Ένα απλό πρόβλημα κβαντικής δυναμικής;

Πρόβλημα: Εξετάστε ένα δυναμικό αρμονικού ταλαντωτή σε δύο διαστάσεις με Hamiltonian που δίνεται από, $$ h =-\ frac {\ hbar^2} {2m} \ left (\ frac {\ partial^2} {\ metial x^2}+\ frac {\ partial^2} {\ partial y^2}^^^ )+\ frac {1} {2} m \ omega^2 (x^2+y^2). $$ Βρείτε τις ενεργειακές ιδιοτιμές και τις ιδιοσυγκρασίες αυτού του συστήματος.

Λύση: Η εξίσωση Schrödinger για αυτό το σύστημα είναι:$$-\ frac {\ hbar^2} {2m} \ left (\ frac {\ partial^2} {\ metial x^2} ) \ psi (x, y)+\ frac {1} {2} m \ omega^2 (x^2+y^2) \ psi (x, y) =e \ psi (x, y) $$

Μπορούμε να διαχωρίσουμε τις μεταβλητές και να υποθέσουμε ότι η λειτουργία κύματος μπορεί να γραφτεί ως προϊόν δύο λειτουργιών, $ \ psi (x, y) =x (x) y (y) $.

$$-\ frac {1} {2m} \ frac {x ''} {x} =\ frac {1} {2m} \ frac {y '} {y}

Το LHS αυτής της εξίσωσης εξαρτάται μόνο από το Χ, ενώ το RHS εξαρτάται μόνο από το y. Επομένως, και οι δύο πλευρές πρέπει να είναι ίσες με μια σταθερά, την οποία μπορούμε να υποδηλώνουμε από $ e_n $,

$$-\ frac {1} {2m} \ frac {x ''} {x} =e_n, \ frac {1} {2m} \ frac {y '} {y} =e-e_n.

Αυτά είναι δύο ανεξάρτητα μονοδιάστατα προβλήματα αρμονικών ταλαντωτή και οι λύσεις τους είναι γνωστές. Οι ενεργειακές ιδιοτιμές για την κίνηση στην κατεύθυνση Χ είναι:

$$ e_n =\ hbar \ omega \ left (n+\ frac {1} {2} \ right), n =0,1,2, ... $$

Ομοίως, οι ιδιοτιμές ενέργειας για την κίνηση στην κατεύθυνση Y δίνονται από τον ίδιο τύπο. Επομένως, οι συνολικές ιδιοτιμές ενέργειας για το δισδιάστατο σύστημα είναι:

$$ e_ {n_x, n_y} =\ hbar \ omega \ left (n_x+n_y+1 \ δεξιά), n_x, n_y =0,1,2, ... $$

Οι αντίστοιχες ιδιοκτησίες είναι προϊόντα των μονοδιάστατων αρμονικών λειτουργιών κύματος ταλαντωτή:

$$ \ psi_ {n_x, n_y} (x, y) =\ phi_ {n_x} (x) \ phi_ {n_y} (y), $$

όπου

$$ \ phi_n (x) =\ frac {1} {\ sqrt {2^n n!}} \ left (\ frac {m \ omega} {\ pi \ hbar} \ δεξιά)^{1/4} h_n \ left (\ sqrt {\ frac {m \ omega} {\ hbar}} x \ δεξιά) e^{-m \ omega x^2/2 \ hbar}, $$

και $ h_n $ είναι τα πολυώνυμα Hermite.