Σε ποιο ύψος σε χιλιόμετρα πάνω από την επιφάνεια της Γης υπάρχει διαφορά 4 % μεταξύ της κατά προσέγγιση βαρυτικής δύναμης MG και της πραγματικής σε ένα αντικείμενο;

Εδώ είναι πώς να λύσετε αυτό το πρόβλημα:

1. Κατανοήστε τις έννοιες

* βαρυτική δύναμη (MG): Αυτή είναι η κατά προσέγγιση δύναμη λόγω βαρύτητας κοντά στην επιφάνεια της Γης. Υποθέτει μια σταθερή βαρυτική επιτάχυνση (G).

* Πραγματική βαρυτική δύναμη: Αυτό λαμβάνει υπόψη τον αντίστροφο τετράγωνο νόμο, όπου η βαρυτική δύναμη μειώνεται με την απόσταση από το κέντρο της γης.

2. Ρυθμίστε την εξίσωση

Θέλουμε να βρούμε το ύψος (h) όπου η διαφορά μεταξύ της κατά προσέγγισης και της πραγματικής βαρυτικής δύναμης είναι 4%. Αφήνω:

* * g * είναι η επιτάχυνση λόγω βαρύτητας στην επιφάνεια της Γης (~ 9,8 m/s²)

* * G * είναι η βαρυτική σταθερά (~ 6.674 x 10⁻ n m²/kg²)

* * M * είναι η μάζα της γης (~ 5.972 x 10 ισμα kg)

* * R * είναι η ακτίνα της γης (~ 6.371 x 10⁶ m)

* * m * είναι η μάζα του αντικειμένου

Η κατά προσέγγιση δύναμη είναι:*f_approx *=*mg *

Η πραγματική δύναμη είναι:*f_actual *=*gmm / (r + h) ² *

Θέλουμε:* (F_ACTUAL - F_APPROX) / F_APPROX * =0.04

3. Λύστε για το ύψος (h)

Αντικαταστήστε τις εκφράσεις για * f_actual * και * f_approx * στην εξίσωση:

[(GMM / (R + H) ²) - mg] / mg =0.04

Απλοποιώ:

[GM / (R + H) ² - G] / G =0,04

[GM / (R + H) ²] / g =1.04

GM / (R + H) ² =1,04g

(R + h) ² =gm / (1.04g)

R + h =√ (gm / (1.04g))

h =√ (gm / (1.04g)) - r

4. Υπολογίστε το ύψος

Συνδέστε τις τιμές για *g *, *m *, *g *, και *r *. Θυμηθείτε να μετατρέψετε την ακτίνα της γης σε χιλιόμετρα.

h =√ ((6.674 x 10⁻ ¹ n m²/kg²) * (5.972 x 10 art kg)/(1.04 * 9.8 m/s²)) - 6.371 x 10⁶ m

H ≈ 3,27 x 10⁶ m ≈ 3270 km

Ως εκ τούτου, υπάρχει περίπου 4% διαφορά μεταξύ της κατά προσέγγισης βαρυτικής δύναμης και της πραγματικής βαρυτικής δύναμης σε ύψος περίπου 3270 χιλιομέτρων πάνω από την επιφάνεια της γης.