Εξίσωση Hagen-Poiseuille:Παραγωγή &εφαρμογή στη ροή σωλήνων

Η εξίσωση Hagen-Poiseuille περιγράφει το προφίλ παραβολικής ταχύτητας των τριβών, στρωτών ροών σωλήνων ασυμπίεστων, Νευτώνειων ρευστών.

Οδήγηση και αντίσταση για ροές

Η ροή των υγρών μέσω σωλήνων έχει μεγάλη σημασία σε πολλές περιπτώσεις στη φύση και την τεχνολογία. Στη χημική βιομηχανία, για παράδειγμα, συχνά πρέπει να ασχοληθεί κανείς με υγρά που μεταφέρονται μέσω σωλήνων. Ειδικά όταν πρόκειται για τη σωστή ανάμειξη των εταίρων αντίδρασης, ο παρεχόμενος ρυθμός ροής όγκου παίζει σημαντικό ρόλο. Είναι κεντρικής σημασίας να προσδιοριστεί ο ρυθμός ροής με βάση την πίεση που δημιουργείται από την αντλία και τη διάμετρο του σωλήνα.

Οι ροές προκαλούνται βασικά από διαφορές πίεσης που ωθούν το ρευστό από σημεία υψηλότερης πίεσης σε σημεία χαμηλότερης πίεσης. Μια μόνιμα φθίνουσα πίεση σχηματίζεται έτσι κατά μήκος του σωλήνα προς την κατεύθυνση της ροής. Όσο μεγαλύτερη είναι αυτή η πτώση πίεσης σε ένα ορισμένο μήκος του σωλήνα, τόσο πιο γρήγορα το ρευστό ρέει μέσω του σωλήνα και τόσο μεγαλύτερη είναι η ταχύτητα ροής. Η κίνηση για μια ροή είναι επομένως μια κλίση πίεσης dp/dx, δηλαδή η πτώση πίεσης ανά μονάδα μήκους.

Η κίνηση για ροές στους σωλήνες είναι κλίσεις πίεσης!

Εικόνα:Διαφορά πίεσης ως κίνηση για ροές

Αυτή η κίνηση εξουδετερώνεται από τις δυνάμεις τριβής του ρευστού, οι οποίες δρουν τόσο μεταξύ του ρευστού και του σωλήνα όσο και μέσα στο ίδιο το ρευστό. Προκαλούνται από το ιξώδες του υγρού.

Η αντίσταση στις ροές προκαλείται από το ιξώδες του ρευστού!

Οι στρωτές ροές σε σωλήνες μπορούν να περιγραφούν μαθηματικά με βάση και τις δύο δυνάμεις, δυνάμεις πίεσης ως κινητήρια δύναμη και δυνάμεις τριβής ως αντίσταση. Στη συνέχεια, τόσο το προφίλ ταχύτητας και τον ρυθμό ροής όγκου θα προκύψει μια τέτοια ροή σωλήνα τριβής.

Δύναμη πίεσης που ασκείται σε στοιχείο όγκου

Ένα κυλινδρικό ρευστό στοιχείο (δέμα υγρού ) με την ακτίνα r θεωρείται. Στις ακραίες επιφάνειες αυτού του στοιχείου όγκου δρουν δυνάμεις οι οποίες θεωρούνται σταθερές σε ολόκληρη τη διατομή του σωλήνα. Αυτές οι δυνάμεις προκύπτουν από τις πιέσεις στο ρευστό που δρουν στις επιφάνειες του στοιχείου όγκου. Στο σημείο x1 δρα η πίεση p και στο σημείο x2 μια πίεση μικρότερη κατά dp<0. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα τις δυνάμεις που δίνονται παρακάτω:

\αρχή{στοίχιση}
&F_{\text{p}_1} =p \cdot \pi r^2 \\[5px]
&F_{\text{p}_2} =\left(p+\text{d} p\right) \cdot \pi r^2 \\[5px]
\end{align}

Εικόνα:Αποτελεσματική δύναμη πίεσης

Η προκύπτουσα δύναμη Fp στο στοιχείο όγκου με την οποία οι διαφορετικές πιέσεις προσπαθούν να θέσουν το ρευστό σε κίνηση προκύπτει επομένως από τη διαφορά μεταξύ των δύο δυνάμεων:

\αρχή{στοίχιση}
\απαιτείται{ακύρωση}
&F_\text{p}=F_{\text{p}_1} – F_{\text{p}_2} \\[5px]
&F_\text{p} =p \cdot \pi r^2 – \left(p+\text{d} p\right) \cdot \pi r^2 \\[5px]
&F_\text{p} =\cancel{p \cdot \pi \cdot r^2 } – \cancel{p \cdot \pi \cdot r^2 }- \text{d} p \cdot \pi r^2 \\[5px]
\label{fp}
&\boxed{ F_\text{p} =-\pi r^2 \cdot \text{d} p} \\[5px]
\end{align}

Εικόνα:Αποτελεσματική δύναμη πίεσης

Επομένως, η κινητήρια δύναμη της ροής οφείλεται μόνο στην πτώση πίεσης (ονομάζεται επίσης απώλεια κεφαλιού ) και όχι στις απόλυτες πιέσεις! Σημειώστε ότι εάν η πίεση μειωθεί κατά μήκος της θετικής αξονικής κατεύθυνσης, η πτώση πίεσης dp είναι αρνητική και η προκύπτουσα δύναμη δρα κατά μήκος της θετικής αξονικής κατεύθυνσης.

Δύναμη τριβής που επενεργεί σε στοιχείο όγκου (ιξώδες)

Κατ' αρχήν, η ταχύτητα της ροής εντός του σωλήνα δεν είναι σταθερή στη διατομή. Υπάρχει τριβή μεταξύ του ρευστού και του σωλήνα, γι' αυτό και η ταχύτητα ροής κοντά στον τοίχο είναι χαμηλότερο από ό, τι στη μέση του σωλήνα. Στον τοίχο, το υγρό προσκολλάται ακόμη και στον τοίχο λόγω των συγκολλητικών δυνάμεων. Έτσι, δεν υπάρχει σχετική ταχύτητα μεταξύ υγρού και τοιχώματος. Αυτό ονομάζεται επίσης κατάσταση μη ολίσθησης . Αλλά τα μεμονωμένα στρώματα ρευστού έχουν επίσης τριβή μεταξύ τους λόγω του ιξώδους του ρευστού. Αυτό οδηγεί στο σχηματισμό ενός συγκεκριμένου προφίλ ταχύτητας, η πορεία του οποίου δεν έχει ακόμη καθοριστεί. Θα πρέπει να σημειωθεί, ωστόσο, ότι η ταχύτητα ροής είναι μέγιστη στο μέσο του σωλήνα και στη συνέχεια πέφτει στο μηδέν μέχρι τον τοίχο.

Σχήμα:Τριβή των στρωμάτων ρευστού λόγω του ιξώδους και του προκύπτοντος προφίλ ταχύτητας

Η αντίσταση ροής που πρέπει να ξεπεραστεί, η οποία είναι απαραίτητη για τη διάτμηση των επιμέρους στρωμάτων ρευστού μεταξύ τους, εξαρτάται από το ιξώδες του ρευστού. Η αντίσταση ροής εκφράζεται από την διατμητική τάση τ, δηλαδή ως η δύναμη ανά μονάδα επιφάνειας που απαιτείται για τη μετακίνηση ενός στρώματος ρευστού. Αυτή η διατμητική τάση εξαρτάται από το πόσο μετατοπίζονται τα στρώματα ρευστού μεταξύ τους. Αυτό με τη σειρά του εκφράζεται από την κλίση ταχύτητας κάθετη προς την κατεύθυνση ροής, δηλαδή από την κλίση του προφίλ ταχύτητας στην ακτινική διεύθυνση dv(r)/dr (ονομάζεται επίσης ρυθμός διάτμησης ). Η μαθηματική σχέση μεταξύ των δύο μεγεθών περιγράφεται από το ιξώδες η (νόμος του Νεύτωνα για την κίνηση του ρευστού ):

\αρχή{στοίχιση}
\label{vis}
&\boxed{\tau=\eta \cdot \frac{\text{d}v(r)}{\text{d}r}} \\[5px]
\label{sch}
&\boxed{\tau:=\frac{F}{A}} ~~~\text{διατμητική τάση} \\[5px]
\end{align}

Η κινητήρια δύναμη που προκύπτει στην προηγούμενη ενότητα λόγω των ενεργών δυνάμεων πίεσης αντιτίθεται από τη δύναμη τριβής μεταξύ του εξεταζόμενου στοιχείου όγκου και του περιβάλλοντος ρευστού. Με το τ ως τη δύναμη που σχετίζεται με την περιοχή, αυτή η δύναμη τριβής Ff μπορεί να προσδιοριστεί με το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας του κυλινδρικού στοιχείου όγκου 2π⋅r⋅dx. Η διατμητική τάση τ δίνεται πάλι από το ιξώδες και την κλίση της ταχύτητας σύμφωνα με την εξίσωση (\ref{vis}). Έτσι ακολουθεί για τη δύναμη τριβής:

\αρχή{στοίχιση}
&F_\text{f}=\tau \cdot \text{d}A =\tau \cdot 2 \pi r \cdot \text{d}x \\[5px]
\label{fr}
&\boxed{F_\text{f}=\eta \cdot \frac{\text{d}v(r)}{\text{d}r} \cdot 2 \pi r \cdot \text{d}x} \\[5px]
\end{align}

Σχήμα:Δύναμη τριβής που ενεργεί στο στοιχείο όγκου

Προφίλ ταχύτητας

Για μια σταθερή ροή, στην οποία οι ταχύτητες ροής δεν αλλάζουν πλέον με την πάροδο του χρόνου, ισχύει ισορροπία δυνάμεων στο εξεταζόμενο στοιχείο όγκου. Η δύναμη πίεσης (\ref{fp}) και η δύναμη τριβής αντίθετης (\ref{fr}) μπορούν επομένως να εξισωθούν:

\αρχή{στοίχιση}
\απαιτείται{ακύρωση}
&F_\text{f}=F_\text{p} \\[5px]
&\eta \cdot \frac{\text{d}v(r)}{\text{d}r} \cdot 2 \cancel{\pi r} \cdot \text{d}x =– \pi r^\cancel{2} \cdot \text{d} p \\[5px]
&\boxed{\frac{\text{d}v(r)}{\text{d}r}=– \frac{1}{2\eta} \frac{\text{d} p}{\text{d}x} \cdot r} \\[5px]
\end{align}

Σχήμα:Ισορροπία δυνάμεων μεταξύ δύναμης πίεσης και δύναμης τριβής στη σταθερή περίπτωση

Η αριστερή πλευρά της εξίσωσης υποδηλώνει την κλίση της ταχύτητας της ροής σε ακτινική διεύθυνση, δηλαδή την κλίση (παράγωγο) του προφίλ ταχύτητας. Στη δεξιά πλευρά είναι η κλίση πίεσης στην αξονική διεύθυνση και το ιξώδες του ρευστού. Και οι δύο ποσότητες δεν είναι συνάρτηση της ακτίνας. Επομένως, η παράγωγος του προφίλ ταχύτητας είναι μια γραμμική συνάρτηση. Το πραγματικό προφίλ ταχύτητας είναι επομένως παραβολικό!

Εικόνα:Παραβολικό προφίλ ταχύτητας της ροής Hagen-Poiseuille

Το ακριβές προφίλ ταχύτητας v(r) προκύπτει με την ολοκλήρωση της παραπάνω εξίσωσης:

\αρχή{στοίχιση}
&v(r)=\int -\frac{1}{2\eta} \frac{\text{d} p}{\text{d}x} \cdot r ~~\text{d}r \\[5px]
&v(r)=-\frac{1}{4\eta} \frac{\text{d} p}{\text{d}x} \cdot r^2 + C \\[5px]
\end{align}

Η σταθερά της ολοκλήρωσης Το C μπορεί να ληφθεί από την οριακή συνθήκη ότι η ταχύτητα ροής στο τοίχωμα του σωλήνα στο r=R είναι μηδέν (συνθήκη μη ολίσθησης):

\αρχή{στοίχιση}
&v(r=R)\overset{!}{=}0 \\[5px]
&-\frac{1}{4\eta} \frac{\text{d} p}{\text{d}x} \cdot R^2 + C =0 \\[5px]
&\underline{C =\frac{1}{4\eta} \frac{\text{d} p}{\text{d}x} \cdot R^2} \\[5px]
\end{align}

Εάν αυτή η σταθερά τεθεί στην παραπάνω εξίσωση, τελικά προκύπτει το ακόλουθο προφίλ ταχύτητας:

\αρχή{στοίχιση}
&v(r)=-\frac{1}{4\eta} \frac{\text{d} p}{\text{d}x} \cdot r^2 +\frac{1}{4\eta} \frac{\text{d} p}{\text{d}x} \cdot R^2 \\[5px]
&v(r)=-\frac{1}{4\eta} \frac{\text{d} p}{\text{d}x} \cdot \left(R^2-r^2\right) \\[5px]
\label{vr}
&\boxed{v(r)=-\frac{R^2}{4\eta} \frac{\text{d} p}{\text{d}x} \cdot \left[1-\left(\frac{r}{R}\right)^2\right]} \\[5px]
\end{align}

Μέγιστη ταχύτητα ροής

Η μέγιστη ταχύτητα ροής vmax βρίσκεται στη μέση του σωλήνα. Μπορεί να προσδιοριστεί λύνοντας την παραπάνω εξίσωση για r=0:

\αρχή{στοίχιση}
&v_{\text{max}}=v(r=0) \\[5px]
&v_{\text{max}}=-\frac{R^2}{4\eta} \frac{\text{d} p}{\text{d}x} \cdot \left[1-\left(\frac{0}{R}\right)^2\right] \\[5px]
\label{max}
&\boxed{v_{\text{max}}=-\frac{R^2}{4\eta} \frac{\text{d} p}{\text{d}x} } \\[5px]
\end{align}

Η μέγιστη ταχύτητα αντιστοιχεί επομένως ακριβώς στην έκφραση πριν από τις ορθογώνιες αγκύλες στην εξίσωση (\ref{vr}), έτσι ώστε το προφίλ ταχύτητας μπορεί επίσης να αναπαρασταθεί με τον ακόλουθο τύπο:

\αρχή{στοίχιση}
\label{vrr}
&\boxed{v(r)=v_\text{max} \cdot \left[1-\left(\frac{r}{R}\right)^2\right]} ~~~\text{and}~~~\boxed{v_\text{max}=-\frac{R^2}{4\eta} \d}}{\text \\[5 εικονοστοιχεία]
\end{align}

Αυτή η εξίσωση, η οποία δηλώνει ότι η ταχύτητα ροής αυξάνεται παραβολικά από το τοίχωμα προς το κέντρο του σωλήνα, είναι επίσης γνωστή ως εξίσωση Hagen-Poiseuille . Κατά την εξαγωγή αυτής της εξίσωσης, θεωρήθηκε ότι το ιξώδες είναι ανεξάρτητο από τον ρυθμό διάτμησης και επομένως δεν είναι συνάρτηση της ακτίνας. Κατά συνέπεια, αυτή η εξίσωση ισχύει μόνο για τα λεγόμενα Νευτώνεια ρευστά, όπου το ιξώδες είναι πάντα σταθερό. Επιπλέον, για την εγκυρότητα της εξίσωσης πρέπει να θεωρηθεί στρωτή ροή, διαφορετικά το ιξώδες χάνει την πραγματική του σημασία.

Ομοίως, ο νόμος Hagen-Poiseuille χάνει την ισχύ του εάν το ιξώδες του ρευστού είναι σχετικά χαμηλό σε σύγκριση με τη διάμετρο του σωλήνα. Αυτό μπορεί επίσης να γίνει κατανοητό καθαρά. Για το σκοπό αυτό φανταζόμαστε έναν σωλήνα με τεράστια ακτίνα π.χ. 6 μέτρα. Μέσα από αυτόν τον σωλήνα ρέει νερό με μέγιστη ταχύτητα ροής π.χ. 6 m/s. Σύμφωνα με την εξίσωση Hagen-Poiseuille, σε απόσταση 10 cm από τον τοίχο θα πρέπει να υπάρχει ταχύτητα ροής μόλις 20 cm/s. Η εμπειρία δείχνει ήδη ότι η ταχύτητα ροής σε αυτή τη σχετικά μεγάλη απόσταση από το τοίχωμα του σωλήνα θα πρέπει να είναι σημαντικά μεγαλύτερη (συγκρίνετε την ταχύτητα ροής σε ένα μεγάλο ποτάμι, η οποία είναι επίσης σχεδόν μέγιστη σε σχετικά μικρή απόσταση από την όχθη).

Αν, ωστόσο, κάποιος άφηνε πολύ πιο παχύρρευστο μέλι να ρέει μέσα από τον σωλήνα στις σκέψεις του, η σχετικά χαμηλή ταχύτητα ροής κοντά στον τοίχο ξαφνικά δεν θα ήταν πλέον τόσο ρεαλιστική. Τα υψηλά ιξώδη επηρεάζουν τη ροή σε ολόκληρη τη διατομή του σωλήνα, ας πούμε έτσι, ενώ τα πολύ χαμηλού ιξώδους ρευστά επηρεάζουν τη ροή μόνο σε σχετικά μικρή οριακή περιοχή και δεν καλύπτουν πλέον ολόκληρη τη διατομή (δείτε επίσης το άρθρο Οριακά στρώματα). Για να το θέσω απλά, ο νόμος Hagen-Poiseuille ισχύει μόνο εάν το ιξώδες μπορεί να επηρεάσει ολόκληρη τη διατομή ροής. Αυτό προϋποθέτει ότι το ιξώδες δεν είναι πολύ χαμηλό σε σχέση με τη διάμετρο.

Η εξίσωση Hagen-Poiseuille είναι το προφίλ παραβολικής ταχύτητας μιας τριβής, στρωτής ροής Νευτώνειων ρευστών σε σωλήνες των οποίων τα μήκη είναι μεγάλα σε σύγκριση με τις διαμέτρους τους! Επομένως, η ίδια η ροή ονομάζεται επίσης ροή Poiseuille.

Περιορισμός της εξίσωσης Hagen-Poiseuille για βραχείς σωλήνες

Όπως έχει ήδη εξηγηθεί, μια πτώση πίεσης μεταξύ της αρχής και του τέλους ενός σωλήνα είναι η κίνηση για μια ροή. Ωστόσο, η κλίση πίεσης που σχηματίζεται σε όλο το μήκος του σωλήνα έχει δύο καθήκοντα, ας πούμε έτσι. Η πτώση πίεσης δεν πρέπει μόνο να αντισταθμίζει τη δύναμη τριβής κατά τη ροή του ρευστού, αλλά πρέπει να επιταχύνει το ρευστό για να επιτύχει το χαρακτηριστικό προφίλ ροής αρχικά.

Επομένως, η συνολική πτώση πίεσης μπορεί να χωριστεί σε ένα μέρος που χρησιμοποιείται για την επιτάχυνση του ρευστού και ένα μέρος που χρησιμοποιείται για την αντιστάθμιση της τριβής. Όπως ήδη εξηγήθηκε στην αρχή, στις παραπάνω εξισώσεις, η διαβάθμιση πίεσης dp/dx αναφέρεται μόνο σε εκείνο το μέρος της συνολικής βαθμίδας πίεσης που είναι απαραίτητο για να ξεπεραστεί η τριβή.

Εικόνα:Πρόσθετη πτώση πίεσης λόγω της επιτάχυνσης της ροής στο προφίλ παραβολικής ταχύτητας (ροή εισόδου)

Για να προσδιοριστεί αυτή η κλίση πίεσης, δεν πρέπει να λαμβάνεται απλώς η διαφορά πίεσης μεταξύ της αρχής και του τέλους του σωλήνα και στη συνέχεια να τη διαιρεί με το μήκος του σωλήνα. Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο οι παραπάνω εξισώσεις αναφέρονταν πάντα σε ένα τμήμα σωλήνα όπου εθεωρείτο σιωπηρά ότι το προφίλ παραβολικής ροής είχε ήδη καθοριστεί πλήρως.

Η εξίσωση Hagen-Poiseuille δεν ισχύει στην είσοδο ενός σωλήνα (ροή εισόδου), εντός του οποίου η κλίση πίεσης πρέπει να επιταχύνει το ρευστό στο τυπικό παραβολικό προφίλ εκτός από την υπέρβαση της τριβής!

Υπό ορισμένες συνθήκες, μπορεί ωστόσο να δικαιολογείται η περιγραφή της ροής προσδιορίζοντας απλώς τη βαθμίδα πίεσης στις παραπάνω εξισώσεις από το πηλίκο της πτώσης πίεσης και το μήκος του σωλήνα. Δηλαδή, όποτε το έργο της επιτάχυνσης είναι αμελητέο σε σύγκριση με το έργο τριβής. Αυτό θα ισχύει πάντα εάν ο σωλήνας είναι σχετικά μακρύς σε σύγκριση με τη διάμετρό του ή εάν οι ταχύτητες ροής είναι σχετικά χαμηλές. Σε τέτοιες περιπτώσεις, το έργο τριβής συνήθως υπερβαίνει σαφώς το σχετικά χαμηλό έργο επιτάχυνσης λόγω του μεγάλου μήκους του σωλήνα.

Εικόνα:Ροή εισόδου και ροή Poiseuille

Ωστόσο, με σχετικά κοντούς σωλήνες, το μέρος της πτώσης πίεσης που απαιτείται για την επιτάχυνση του ρευστού δεν είναι πλέον αμελητέο. Σε μια τέτοια περίπτωση, το προφίλ παραβολικής ταχύτητας δεν μπορεί να αναπτυχθεί πλήρως μέσα στον βραχύ σωλήνα. Η εξίσωση Hagen-Poiseuille δεν ισχύει πλέον σε αυτή την περίπτωση (χωρίς παραβολικό προφίλ ταχύτητας)! Περισσότερες πληροφορίες για αυτό το θέμα μπορείτε να βρείτε στο άρθρο Ενεργειακή ανάλυση του νόμου Hagen-Poiseuille.

Η εξίσωση Hagen-Poiseuille ισχύει μόνο για μεγάλους σωλήνες των οποίων το μήκος είναι σχετικά μεγάλο σε σύγκριση με τη διάμετρό τους.

Ρυθμός ροής όγκου

Δεδομένου ότι το προφίλ ταχύτητας είναι πλέον γνωστό, ο ρυθμός ροής όγκου μπορεί τώρα να προσδιοριστεί από τη διατομή ενός σωλήνα. Για να υπολογίσουμε τον ρυθμό ροής, θεωρούμε έναν δακτύλιο με το απειροελάχιστο πάχος dr σε οποιαδήποτε απόσταση r από το κέντρο του σωλήνα . Το εμβαδόν του θεωρούμενου δακτυλίου dA μπορεί να προκύψει από το "μήκος" του δακτυλίου 2π⋅r (περιφέρεια) και το "ύψος" του δακτυλίου dr (πάχος):

\αρχή{στοίχιση}
\label{q}
&\text{d}A =2\pi r \cdot \text{d}r \\[5px]
\end{align}

Εικόνα:Παραγωγή του ρυθμού ροής όγκου μιας ροής Hagen-Poiseuille

Η ταχύτητα με την οποία το ρευστό ρέει μέσω αυτού του δακτυλίου στην απόσταση r δίνεται από την εξίσωση (\ref{vr}). Μέσα στο χρόνο dt, το ρευστό καλύπτει την απόσταση dx=v(r)⋅dt. Έτσι, το υγρό καταλαμβάνει όγκο dV που έχει ως αποτέλεσμα τον ακόλουθο ρυθμό ροής dV*:

\αρχή{στοίχιση}
&\text{d}V =\text{d}A \cdot \text{d}x =2\pi r \cdot \text{d}r \cdot v(r) \cdot \text{d}t \\[5px]
&\text{d}V =-2\pi r \cdot \frac{R^2}{4\eta} \frac{\text{d} p}{\text{d}x} \cdot \left[1-\left(\frac{r}{R}\right)^2\right] \cdot \text{d}r \cdot \left[1-\left(\frac{r}{R}\right)^2\right] \cdot \text{d}r \cdot \t
&\text{d}\dot V =\frac{\text{d}V}{\text{d}t} =– \frac{ 2\pi R^2}{4\eta} \frac{\text{d} p}{\text{d}x} \cdot \left[r-\frac{r^3}{R^2}\t\rx]\d}
\end{align}

Εικόνα:Παραγωγή του ρυθμού ροής όγκου μιας ροής Hagen-Poiseuille

Ο ρυθμός ροής όγκου V* μέσω ολόκληρου του σωλήνα προκύπτει τελικά με την ενσωμάτωση αυτής της εξίσωσης ως προς την ακτίνα r εντός των ορίων από r=0 έως r=R:

\αρχή{στοίχιση}
&\dot V =\int\limits_{(A)}^{} \text{d} \dot V =\int\limits_0^R – \frac{ 2\pi R^2}{4\eta} \frac{\text{d} p}{\text{d}x} \cdot \left[r-\frac{r-\rext] \\[5 εικονοστοιχεία]
&\dot V =– \frac{ 2\pi R^2}{4\eta} \frac{\text{d} p}{\text{d}x} \cdot \left\vert \frac{r^2}{2}-\frac{r^4}{4R^2}\right\vert_0^R \\[5px]
&\dot V =– \frac{ 2\pi R^2}{4\eta} \frac{\text{d} p}{\text{d}x} \cdot \left(\frac{R^2}{2}-\frac{R^4}{4R^2}\right) =– \frac{ 2\pi R^2}{4}{\t} \cdot \frac{R^2}{4} \\[5px] \\[5px]
\label{dv}
&\boxed{\dot V =– \frac{\pi R^4}{8\eta} \frac{\text{d} p}{\text{d}x} } \\[5px]
\end{align}

Αυτό που είναι ιδιαίτερα αξιοσημείωτο σε αυτό το αποτέλεσμα είναι ότι η ακτίνα του σωλήνα επηρεάζει τον ρυθμό ροής με την τέταρτη ισχύ. Ο διπλασιασμός της ακτίνας του σωλήνα σημαίνει επομένως 16πλάσια ροή όγκου! Σημειώστε ότι αυτή η σχέση ισχύει μόνο για ασυμπίεστα ρευστά των οποίων ο όγκος δεν αλλάζει με την πίεση. Όπως και προηγουμένως, πρέπει να υποτεθεί μια στρωτή ροή ενός Νευτώνειου ρευστού.

Η εξίσωση του ρυθμού ροής έχει μια περαιτέρω σημασία στην πράξη. Ο ρυθμός ροής εξαρτάται άμεσα από το ιξώδες του ρευστού. Το ιξώδες ενός ρευστού μπορεί επομένως να προσδιοριστεί εύκολα από τον ρυθμό ροής. Ένα τριχοειδές ιξωδόμετρο βασίζεται σε αυτήν την αρχή.

Σημείωση

Συχνά, σε αυτό το σημείο γίνεται αναφορά στο παράδειγμα της στένωσης των φλεβών και των λεπτών αιμοφόρων αγγείων, που σύμφωνα με τον τύπο του ρυθμού ροής θα είχε πράγματι τεράστιες επιπτώσεις στη ροή του αίματος και στην απαιτούμενη αρτηριακή πίεση. Σε αυτό το πλαίσιο, ωστόσο, το αίμα είναι μάλλον ακατάλληλο παράδειγμα, παρόλο που ο Poiseuille έλαβε στην πραγματικότητα τη ροή του αίματος ως αφορμή για να διερευνήσει αυτές τις ροές πιο προσεκτικά.

Το αίμα δεν είναι νευτώνειο ρευστό, αλλά ρευστό που αραιώνει τη διάτμηση (ψευδοπλαστικό). Και ειδικά στην περίπτωση πολύ λεπτών αιμοφόρων αγγείων ή σε περίπτωση στένωσης, το προφίλ ροής είναι ακριβώς το αντίθετο από τη ροή Poiseuille! Σε πολύ λεπτά αγγεία, τα αιμοσφαίρια κινούνται σαν μεγάλα βύσματα με σχεδόν σταθερή ταχύτητα ροής σε όλη τη διατομή. Αυτό ονομάζεται επίσης ροή βύσματος.

Επιπλέον, τυρβώδεις ροές μπορούν να συμβούν σε στενώσεις και υψηλές ταχύτητες ροής, οι οποίες στη συνέχεια θα οδηγούσαν επίσης σε ένα σχεδόν σταθερό προφίλ ταχύτητας (βλ. ενότητα για την στροβιλώδη ροή ).

Μέση ταχύτητα ροής

Με το προφίλ της παραβολικής ταχύτητας, μια ροή μέσα σε έναν σωλήνα δεν έχει κατ' αρχήν χαρακτηριστική ταχύτητα. Επομένως, μια μέση ταχύτητα ροής Το c ορίζεται συχνά για να χαρακτηρίζει τέτοιες ροές. Η μέση ταχύτητα ροής ορίζεται ως μια σταθερή ταχύτητα σε ολόκληρη τη διατομή που παρέχει τον ίδιο ρυθμό ροής με το προφίλ πραγματικής ταχύτητας. Με A=π⋅R2 ως εσωτερική διατομή σωλήνα, η μέση ταχύτητα ροής c μπορεί να προσδιοριστεί από τον όγκο ροής V*:

\αρχή{στοίχιση}
\label{dvv}
&\dot V =\frac{\Delta V}{\Delta t} =\frac{A \cdot \Delta x}{\Delta t} =\pi R^2 \cdot \frac{\Delta x}{\Delta t} =\pi R^2 \cdot c \\[5px]
\end{align}

Στην παραπάνω εξαγωγή χρησιμοποιήθηκε ότι το πηλίκο της διανυθείσας απόστασης Δx και του χρόνου Δt αντιστοιχεί απλώς στη μέση ταχύτητα ροής. Η εξίσωση των εξισώσεων (\ref{dvv}) και (\ref{dv}) παρέχει τελικά τη μέση ταχύτητα ροής c:

\αρχή{στοίχιση}
&\pi R^2 \cdot c =- \frac{\pi R^4}{8\eta} \frac{\text{d} p}{\text{d}x} \\[5px]
\label{c}
&\boxed{c =- \frac{R^2}{8\eta} \frac{\text{d} p}{\text{d}x}} ~~~\text{μέση ταχύτητα ροής}\\[5 px]
\end{align}

Η ακόλουθη σχέση ισχύει μεταξύ της μέγιστης ταχύτητας ροής vmax και της μέσης ταχύτητας ροής c:

\αρχή{στοίχιση}
&\frac{c}{v_\text{max}} =\frac{ – \frac{R^2}{8\eta} \frac{\text{d} p}{\text{d}x} }{ -\frac{R^2}{4\eta} \frac{\text{d} p}{\text{d}x} 1}{2}[x]
&\boxed{c =\frac{1}{2} \cdot v_\text{max}}
\end{align}

Η μέση ταχύτητα ροής είναι η μισή της μέγιστης ταχύτητας ροής στο μέσο του σωλήνα!

Εικόνα:Παραβολικό προφίλ ταχύτητας και μέση ταχύτητα ροής της ροής Poiseuille

Απώλεια πίεσης

Όπως έχει ήδη εξηγηθεί, η βαθμίδα πίεσης dp/dx στις ανώτερες εξισώσεις αντιπροσωπεύει την κίνηση για τη ροή του ρευστού. Σύμφωνα με την εξίσωση (\ref{dv}), αυτό επηρεάζει άμεσα τον ρυθμό ροής. Αντίθετα, αυτό σημαίνει ότι πρέπει να υπάρχει μια κλίση πίεσης για μια επιθυμητή ταχύτητα ροής. Αυτό απαιτεί μια αντλία η οποία τελικά δημιουργεί αυτήν την κλίση πίεσης (σε αυτό το σημείο το αρνητικό πρόσημο παραλείπεται, αφού ούτως ή άλλως μόνο τα ποσά είναι καθοριστικά):

\αρχή{στοίχιση}
&\frac{\text{d} p}{\text{d}x} =\frac{8\eta}{\pi R^4} \dot V \\[5px]
\end{align}

Από τον ορισμό της κλίσης πίεσης ως μεταβολή της πίεσης ανά μονάδα μήκους, η πτώση πίεσης Δpd που απαιτείται σε ένα τμήμα σωλήνα με μήκος ΔL μπορεί να υπολογιστεί με τον ακόλουθο τύπο:

\αρχή{στοίχιση}
\label{pv}
&\frac{\text{d}p}{\text{d}x} =\frac{\Delta p_d}{L} \\[5px]
&\Delta p_d =\frac{\text{d}p}{\text{d}x} \cdot \Delta L \\[5px]
&\underline{\Delta p_d =\frac{8\eta \cdot \Delta L}{\pi R^4} \dot V } \\[5px]
\end{align}

Για μια ροή χωρίς τριβές, από την άλλη πλευρά, δεν θα έπρεπε να εφαρμοστεί τέτοια πτώση πίεσης στη σταθερή κατάσταση για να διατηρηθεί η ροή του ρευστού. Μόλις τεθεί σε κίνηση, το υγρό θα έρεε μέσω του σωλήνα χωρίς απώλεια ταχύτητας. Η εφαρμογή της πίεσης οφείλεται λοιπόν στην απώλεια τριβής, η οποία ισοδυναμεί με πτώση πίεσης. Στη σταθερή περίπτωση, η πίεση που δημιουργείται από μια αντλία πρέπει να αντισταθμίζει πλήρως την απώλεια πίεσης για να διατηρείται η ροή του ρευστού. Ο παραπάνω τύπος είναι επομένως ισοδύναμος με την απώλεια πίεσης Δpl, η οποία εμφανίζεται στο μήκος του σωλήνα ΔL:

\αρχή{στοίχιση}
&\boxed{\Delta p_l =\frac{8\eta \cdot \Delta L}{\pi R^4} \dot V} ~~~\text{απώλεια πίεσης} \\[5px]
\end{align}

Μπορείτε να απεικονίσετε την κατάσταση κοιτάζοντας έναν σωλήνα μέσω του οποίου πρέπει να πιέσετε μια ράβδο αφρού. Για να το σπρώξετε, πρέπει να ξεπεραστεί η δύναμη τριβής μεταξύ του αφρού και του σωλήνα. Απαιτείται μια ορισμένη δύναμη για αυτό. Ωστόσο, η δύναμη που εφαρμόζεται από αυτή την πλευρά του σωλήνα δεν αντιστοιχεί στη δύναμη που αντιλαμβάνεται ένα δεύτερο άτομο στο άκρο του σωλήνα. Αυτό το άτομο μετρά έτσι μια πολύ μικρότερη δύναμη.

Έτσι, μια απώλεια δύναμης συμβαίνει προς το τέλος του αγωγού, η οποία είναι τόσο μεγαλύτερη όσο μεγαλύτερη είναι η τριβή και επομένως ο αγωγός. Αν κάποιος συσχετίσει τη δύναμη με την περιοχή διατομής του σωλήνα, αυτό τελικά αντιστοιχεί σε πίεση. Άρα υπάρχει απώλεια πίεσης κατά μήκος του σωλήνα. Στη σταθερή περίπτωση σε σταθερή ταχύτητα, υπάρχει ισορροπία δυνάμεων, έτσι ώστε η απώλεια πίεσης Δpl λόγω της δύναμης τριβής να αντιστοιχεί απλώς στη διαφορά πίεσης Δpd μεταξύ της αρχής και του τέλους του σωλήνα με τον οποίο ωθείται ο αφρός.

Ο ρυθμός ροής όγκου στην ανώτερη εξίσωση μπορεί επίσης να εκφραστεί από τη μέση ταχύτητα ροής σύμφωνα με την εξίσωση (\ref{c}). Η απώλεια πίεσης ως συνάρτηση της μέσης ταχύτητας ροής είναι επομένως:

\αρχή{στοίχιση}
&\Delta p_l =\frac{8\eta \cdot \Delta L}{\pi R^4} \cdot \overbrace{\pi R^2 \cdot c}^{\dot V} \\[5px]
&\boxed{\Delta p_l =\frac{8\eta \cdot \Delta L}{R^2} \cdot c} ~~~\text{απώλεια πίεσης} \\[5px]
\end{align}

Η απώλεια πίεσης κατά μήκος ενός σωλήνα είναι ανάλογη με τη μέση ταχύτητα ροής σε στρωτή ροή! Αυτή η σχέση δεν ισχύει πλέον για τυρβώδεις ροές.

Σημειώστε ότι η απώλεια πίεσης που περιγράφεται βασίζεται αποκλειστικά στο ιξώδες («απώλεια ιξώδους πίεσης»). Αυτή η απώλεια πίεσης πρέπει πάντα να εφαρμόζεται από μια αντλία για να διατηρείται η ροή του υγρού. Οι απώλειες πίεσης που συμβαίνουν, για παράδειγμα, λόγω γωνιών σωλήνων δεν λαμβάνονται υπόψη από τους παραπάνω τύπους. Ωστόσο, οι εξισώσεις δείχνουν ότι η ακτίνα του σωλήνα έχει προφανώς μεγάλη επίδραση στην απώλεια πίεσης. Οι μεγάλοι σωλήνες γενικά οδηγούν σε χαμηλότερη (ιξώδη) απώλεια πίεσης. Με τη χρήση μεγάλων σωλήνων, η μηχανική ισχύς της αντλίας P μπορεί επομένως να μειωθεί σημαντικά για τον ίδιο ογκομετρικό ρυθμό ροής V*:

\αρχή{στοίχιση}
&P =\Delta p_l \cdot \dot V =\frac{8\eta \cdot \Delta L}{\pi R^4} \dot V^2\\[5px]
&\boxed{P =\frac{8\eta \cdot \Delta L}{\pi R^4} \dot V^2}\\[5px]
\end{align}

Προφίλ ταχύτητας για τυρβώδεις ροές

Ένα προφίλ παραβολικής ταχύτητας σχηματίζεται μόνο σε σωλήνες εάν υπάρχει στρωτή ροή. Εάν η ροή μεταβάλλεται σε τυρβώδη ροή υπό κατά τα άλλα πανομοιότυπες συνθήκες, η μέγιστη ταχύτητα ροής στο κέντρο του σωλήνα είναι χαμηλότερη λόγω των αναταράξεων. Ταυτόχρονα, όμως, η αυξημένη ανάμειξη λόγω των τυρβωδών ροών οδηγεί σε ισχυρότερη μεταφορά της ορμής μεταξύ των σωματιδίων του ρευστού, έτσι ώστε η ταχύτητα ροής να αυξάνεται ισχυρότερα στην περιοχή κοντά στον τοίχο. Για τυρβώδεις ροές με αριθμούς Reynolds μεγαλύτερους από περίπου 2300, η ακόλουθη προσέγγιση χρησιμοποιείται επομένως συχνά για να περιγράψει το προφίλ ταχύτητας με τον λεγόμενο δείκτη ροής n:

\αρχή{στοίχιση}
&\boxed{v(r)=v_\text{max} \cdot \left(1-\frac{r}{R}\right)^\frac{1}{n}} ~~~\text{turbulent flow}\\[5px]
\end{align}

Η ακόλουθη συνάρτηση ισχύει για ένα σύστημα συντεταγμένων του οποίου η αρχή είναι το τοίχωμα του σωλήνα:

\αρχή{στοίχιση}
&\boxed{v(z)=v_\text{max} \cdot \left(\frac{y}{R}\right)^\frac{1}{n}} ~~~~0 \end{align}

Εικόνα:Προφίλ ταχύτητας για στρωτή και τυρβώδη ροή σε σωλήνα

Στην πράξη, το n=7 επιλέγεται συχνά για τον δείκτη ροής. Αυτό είναι επίσης γνωστό ως 1/7-power-law (νόμος ενός έβδομου ισχύος). Σε αυτήν την περίπτωση, ισχύει η ακόλουθη σχέση μεταξύ της μέσης και της μέγιστης ταχύτητας ροής:

\αρχή{στοίχιση}
&\boxed{c =0,817 \cdot v_\text{max}} ~~~\text{for } n=7\\[5px]
\end{align}

Ο δείκτης ροής εξαρτάται από τον αριθμό Reynolds και από τη σχετική τραχύτητα του τοιχώματος του σωλήνα, δηλαδή την αναλογία μεταξύ της τραχύτητας της επιφάνειας και της διαμέτρου του σωλήνα.

Σημείωση :Ο νόμος ισχύος 1/7 χρησιμοποιείται επίσης, για παράδειγμα, για να περιγράψει τυρβώδη οριακά στρώματα. Εξάλλου, ολόκληρη η ροή του σωλήνα είναι ένα ενιαίο μεγάλο οριακό στρώμα.