Εξίσωση Bernoulli:Κατανόηση της Ρευστοδυναμικής

Η εξίσωση Bernoulli περιγράφει τη σχέση μεταξύ στατικής, δυναμικής και υδροστατικής πίεσης για αξεσουάρ και ασυμπίεστα ρευστά.

Στατική, δυναμική και υδροστατική πίεση

Λόγω της πίεσης που ασκείται στα υγρά ηρεμίας, ασκείται δύναμη στις διεπαφές. Αυτή η δύναμη μπορεί να κάνει μηχανική εργασία, για παράδειγμα όταν η δύναμη επιδρά στο έμβολο σε έναν κύλινδρο. Στο άρθρο το φαινόμενο Venturi είχε ήδη εξηγηθεί λεπτομερώς ότι η πίεση μπορεί επομένως να ερμηνευθεί ως ειδική ενέργεια για τον όγκο . Η πίεση υποδεικνύει πόση δυναμική ενέργεια ανά μονάδα όγκου υπάρχει σε ένα ρευστό και μπορεί να μετατραπεί σε μηχανικό έργο:

\αρχή{στοίχιση}
\label{p}
&\boxed{p=\frac{\Delta W}{\Delta V}} \\[5px]
\end{align}

Σχήμα:Πίεση ως δυναμική ενέργεια για συγκεκριμένο όγκο

Ένα υγρό ηρεμίας μπορεί να εκτελέσει εργασία μόνο με βάση τη στατική πίεση, δηλαδή την πίεση που προκύπτει λόγω της τυχαίας μικροσκοπικής κίνησης των μορίων όταν συγκρούονται με μια διεπαφή (βλ. άρθρο Πίεση στα αέρια). Ωστόσο, εάν ένα ρευστό ρέει (διατεταγμένη μακροσκοπική μαζική κίνηση ), τότε το ρευστό μπορεί επίσης να εκτελέσει εργασία λόγω της κινητικής ενέργειας που σχετίζεται με την κίνηση. Εάν αυτή η κινητική ενέργεια σχετίζεται με τον όγκο του ρευστού, τότε η κινητική ενέργεια μπορεί επίσης να αποδοθεί σε μια πίεση σύμφωνα με την εξίσωση (\ref{p}). Σε αντίθεση με τη στατική πίεση , σε αυτή την περίπτωση μιλάμε για δυναμική πίεση . Για να το θέσω απλά:

Η στατική πίεση συνδέεται με την τυχαία μικροσκοπική κίνηση των μορίων, ενώ η δυναμική πίεση συνδέεται με τη διατεταγμένη μακροσκοπική μαζική κίνηση του ρέοντος ρευστού!

Ανάλογα με το επίπεδο αναφοράς, ένα ρευστό έχει επίσης βαρυτική ενέργεια θέσης η οποία μπορεί επίσης να μετατραπεί σε έργο. Αυτή η ενέργεια χρησιμοποιείται, για παράδειγμα, σε υδροηλεκτρικούς σταθμούς. Σύμφωνα με την εξίσωση (\ref{p}), η δυναμική ενέργεια που περιέχεται ανά μονάδα όγκου αντιστοιχεί σε μια ορισμένη πίεση. Αυτή η πίεση ονομάζεται υδροστατική πίεση !

Εάν δεν παρέχεται ενέργεια σε μια ροή από εξωτερική πηγή, το άθροισμα της στατικής ενέργειας («ενέργεια πίεσης»), της κινητικής ενέργειας και της βαρυτικής δυναμικής ενέργειας πρέπει να παραμείνει σταθερό για λόγους διατήρησης της ενέργειας. Για οριζόντιες ροές ή για ροές ρευστών με χαμηλή πυκνότητα (π. Σε αυτές τις περιπτώσεις, μια αύξηση της κινητικής ενέργειας σημαίνει επομένως αναπόφευκτα μείωση της στατικής ενέργειας.

Τέτοιες περιπτώσεις συμβαίνουν με οριζόντιους σωλήνες όταν η διατομή είναι μειωμένη. Λόγω της διατήρησης της μάζας, καμία μάζα δεν μπορεί να συσσωρευτεί στον σωλήνα ή μπορεί να εκμηδενιστεί. Ο ρυθμός ροής μάζας είναι επομένως ο ίδιος σε κάθε σημείο κατά μήκος του σωλήνα. Στην περίπτωση μικρότερων διατομών, η ταχύτητα ροής πρέπει επομένως να είναι μεγαλύτερη ώστε να μπορεί να ρέει η ίδια μάζα ανά μονάδα χρόνου.

Κινούμενα σχέδια:Αύξηση της ταχύτητας ροής με μείωση της διατομής

Επομένως, μια μείωση στην επιφάνεια της διατομής σημαίνει αναπόφευκτα αύξηση της ταχύτητας ροής. Η προκύπτουσα αύξηση της κινητικής ενέργειας μπορεί να προέλθει μόνο από στατική ενέργεια, εφόσον δεν παρέχεται ενέργεια (π.χ. από μια αντλία). Έτσι η στατική πίεση θα μειωθεί υπέρ της δυναμικής πίεσης. Στο άρθρο Venturi effect, αυτό το φαινόμενο της μείωσης της πίεσης με την αύξηση της ταχύτητας ροής έχει ήδη συζητηθεί λεπτομερώς.

Εικόνα:Αύξηση της ταχύτητας ροής και σχετική μείωση της πίεσης

Όπως αναφέρθηκε προηγουμένως, οι ενέργειες βαρυτικής θέσης πρέπει να λαμβάνονται υπόψη όταν το ρευστό ξεπερνά ένα ορισμένο ύψος. Η σχέση μεταξύ ύψους, ταχύτητας ροής και στατικής πίεσης θα προκύψει παρακάτω.

Για την εξαγωγή της σχέσης θεωρούμε μια ασυμπίεστη άξονη ροή σε έναν σωλήνα χωρίς καμία τριβή. Ο σωλήνας έχει ποικίλη διατομή και ξεπερνά ένα ορισμένο ύψος.

Σχήμα:Παραγωγή της εξίσωσης Bernoulli χρησιμοποιώντας μια ροή σε έναν σωλήνα

Ενέργεια πίεσης (ενέργεια "εισαγωγής" και "εξωθημένης ενέργειας")

Ας δούμε πρώτα το κάτω μέρος του τμήματος του σωλήνα στο σημείο 1, όπου δρα η στατική πίεση p1. Μέσα σε μια ορισμένη χρονική περίοδο Δt αυτή η πίεση αναγκάζει μια ορισμένη μάζα υγρού Δm μέσω της διατομής του σωλήνα Α1. Η απόσταση με την οποία το θεωρούμενο ρευστό στοιχείο ωθείται προς τα μέσα, συμβολίζεται με Δs1. Η ενέργεια πίεσης W1 με την οποία το στοιχείο ρευστού ωθείται μέσω του σωλήνα στο σημείο 1 λόγω της στατικής πίεσης (ενέργεια "ωθημένης") εξαρτάται από τον όγκο ρευστού ωθούμενου ΔV:

\αρχή{στοίχιση}
&W_1 =F_1 \cdot \Delta s_1=p_1 \underbrace{A_1 \cdot \Delta s_1}_{\Delta V} \\[5px]
&\underline{W_1 =p_1 \Delta V} ~~~~~\text{"pushed-in" Energy}\\[5px]
\end{align}

Εικόνα:Ενέργεια με την οποία ένας όγκος ρευστού ωθείται στο τμήμα του σωλήνα λόγω στατικής πίεσης

Τώρα κοιτάμε το πάνω μέρος του σωλήνα στο σημείο 2, όπου υπάρχει χαμηλότερη στατική πίεση p2 λόγω των σχέσεων που εξηγήθηκαν στην προηγούμενη ενότητα. Ωστόσο, εντός της εξεταζόμενης χρονικής περιόδου Δt, η ίδια ρευστή μάζα πρέπει να ωθηθεί μέσω της μειωμένης διατομής Α2 (διατήρηση μάζας). Εφόσον θεωρείται ασυμπίεστο ρευστό, ο ίδιος όγκος ρευστού ΔV ρέει μέσω του Α2 όπως και του Α1.

Με τη μειωμένη διατομή Α2 όμως αυτό σημαίνει μεγαλύτερη απόσταση Δs2 και άρα μεγαλύτερη ταχύτητα ροής! Λόγω της στατικής πίεσης p2 που ενεργεί εκεί, το ρευστό στοιχείο ωθείται μέσα από τον σωλήνα στο σημείο 2 με την ακόλουθη ενέργεια πίεσης W2 (ενέργεια "απώθησης"):

\αρχή{στοίχιση}
&W_2 =F_2 \cdot \Delta s_2=p_2 \underbrace{A_2 \cdot \Delta s_2}_{\Delta V} \\[5px]
&\underline{W_2 =p_2 \Delta V} ~~~~~\text{"pushed-out" Energy}\\[5px]
\end{align}

Εικόνα:Ενέργεια με την οποία ένας όγκος ρευστού ωθείται έξω από το τμήμα του σωλήνα λόγω στατικής πίεσης

Εργασία που απαιτείται για την επιτάχυνση και την ανύψωση του υγρού

Στην πράξη θα παρατηρήσει κανείς ότι η ενέργεια πίεσης W1 με την οποία το ρευστό στοιχείο ωθήθηκε στο τμήμα του σωλήνα στο σημείο 1 είναι μεγαλύτερη από την ενέργεια πίεσης W2 με την οποία ωθείται προς τα έξω στο σημείο 2. Ο λόγος για αυτό είναι ότι μέρος της ενέργειας «σπρωσσόμενης» έπρεπε να χρησιμοποιηθεί για την επιτάχυνση του ρευστού στοιχείου (παροχή κινητικής ενέργειας) και για την ανύψωση του ρευστού δυναμικής ενέργειας έναντι της βαρύτητας. Η ενέργεια «ώθησης», μείον το έργο που απαιτείται για την επιτάχυνση και την ανύψωση του ρευστού, δίνει την εναπομένουσα ενέργεια «ώθησης προς τα έξω». Με άλλα λόγια, η διαφορά στην ενέργεια πίεσης είναι το άθροισμα του έργου επιτάχυνσης ΔWa και του έργου ανύψωσης ΔWh:

\αρχή{στοίχιση}
\label{a}
&\boxed{W_1 – W_2 =\Delta W_\text{a} + \Delta W_\text{h}} \\[5px]
\end{align}

Εικόνα:Λαμβάνοντας υπόψη την επιτάχυνση και την ανύψωση του ρευστού

Το έργο που απαιτείται για την επιτάχυνση του ρευστού στοιχείου από v1 σε v2 καθορίζεται από τη διαφορά στις κινητικές ενέργειες στο σημείο 2 και στο σημείο 1 (σημείωση:Δm=ϱ⋅ΔV):

\αρχή{στοίχιση}
&\Delta W_\text{a} =W_\text{kin,2} -W_\text{kin,1} \\[5px]
&\underline{\Delta W_\text{a} =\frac{1}{2} \cdot \rho \Delta V \cdot v_2^2 ~- \frac{1}{2} \cdot \rho \Delta V \cdot v_1^2} \\[5px]
\end{align}

Το έργο που απαιτείται για την ανύψωση του ρευστού στοιχείου από το ύψος h1 στο ύψος h2 καθορίζεται από τη διαφορά στις ενέργειες βαρυτικού δυναμικού στο σημείο 2 και στο σημείο 1:

\αρχή{στοίχιση}
&\Delta W_\text{h} =W_\text{h,2} – W_\text{h,1}\\[5px]
&\υπογράμμιση{\Delta W_\text{h} =\rho \Delta V \cdot g \cdot h_2 – \rho \Delta V \cdot g \cdot h_1}\\[5px]
\end{align}

Εξίσωση Bernoulli

Εάν οι προηγούμενοι τύποι χρησιμοποιούνται στην εξίσωση (\ref{a}), τότε μπορεί να συναχθεί η ακόλουθη σχέση μεταξύ των ενεργειών πίεσης, των κινητικών ενεργειών και των ενεργειών βαρυτικού δυναμικού στα δύο υπό εξέταση σημεία:

\αρχή{στοίχιση}
\label{1}
&\underbrace{p_1 {\Delta V} – p_2 {\Delta V}}_{\text{pressure energies}} =\underbrace{\frac{1}{2} \rho {\Delta V} v_2^2 – \frac{1}{2} \rho {\Delta V}_{energies +1^2} \underbrace{\rho {\Delta V} g h_2 – \rho {\Delta V}g h_1}_{\text{βαρυτικές δυνάμεις ενέργειες}} \\[5px]
\end{align}

Όλοι οι όροι ενέργειας περιέχουν τον όγκο του ρευστού. Αυτή η εξίσωση μπορεί επομένως να διαιρεθεί με τον όγκο του ρευστού και επομένως είναι ανεξάρτητη από αυτόν:

\αρχή{στοίχιση}
\label{2}
&p_1 – p_2 =\frac{1}{2} \rho v_2^2 – \frac{1}{2} \rho v_1^2 + \rho g h_2 – \rho g h_1 \\[5px]
\end{align}

Η αναδιάταξη αυτής της εξίσωσης τελικά οδηγεί στην ακόλουθη σχέση μεταξύ δύο καταστάσεων 1 και 2 σε μια ροή:

\αρχή{στοίχιση}
&\boxed{p_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 +\rho g h_1=p_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho g h_2} ~~~\text{Equation Bernoulli} \\[5px]
&\κείμενο{ή}\\[5 εικονοστοιχεία]
&\boxed{p + \frac{1}{2} \rho ~v^2 +\rho g h=\text{constant}}=p_\text{tot} \\[5px]
\end{align}

Αυτή η εξίσωση είναι επίσης γνωστή ως εξίσωση Μπερνούλι . Οι όροι που βρίσκονται στην εξίσωση Bernoulli έχουν όλοι τη διάσταση μιας πίεσης. Ο όρος ½⋅ϱ⋅v², που σχετίζεται με την κινητική ενέργεια του ρευστού, ονομάζεται υδροδυναμική πίεση ή απλώς δυναμική πίεση . Ο όρος ϱ⋅g⋅h, που σχετίζεται με τη βαρυτική δυναμική ενέργεια, αναφέρεται ως υδροστατική πίεση. Σε αντίθεση με αυτούς τους όρους πίεσης, η πίεση p ονομάζεται στατική πίεση .

τύπος πίεσης όρος ενεργειακά συνδεδεμένο με ενέργεια στατικής πίεσης πίεσης (ανά μονάδα όγκου ρευστού) δυναμική πίεση½⋅ϱ⋅v²κινητική ενέργεια (ανά μονάδα όγκου υγρού) υδροστατική πίεση⋅g⋅h βαρυτική δυναμική ενέργεια (ανά μονάδα όγκου ρευστού)

Στο άρθρο Ασκήσεις με λύσεις που βασίζονται στην εξίσωση Μπερνούλι, παρουσιάζονται με περισσότερες λεπτομέρειες μερικά παραδείγματα εφαρμογής της εξίσωσης Μπερνούλι.

Η εξίσωση Bernoulli δηλώνει ότι το άθροισμα της στατικής πίεσης, της δυναμικής πίεσης και της υδροστατικής πίεσης είναι σταθερό για ένα αόρατο και ασυμπίεστο ρευστό (εφόσον δεν παρέχεται ενέργεια από μια εξωτερική πηγή, π.χ. από μια αντλία). Το σταθερό άθροισμα αυτών των πιέσεων ονομάζεται επίσης συνολική πίεση ptot. Για την εφαρμογή της εξίσωσης Bernoulli μπορεί κανείς πάντα να φανταστεί οποιοδήποτε ρευστό στοιχείο να κινείται κατά μήκος μιας γραμμής ροής. Στη συνέχεια, η εξίσωση Bernoulli συνδέει τις καταστάσεις δύο αυθαίρετων σημείων σε αυτήν τη γραμμή.

Η εξίσωση Bernoulli δηλώνει ότι κατά μήκος μιας γραμμής εξορθολογισμού το άθροισμα της στατικής πίεσης, της δυναμικής πίεσης και της υδροστατικής πίεσης είναι σταθερό. Σε αυτή τη μορφή, ισχύει μόνο για μια ροή χωρίς τριβές (μη ιξώδη) και ασυμπίεστη, χωρίς εξωτερική παροχή ενέργειας.

Σημειώστε ότι λόγω του ιξώδους οποιωνδήποτε ρευστών (εσωτερική τριβή), καμία ροή δεν είναι εντελώς απαλλαγμένη από τριβές. Στην πράξη, αυτό σημαίνει απαγωγή ενέργειας και σχετίζεται με πρόσθετη (στατική) απώλεια πίεσης. Περισσότερα για αυτό αργότερα.

Σημαντικές σημειώσεις

Είναι σημαντικό να καταλάβουμε ότι η εξίσωση Bernoulli είναι μια εξίσωση ενέργειας (ειδικού όγκου). Αυτό οφείλεται στο βήμα από την εξίσωση (\ref{1}) στην εξίσωση (\ref{2}), όπου οι διαφορετικές μορφές ενέργειας (ενέργεια πίεσης, κινητική ενέργεια και δυναμική ενέργεια βαρύτητας) σχετίζονταν με τον όγκο του ρευστού ΔV. Η ένδειξη ως πίεση γιατί οι επιμέρους όροι που εμφανίζονται στην εξίσωση Bernoulli έχει μόνο τυπικό χαρακτήρα, αφού καθένας από αυτούς έχει τη διάσταση μιας πίεσης. Ωστόσο, θα πρέπει πάντα να έχετε κατά νου, ότι αυτές οι πιέσεις βασίζονται σε ενέργειες.

Διαφορετικά, η κλασική ερμηνεία της πίεσης ως «δύναμη ανά μονάδα επιφάνειας» οδηγεί συχνά σε παρεξηγήσεις, ειδικά με τη δυναμική πίεση. Με αυτή την ερμηνεία, είναι πολύ δύσκολο να καταλάβουμε γιατί η στατική πίεση μειώνεται όταν αυξάνεται η ταχύτητα ροής. Συχνά θεωρείται λανθασμένα ότι μια υψηλή ταχύτητα ροής σημαίνει μεγάλη «δύναμη» και επομένως υψηλή πίεση.

Όταν ερμηνεύεται ως ενέργεια, ωστόσο, γίνεται αμέσως σαφές ότι η αύξηση της κινητικής ενέργειας μπορεί να λάβει χώρα μόνο σε βάρος της ενέργειας πίεσης. Κατά συνέπεια, η στατική πίεση θα μειωθεί με την αύξηση της ταχύτητας ροής! Αυτό το φαινόμενο ονομάζεται επίσης φαινόμενο Venturi και εξηγείται με περισσότερες λεπτομέρειες στο συνδεδεμένο άρθρο.

Στην πραγματικότητα, ο όρος υδροστατική πίεση πρέπει να κατανοηθεί διαφορετικά σε αυτό το πλαίσιο από ό,τι είναι ίσως γνωστό από την υδροστατική πίεση μιας στήλης νερού. Στην εξίσωση του Bernoulli, η υδροστατική πίεση δεν πρέπει να ερμηνεύεται ως «δύναμη ανά μονάδα επιφάνειας». Όσον αφορά την εξίσωση Bernoulli, οποιαδήποτε υδροστατική πίεση μπορεί να αντιστοιχιστεί σε ένα σημείο της ροής, ανάλογα με το επίπεδο αναφοράς που επιλέγεται για το ύψος. Ωστόσο, αυτό δεν αλλάζει φυσικά τις δυνάμεις που δρουν στο ρευστό μόνο και μόνο επειδή επιλέγεται διαφορετικό επίπεδο αναφοράς.

Σε αυτή την περίπτωση, η υδροστατική πίεση πρέπει να ερμηνευθεί και πάλι ως ενέργεια, δηλαδή ως βαρυτική δυναμική ενέργεια που υπάρχει ανά μονάδα όγκου. Αυτή η βαρυτική δυναμική ενέργεια εξαρτάται από το επιλεγμένο επίπεδο αναφοράς και επομένως και από την υδροστατική πίεση που ορίζεται από αυτό.

Εκτεταμένη εξίσωση Bernoulli λαμβάνοντας υπόψη τις απώλειες

Δεδομένου ότι η πίεση είναι μια μορφή (ειδικής για τον όγκο) ενέργειας, η απώλεια ενέργειας σημαίνει αναπόφευκτα απώλεια πίεσης. Μια τέτοια απώλεια πίεσης συμβαίνει απλώς επειδή κάθε ρευστό έχει ένα ορισμένο ιξώδες. Τα υγρά στρώματα στο τοίχωμα του σωλήνα προσκολλώνται σε αυτό λόγω της λεγόμενης κατάστασης μη ολίσθησης , και τα στρώματα πιο εσωτερικά πρέπει επομένως να μετατοπιστούν μεταξύ τους εάν πρόκειται να ρέει το ρευστό. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα εσωτερική τριβή του ρευστού, που σημαίνει τελικά απώλεια ενέργειας και συνεπώς απώλεια πίεσης (βλ. επίσης ροή Poiseuille).

Περαιτέρω απώλειες ενέργειας συμβαίνουν σε τυρβώδεις ροές λόγω των αναταράξεων. Η τραχύτητα του τοιχώματος του σωλήνα παίζει σημαντικό ρόλο εδώ. Απώλειες ροής και συνεπώς απώλειες πίεσης συμβαίνουν επίσης σε εξαρτήματα ενός συστήματος σωληνώσεων, όπως βαλβίδες, στροφές σωλήνων, μειωτήρες κ.λπ. (περισσότερα για αυτό στο άρθρο Απώλεια πίεσης σε συστήματα σωλήνων).

Η κινητήρια ενέργεια μιας ροής, που δίνεται από τη διαφορά της ωθούμενης ενέργειας W2 και της ενέργειας ωθούμενης W1 μεταξύ εισόδου και εξόδου ενός εξεταζόμενου τμήματος ροής, πρέπει επομένως όχι μόνο να επιταχύνει και να ανυψώνει τη ροή ενάντια στη βαρύτητα, αλλά και να αντισταθμίζει την τριβή. Επομένως, η εξίσωση (\ref{a}) πρέπει να επεκταθεί κατά έναν όρο απώλειας ενέργειας ΔWloss:

\αρχή{στοίχιση}
&\boxed{W_1 – W_2 =\Delta W_\text{b} + \Delta W_\text{h} + \Delta W_\text{loss}} \\[5px]
\end{align}

Η εξίσωση (\ref{1}) έχει λοιπόν τη γενική μορφή:

\αρχή{στοίχιση}
&\underbrace{p_1 {\Delta V} – p_2 {\Delta V}}_{\text{pressure energies}} =\underbrace{\frac{1}{2} \rho {\Delta V} v_2^2 – \frac{1}{2} \rho {\Delta V}_{energies +1^2} \underbrace{\rho {\Delta V} g h_2 – \rho {\Delta V}g h_1}_{\text{βαρυτικές δυνητικές ενέργειες}} + \underbrace{\Delta W_\text{loss}_{\text{απώλεια ενέργειας}}\\[5 px]
\end{align}

Η διαίρεση αυτής της εξίσωσης με τον όγκο ρευστού ΔV παρέχει την εκτεταμένη εξίσωση Bernoulli που λαμβάνει υπόψη τις απώλειες ενέργειας:

\αρχή{στοίχιση}
&\boxed{p_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 +\rho g h_1=p_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho g h_2 + \Delta p_\text{loss}}~~~\text{where}~~~\text{where}~~~\text \frac{\Delta W_\text{loss}}{\Delta V}} \\[5px]
\end{align}

Ο όρος Wloss/ΔV αντιστοιχεί στην απώλεια ενέργειας ανά μονάδα όγκου και επομένως αντιπροσωπεύει την απώλεια πίεσης Δploss. Μια τέτοια απώλεια πίεσης είναι βασικά αισθητή μόνο στη στατική πίεση, αφού οι δυναμικές και υδροστατικές πιέσεις προκαθορίζονται από τις ταχύτητες ροής και τα ύψη. Η στατική πίεση p2 προς τα κάτω μειώνεται από αυτήν την απώλεια πίεσης:

\αρχή{στοίχιση}
&p_2 =p_1 + \frac{1}{2} \rho \left(v_1^2-v_2^2\right) +\rho g (h_1-h_2) \color{red}{- \Delta p_\text{loss}} \\[5px]
\end{align}