Επιτάχυνση λόγω της βαρύτητας στην επιφάνεια της γης

Ποια είναι η τιμή g της γης;

Η τιμή g της γης είναι το αποκορύφωμα διαφορετικών τύπων δυνάμεων στη γη, περιλαμβάνουν τη βαρυτική δύναμη έλξης της γης, τη δύναμη Coriolis και τη φυγόκεντρη δύναμη λόγω περιστροφής της γης.

Τώρα έστω M η μάζα της γης, R η ακτίνα της γης και m η μάζα ενός αντικειμένου στην επιφάνεια της γης

Τώρα σύμφωνα με τον νόμο της παγκόσμιας έλξης του Νεύτωνα, η βαρυτική δύναμη έλξης μεταξύ της γης και του αντικειμένου θα δοθεί από το F

⇒ F =(GMm)/R2

Η επιτάχυνση που έχει το αντικείμενο λόγω της βαρυτικής έλξης με τη γη θα δοθεί από g              

⇒  F=mg

Εξισώνοντας και τις δύο εξισώσεις παίρνουμε g =GM/R2 

Αυτή η τιμή της επιτάχυνσης λόγω της βαρύτητας στην επιφάνεια της γης δεν είναι ομοιόμορφη, μπορεί να ποικίλλει ανάλογα με το υψόμετρο από το επίπεδο της θάλασσας ή με βάση το γεωγραφικό πλάτος. Για να βρούμε λοιπόν μια πιο ακριβή τιμή g, πρέπει να λάβουμε υπόψη άλλες 2 δυνάμεις, τη φυγόκεντρο δύναμη και τη δύναμη Coriolis.

 Τώρα ας λάβουμε υπόψη αυτές τις δυνάμεις μία προς μία.

Η εξίσωση για τη δύναμη coriolis δίνεται από

F =2m*(Vr X ω )

Εδώ m είναι η μάζα της γης ω είναι η γωνιακή ταχύτητα της περιστροφής του πλανήτη και Vr είναι η ταχύτητα ενός κινούμενου σώματος στη γη.

Σε περαιτέρω διανυσματική ανάλυση, μπορούμε να δούμε ότι η τιμή της δύναμης Coriolis θα δοθεί από

F =2mω2r

Αυτή η δύναμη κατευθύνεται προς την κατεύθυνση που είναι κάθετη τόσο στο Vr όσο και στο ω. Δίνει σε ένα σώμα ελεύθερης πτώσης ένα οριζόντιο στοιχείο για επιτάχυνση προς τα κάτω.

 Ένας άλλος παράγοντας που επηρεάζει την τιμή g είναι η φυγόκεντρος δύναμη που οφείλεται στην περιστροφή της γης. Η εξίσωση για τη φυγόκεντρη δύναμη δίνεται από,

F =– m ωX(ωXR)

Εδώ ω είναι η γωνιακή ταχύτητα που οφείλεται στην περιστροφή της γης, m είναι η μάζα της γης και R είναι η ακτίνα της γης στην ακτινική διεύθυνση. Με την απλοποίηση της εξίσωσης για τη φυγόκεντρη δύναμη παίρνουμε  

F =mω2R που κατευθύνεται προς την αρνητική ακτινική κατεύθυνση που είναι αντίθετη από την κατεύθυνση της δύναμης της βαρυτικής έλξης. Ως αποτέλεσμα αυτού του φαινομένου, έχουμε ότι η αποτελεσματική βαρύτητα είναι μικρότερη από την τιμή g που οφείλεται καθαρά στη βαρύτητα. Έτσι η ενεργός βαρύτητα δίνεται από την εξίσωση

g’ =g – ω2Rcos2λ

Εδώ λ είναι η γωνία γεωγραφικού πλάτους. Έτσι, από αυτήν την εξίσωση, μπορούμε να δούμε ότι η τιμή g θα είναι μέγιστη κοντά στον ισημερινό και ελάχιστη κοντά στους πόλους.

Σημείωση :

Η τιμή g εξαρτάται σε μεγάλο βαθμό από το υψόμετρο της επιφάνειας. Αυτό οφείλεται σε μαζικές ανωμαλίες στην επιφάνεια, όπως οροσειρές και υδάτινα σώματα.

Αλλαγή της τιμής g πάνω και κάτω από την επιφάνεια.

Εσωτερικό:Όσο ταξιδεύουμε κάτω από την επιφάνεια της γης, η αποτελεσματική ποσότητα μάζας των πλανητών που μας ελκύει θα μειωθεί ως συνάρτηση της απόστασης από το κέντρο της γης.

Έστω λοιπόν d το βάθος κάτω από την επιφάνεια, r η απόσταση από το κέντρο και έστω τζιν η αποτελεσματική βαρύτητα μέσα στον πλανήτη.

Επομένως, η αποτελεσματική μάζα  θα δοθεί από την εξίσωση

m =ρ * (r/R)3

Τώρα συνδέοντας αυτήν την εξίσωση στον νόμο της παγκόσμιας βαρύτητας του Νεύτωνα, έχουμε την ακόλουθη σχέση. gin =g * (r/R)

Δεδομένου ότι το r βρίσκεται σε d βάθος από την επιφάνεια της γης γράφουμε αυτήν την εξίσωση ως,

gin =g * (R-d/R)

Από αυτήν την εξίσωση, μπορούμε να δούμε ότι η τιμή g μειώνεται με την αύξηση του βάθους.

Εξωτερικά :Σύμφωνα με το νόμο της παγκόσμιας έλξης του Νεύτωνα μπορούμε να πούμε ότι η βαρυτική δύναμη έλξης που βιώνεται από μια μάζα m σε απόσταση h από την επιφάνεια της γης δίνεται από το F =G * (Mm/ (h+R)2)       

Τώρα η μάζα m θα εμφανίσει ουρική αρθρίτιδα επιτάχυνσης , όταν το συνδέσουμε στην παραπάνω εξίσωση  λαμβάνουμε,

mgout =G * (Mm/(h+R)2)  ( m και στις δύο πλευρές της σχέσης ακυρώνεται ) 

Έτσι παίρνουμε την εξίσωση, ουρική αρθρίτιδα =  G * (M/(h+R)2)

Από αυτήν την εξίσωση, μπορούμε να δούμε ότι η τιμή g μειώνεται καθώς απομακρυνόμαστε από την επιφάνεια της γης και γίνεται σχεδόν μηδενική καθώς φτάνουμε σε άπειρη απόσταση από την επιφάνεια της γης.

Συμπέρασμα :

Είδαμε ότι η τιμή g στην επιφάνεια της γης εξαρτάται από τη μάζα και την ακτίνα της γης και τη γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του πλανήτη. Η τυπική βαρύτητα της γης είναι στο επίπεδο της θάλασσας που δίνεται από g =9,806 m/s2. Αυτή η τιμή είναι μέγιστη κοντά στον ισημερινό και ελάχιστη κοντά στους πόλους.

Η βαρύτητα στην επιφάνεια της γης είναι ελαφρώς ανομοιόμορφη λόγω ανωμαλιών μάζας στην επιφάνεια, όπως ένα βουνό.

Η τιμή g της γης είναι μέγιστη στην επιφάνεια της γης, μειώνεται γραμμικά κάτω από την επιφάνεια ως συνάρτηση του βάθους και μειώνεται αντίστροφα πάνω από την επιφάνεια ως συνάρτηση του ύψους από την επιφάνεια.