιατί πρέπει να είναι φράκταλ. Τα μουσικά σχολεία δεν δίδαξαν ποτέ πώς να ξεχωρίζεις τη μουσική από τον θόρυβο. Τόσο ο Wuorinen όσο και ο Ligeti ήρθαν σε μένα και είπαν ότι κατάλαβαν επιτέλους πώς ήταν η μουσική επειδή τους διδάχτηκαν στα νεαρά τους χρόνια ότι ορισμένα κομμάτια ήταν πολύ γυμνά σε λεπτομέρειες, άλλα θα είχαν πάρα πολλές λεπτομέρειες και κάπως, πριν η μουσική κάνει οτιδήποτε άλλο, έπρεπε να έχει κατάλληλα μοτίβα μικρής λεπτομέρειας, μεσαίου μεγέθους λεπτομέρειας και μεγάλης λεπτομέρειας. Αν ακούς μια σονάτα του Μότσαρτ, τη βλέπεις πολύ καλά. κόβεται σε κομμάτια και κάτι αλλάζει συνεχώς. Και αυτή η στοιχειώδης ιδέα είναι απαραίτητη για την αποδοχή της μουσικής.

Και εκτός μουσικής;

Ο Ρώσος ζωγράφος Wassily Kandinsky κινηματογραφήθηκε καθώς εργαζόταν σε ένα φύλλο χαρτιού περίπου τρία πόδια τετραγωνικά. Ξεκίνησε με μια κάθετη στο σύνολο και στη συνέχεια πρόσθεσε μικρότερες κάθετες. Όταν σταμάτησε η ταινία, δούλευε σε πολλές ακόμη μικρότερες κάθετες, επιβεβαιώνοντας ένα συναίσθημα που ένιωθα κοιτάζοντας τους πίνακες του Καντίνσκι:καταλάβαινε το φρακταλισμό —ίσως όχι ρητά, αλλά διαισθητικά. Ο Claude Lorrain, ένας Γάλλος ζωγράφος που εργάστηκε κυρίως στην Ιταλία, ζωγράφισε τοπία που ισχυρίζονται ότι είναι ρεαλιστικά, αλλά στην πραγματικότητα είναι εξαιρετικά απλοποιημένα και εύκολα ερμηνευμένα με φράκταλ όρους. Οι εξαιρετικές άγριες εικόνες του Τζόζεφ Τέρνερ με πλοία που καίγονται στη θάλασσα συνδυάζουν τέλεια ευκλείδεια και φράκταλ σχήματα. Ο Ευγένιος Ντελακρουά, στις «Συμβουλές σε έναν νεαρό ζωγράφο», που βρίσκεται στις δημοσιευμένες επιστολές του καλλιτέχνη, έδειξε ότι καταλάβαινε το φρακταλισμό διαισθητικά, αλλά εκείνη την εποχή κανείς δεν μπορούσε να δώσει συνέχεια. Αισθάνομαι πολύ προνομιούχος που έχω αναλάβει το ρόλο της συγκέντρωσης φαινομένων που είχαν χάσει οι επιστήμονες και οι ζωγράφοι ή οι φωτογράφοι έχουν εφαρμόσει αλλά ποτέ δεν επισημοποίησαν.

Γιατί τα φράκταλ, συγκεκριμένα, είχαν απήχηση στους καλλιτέχνες;

Τον 6ο αιώνα πριν από τον Χριστό, η ιδέα της ομορφιάς συνοψίστηκε πολύ:ότι πριν από οτιδήποτε άλλο, ομορφιά σημαίνει ισορροπία μεταξύ του μέρους και του συνόλου. Οι ειδικευμένοι καλλιτέχνες πρέπει να βρουν ρυθμίσεις, όπως μείγματα δίνων όλων των μεγεθών, που να φαίνονται ισορροπημένες. δεν σημαίνει αυτό ότι τα στοιχεία όλων των μεγεθών κατανέμονται με φυσικό —δηλαδή φράκταλ— τρόπο; Ποτέ δεν άκουσα κανέναν να λέει ότι η Όπερα του Παρισιού δεν είναι σε ανθρώπινη κλίμακα, παρά το γεγονός ότι είναι ένα τεράστιο κτίριο. Γιατί δεν προκαλεί αυτό το συναίσθημα; Επειδή ο αρχιτέκτονας Charles Garnier φρόντισε ώστε το σχέδιό του να ενσωματώνει χαρακτηριστικά κάθε κλίμακας.

Ποια είναι μερικά άλλα παραδείγματα μαθηματικών που έχουν απήχηση στην τέχνη;

Η πρώτη μετάφραση του Ευκλείδη ήταν στη φλωρεντινή γλώσσα. με άλλα λόγια στα ιταλικά. Ποιοι ήταν οι πρώτοι άνθρωποι στην Ιταλία που έλαβαν υπόψη τον Ευκλείδη; Όχι οι μαθηματικοί, αλλά οι αρχιτέκτονες και οι ζωγράφοι. Οι ζωγράφοι, όπως και ο Τζιότο γύρω στο 1300, αναζητούσαν τρόπους να αναπαραστήσουν την προοπτική. Απέτυχαν. Μέχρι που αργότερα έγινε γνωστός ο Ευκλείδης και η προοπτική εδραιώθηκε. Στα έργα του Pierre della Francesca γύρω στο 1500, η ​​προοπτική είναι τόσο δυνατή και τόσο συντριπτική, που για πρώτη φορά βλέπω ότι σε έναν πίνακα υπάρχει ένας διαχωρισμός χώρου και αντικειμένου. Πολλοί άνθρωποι πιστεύουν ότι αυτή η επίδραση της ζωγραφικής ήταν πολύ μεγάλη στην επιστήμη. ότι τότε η ίδια η επιστήμη θα μπορούσε επίσης να διαχωρίσει τα σημεία αναφοράς και τα γεγονότα που συμβαίνουν σε αυτά.

Υπάρχει λοιπόν αμφίδρομος δρόμος μεταξύ τέχνης και επιστήμης;

Νομίζω ότι είναι λάθος να διαχωρίζουμε την τέχνη από την επιστήμη και να χωρίζουμε κάθε δραστηριότητα σε κομμάτια που δεν επικοινωνούν. Είχα μια υπέροχη επίσκεψη με τον [φυσικό Richard] Feynman λίγο πριν από το θάνατό του, και μιλήσαμε μόνο για αυτό:πώς μπορεί κανείς να ισχυριστεί ότι καταλαβαίνει οτιδήποτε χωρίς να έχει μια φωτογραφία ή κάτι τέτοιο και να σου κρατάει το χέρι; Και ήταν πολύ εμφατικός στην ιδέα ότι οτιδήποτε δεν έχετε εκφράσει με αυτούς τους όρους είναι ελλιπές και ακατανόητο.

Τι γίνεται με τον εαυτό σου; Είδατε τη δουλειά σας ως τέχνη;

Ανακατεύω καθημερινά μαθηματικά και τέχνη. Αν η γερμανική γλώσσα δεν ήταν τόσο απρόθυμη να χρησιμοποιήσει το kunst [τέχνη] ελεύθερα, αυτός ο λάτρης της όπερας θα περιέγραφε την προσπάθεια της ζωής του ως Gesamtkunstwerk [ολόκληρη μορφή τέχνης].

Τότε ταυτιστήκατε έντονα με την ιδέα ενός φράκταλ.

Σήμερα θα μπορούσατε να πείτε ότι, μέχρι να οργανωθεί η γεωμετρία φράκταλ, η ζωή μου ακολούθησε μια φράκταλ τροχιά. Σκέφτομαι συνέχεια την άγρια ​​φιλοδοξία να επιβιώσω και να λάμψω που με ώθησε από την εφηβεία. Κάθε μερική επιτυχία ξυπνούσε κάποια παλιά προσδοκία ή κάποια παλιά πείνα. Κατά ειρωνικό τρόπο, αυτό το ίδιο μοτίβο είναι ένα με το οποίο έχω ασχοληθεί συχνά στην έρευνά μου. Ξανά και ξανά, έχω ευλογηθεί για ένα διάστημα με ένα ανταγωνιστικό πλεονέκτημα έναντι άλλων επιστημόνων, αλλά ο λόγος δεν είναι καθόλου ότι είμαι πιο δυνατός ως μαθηματικός, αλλά ότι η σκέψη μου είχε έναν τρόπο να προχωρά στον δικό της περίεργο δρόμο. [Τα εξωτερικά στοιχεία] της ιστορίας της ζωής μου φαίνονται συνεχώς σπασμένα. Είχα την αίσθηση ότι κυνηγούσα κάποια ιδέα, ένα πολύ, πολύ αμυδρό νήμα σε πολλά πεδία, ότι λόγω της εκπαίδευσής μου και της προθυμίας μου να με αποκαλούν ανόητο πηγαίνοντας σε τομείς στους οποίους δεν ήξερα τίποτα - κάτι που έκανα όλη την ώρα στη μέση ηλικία μου—πηγαίνοντας σε χωράφια όπου έπρεπε να ξαναγράψω το όνομά μου και να με αντιμετωπίζουν ως έναν εντελώς αντιπαθητικό ξένο που απλώς διατάραζε την ειρήνη του σύμπαντος.

Και σε ποιο συμπέρασμα σας οδήγησε αυτό το αμυδρό νήμα;

Τα μαθηματικά, η επιστήμη και η ομορφιά δεν είναι ξεχωριστές δραστηριότητες του νου. Είναι ακριβώς το ίδιο. Διαφορετικές γωνιές ενός μεγάλου και υπέροχου τομέα.

Οποιαδήποτε και όλα τα αποσπάσματα από το πρόσφατα δημοσιευμένο Το Fractalist του Benoit B. Mandelbrot αποσπάστηκαν κατόπιν άδειας του Pantheon, τμήματος της Random House, Inc. Πνευματικά δικαιώματα © 2012 από τον Benoit Mandelbrot. Ολα τα δικαιώματα διατηρούνται. Κανένα μέρος αυτού του αποσπάσματος δεν επιτρέπεται να αναπαραχθεί ή να ανατυπωθεί χωρίς γραπτή άδεια από τον εκδότη. Μπορείτε να αγοράσετε το βιβλίο εδώ.

Κάντε κλικ εδώ για μια λίστα αναφορών.