Καθορίστε την απλή αρμονική κίνηση. Αποδείξτε ότι η δόνηση της μάζας που συνδέεται με το ελατήριο είναι απλή κίνηση;
Απλή αρμονική κίνηση (SHM)
Η απλή αρμονική κίνηση είναι ένας τύπος περιοδικής κίνησης όπου η δύναμη αποκατάστασης είναι άμεσα ανάλογη προς την μετατόπιση από τη θέση ισορροπίας και δρα προς την αντίθετη κατεύθυνση. Αυτό σημαίνει ότι το αντικείμενο ταλαντεύεται εμπρός και πίσω γύρω από ένα κεντρικό σημείο και η επιτάχυνση κατευθύνεται πάντα προς αυτό το σημείο.
Βασικά χαρακτηριστικά του SHM:
* Περιοδική κίνηση: Η κίνηση επαναλαμβάνεται μετά από ένα σταθερό χρονικό διάστημα που ονομάζεται περίοδος (t).
* ημιτονοειδή κίνηση: Η μετατόπιση, η ταχύτητα και η επιτάχυνση του αντικειμένου μπορεί να περιγραφεί με ημιτονοειδείς λειτουργίες (ημιτονοειδές ή συνημίτονο).
* Δύναμη αποκατάστασης: Η δύναμη που είναι υπεύθυνη για την ταλάντωση είναι ανάλογη με την εκτόπιση από την ισορροπία.
* Constant frequency: Η συχνότητα (F), η οποία είναι ο αριθμός των ταλαντώσεων ανά δευτερόλεπτο, παραμένει σταθερός.
Μαθηματική περιγραφή:
Η εξίσωση κίνησης για SHM είναι:
f =-kx
όπου:
* F είναι η δύναμη αποκατάστασης
* k είναι η σταθερά ελατηρίου (ένα μέτρο της ακαμψίας του ελατηρίου)
* x είναι η μετατόπιση από την ισορροπία
Αυτή η εξίσωση μπορεί να ξαναγραφεί από την άποψη της επιτάχυνσης (α) χρησιμοποιώντας τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα (F =MA):
ma =-kx
a =-(k/m) x
Αυτό δείχνει ότι η επιτάχυνση είναι ανάλογη προς τον εκτοπισμό και δρα προς την αντίθετη κατεύθυνση.
αποδεικνύοντας SHM μάζας που συνδέεται με ένα ελατήριο:
Εξετάστε μια μάζα «M» που συνδέεται με ένα ελατήριο με σταθερά ελατηρίου «k». Όταν η μάζα μετατοπίζεται από τη θέση της ισορροπίας και απελευθερώνεται, θα ταλαντεύεται εμπρός και πίσω.
1. Restoring force: Όταν η μάζα μετατοπίζεται από ισορροπία, το ελατήριο ασκεί μια δύναμη αποκατάστασης που είναι ανάλογη προς την μετατόπιση και απέναντι από την κατεύθυνση. Αυτή η δύναμη ακολουθεί το νόμο του Hooke:F =-KX.
2. Επιτάχυνση: Η δύναμη αποκατάστασης προκαλεί την επιτάχυνση της μάζας. Δεδομένου ότι f =ma, μπορούμε να γράψουμε:a =-kx/m.
3. ημιτονοειδή κίνηση: Η εξίσωση της κίνησης για τη μάζα μπορεί να λυθεί και η λύση θα είναι μια ημιτονοειδή λειτουργία, υποδεικνύοντας ότι η μάζα υφίσταται SHM. Αυτό σημαίνει ότι η μετατόπιση, η ταχύτητα και η επιτάχυνση της μάζας είναι όλες οι ημιτονοειδείς λειτουργίες του χρόνου.
Ως εκ τούτου, η δόνηση μιας μάζας που συνδέεται με ένα ελατήριο είναι μια απλή αρμονική κίνηση επειδή εκπληρώνει όλες τις συνθήκες του SHM:μια δύναμη αποκατάστασης ανάλογη προς την μετατόπιση, μια ημιτονοειδή κίνηση και μια σταθερή συχνότητα.
Σημείωση: Αυτή η ανάλυση προϋποθέτει μια ιδανική άνοιξη χωρίς δυνάμεις απόσβεσης και αμελητέα μάζα. Στην πραγματικότητα, η τριβή και η αντίσταση στον αέρα θα προκαλέσουν την εξασθένιση των ταλαντώσεων με την πάροδο του χρόνου.
