Ποια είναι η ενέργεια του ομοιόμορφα φορτισμένου σφαιρικού κελύφους που έχει ακτίνα R και φορτίο Q σε αυτό;

Εδώ είναι πώς να αντλήσετε την ενέργεια ενός ομοιόμορφα φορτισμένου σφαιρικού κελύφους:

1. Δυναμικό λόγω του κελύφους

* μέσα στο κέλυφος (r Το ηλεκτρικό πεδίο μέσα σε ένα ομοιόμορφα φορτισμένο σφαιρικό κέλυφος είναι μηδέν. Ως εκ τούτου, το δυναμικό είναι σταθερό και ίσο με το δυναμικό στην επιφάνεια του κελύφους.

* έξω από το κέλυφος (r> r): Το ηλεκτρικό πεδίο έξω από το κέλυφος είναι το ίδιο με αυτό ενός σημείου φορτίου Q που βρίσκεται στο κέντρο του κελύφους. Χρησιμοποιώντας το νόμο του Coulomb, το δυναμικό σε απόσταση r από το κέντρο είναι:

V (r) =kq/r

όπου k είναι η σταθερά του Coulomb (1/4πε).

2. Υπολογισμός της ενέργειας

Η ενέργεια που αποθηκεύεται σε ένα φορτισμένο σύστημα μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας την ακόλουθη προσέγγιση:

* Energy =Εργασία που έγινε για να συναρμολογήσει τη χρέωση

Φανταστείτε να δημιουργήσετε τη φόρτιση στο κέλυφος σταδιακά. Σε οποιαδήποτε στιγμή, το δυναμικό που οφείλεται στο φορτίο ήδη στο κέλυφος είναι V (r) =kq/r. Για να φέρετε ένα άπειρο ποσό DQ, το έργο που έγινε είναι:

dw =v (r) dq =(kq/r) dq

Για να βρούμε τη συνολική ενέργεια, ενσωματώνουμε αυτή την έκφραση από μηδενικό φορτίο στο τελικό φορτίο Q:

U =∫dw =∫₀^q (kq/r) dq =(k/r) ∫₀^q q q dq dq

U =(k/r) * (q2/2)

Επομένως, η ενέργεια ενός ομοιόμορφα φορτισμένου σφαιρικού κελύφους είναι:

u =(kq2/2r) =(q2/8περ)

Βασικά σημεία

* Συμμετρία: Η σφαιρική συμμετρία είναι κρίσιμη. Το ηλεκτρικό πεδίο και το δυναμικό έχουν απλές εκφράσεις λόγω αυτής της συμμετρίας.

* Μέθοδος συναρμολόγησης: Ο υπολογισμός της ενέργειας βασίζεται στην ιδέα της σταδιακά συναρμολόγησης του φορτίου, η οποία μας επιτρέπει να χρησιμοποιούμε το δυναμικό σε κάθε βήμα για τον υπολογισμό του έργου.

* Πιθανή ενέργεια: Η ενέργεια που αποθηκεύεται στο φορτισμένο κέλυφος αντιπροσωπεύει την πιθανή ενέργεια του συστήματος λόγω των ηλεκτροστατικών δυνάμεων μεταξύ των φορτίων.