Ουράνια Μηχανική, Σχετικές Ισορροπίες και Πολλά Δύσκολα Προβλήματα
Η ουράνια μηχανική είναι ένας κλάδος στη διασταύρωση των μαθηματικών και της φυσικής, όπου ο κύριος στόχος είναι να περιγράψει την κίνηση οποιουδήποτε αριθμού σωμάτων (σε τρισδιάστατο χώρο), που χαρακτηρίζεται από ορισμένα φυσικά χαρακτηριστικά όπως μάζα ή ηλεκτρικό φορτίο και με ορισμένα συγκεκριμένα γεωμετρικά μορφή, που αλληλεπιδρούν μεταξύ τους με νόμο που εξαρτάται από τους προηγούμενους παράγοντες. Όλα αυτά συνήθως ονομάζονται σύστημα σωματιδίων.
Για να ξεκινήσετε την εργασία με ένα σύστημα σωματιδίων, αφού καθοριστούν η γεωμετρία και οι ιδιότητες των εμπλεκόμενων σωμάτων, το επόμενο βήμα είναι μια ακριβής μαθηματική συνάρτηση που αντιπροσωπεύει το νόμο της αλληλεπίδρασης των σωμάτων, που ονομάζεται συνάρτηση δυναμικού. Σε αυτό το σημείο, προκύπτει ένα σύστημα εξισώσεων που περιλαμβάνει θέσεις, ταχύτητες και επιταχύνσεις. Με όλα τα παραπάνω, αυτός που ενδιαφέρεται να επιτεθεί σε ένα τέτοιο πρόβλημα μπορεί απλώς να αρχίσει να προσεύχεται…
Η πιο συνηθισμένη μελέτη καταστάσεων στην ουράνια μηχανική είναι γνωστή ως πρόβλημα Ν-σώματος, όπου είναι Ν σημειακές μάζες, δηλ. σώματα τέλεια σφαιρικά και με μάζα ως ενιαία φυσική ιδιότητα, που συμβολίζεται με m1 , …, mΝ κινούμενοι σε έναν ευκλείδειο χώρο δ-διάστατων, αν και θα μας ενδιαφέρουν περισσότερο οι περιπτώσεις d =2 και 3. Εάν οι θέσεις των μαζών γράφονται ως x1 , x2 , …, xN ,
και αφήνουμε rij =∥xi − xj ∥ δηλώνουν τις αποστάσεις μεταξύ μάζας i και j . Η αλληλεπίδραση μεταξύ των σωμάτων δίνεται από το Νευτώνειο δυναμικό:
Τότε οι εξισώσεις είναι:
Η εξίσωση (2) συνήθως ονομάζεται N -εξισώσεις σώματος, εξισώσεις του Νεύτωνα ή το N -πρόβλημα σώματος (Meyer et al., 2009). Η ιστορία του N -Το πρόβλημα του σώματος έχει σχεδόν τρεις αιώνες συνεισφορών από μερικά από τα πιο λαμπρά μυαλά, από τον Νεύτωνα μέχρι τον Πουανκαρέ. Αλλά αυτό δεν είναι το πιο συναρπαστικό χαρακτηριστικό αυτού του προβλήματος.
Εξάλλου, η εξίσωση (2) έχει λυθεί μόνο για N =1 και N =2 , αλλά το N -Το πρόβλημα του σώματος είναι ένα ανοιχτό πρόβλημα όταν εξετάζουμε τρία ή περισσότερα σώματα. Όποιος παρασυρθεί από την ουράνια μηχανική θα μπορούσε να αρχίσει να φαντάζεται διαμορφώσεις τριών αντικειμένων που κινούνται στο διάστημα:για παράδειγμα τρία αστέρια, ή ένα αστέρι, ένας πλανήτης και ένας δορυφόρος, ή ο πυρήνας ενός ατόμου ηλίου μαζί με τα δύο ηλεκτρόνια του. Όπως είπαμε προηγουμένως, οι χωρικές θέσεις αυτών των σημείων αντιπροσωπεύονται από τρία διανύσματα x1 , x2 , x3 , και οι μάζες των αντικειμένων συμβολίζονται m1 , m2 , m3 . Οι μάζες κινούνται έτσι ώστε οι θέσεις τους xi είναι συναρτήσεις του χρόνου t .
Υπό αυτές τις συνθήκες, η εξίσωση (2) ξαναγράφεται ως:
Οι δεξιές πλευρές πρέπει να πολλαπλασιαστούν με μια πολύ διάσημη φυσική σταθερά, την Παγκόσμια σταθερά βαρύτητας του Νεύτωνα, που συμβολίζεται G . Αλλά στα μαθηματικά, μέσω μιας επανακλιμάκωσης, επιτρέψαμε να ορίσουμε το G =1. Για N =1 και N =2 με μερικά απλά εργαλεία λογισμού απέδειξε ότι οι τροχιές των σωμάτων πρέπει να είναι κάποιου είδους κωνικό, αλλά στη συνέχεια, για N =3, ποιες είναι όλες οι πιθανές τροχιές;
Η προηγούμενη ερώτηση είναι τόσο δύσκολη, που ήταν δυνατή η απάντηση μόνο για ορισμένες συγκεκριμένες καταστάσεις:ίσες μάζες, συγκεκριμένες διαμορφώσεις των σωμάτων, και ούτω καθεξής. Μία από αυτές τις ειδικές διαμορφώσεις καθιερώθηκε από τους Euler και Lagrange και ονομάζεται «Πρόβλημα της σχετικής ισορροπίας», μια διαμόρφωση των σωμάτων όπου παραμένουν σε ισορροπία σε ένα περιστρεφόμενο σύστημα ή μια διαμόρφωση όπου τα διανύσματα θέσης και επιτάχυνσης είναι ανάλογα, με το ίδια σταθερά αναλογικότητας.
Αυτό το συγκεκριμένο πρόβλημα είναι παρόμοιο σε αδεξιότητα με το γενικό N -πρόβλημα σώματος, καθώς είναι ακόμα ανοιχτό για N ≥ 6. Αλλά οι πολλαπλές εφαρμογές τέτοιων διαμορφώσεων, ειδικά στο σχεδιασμό τροχιών για χωρικά ταξίδια, παρακίνησαν τον Steve Smale να συμπεριλάβει στη λίστα των προβλημάτων που πρέπει να επιλυθούν τον 21ο αιώνα (Smale, 2000). Σε αυτόν τον κατάλογο, όπως ανέφερε το έκτο πρόβλημα, πρέπει να αποδείξουμε το πεπερασμένο του αριθμού των σχετικών ισορροπιών στην ουράνια μηχανική.
Για να βρείτε σχετικές ισορροπίες ή, γενικότερα, κάποιο αποτέλεσμα για το N -το πρόβλημα σώματος, δεν έχει μόνο μαθηματικό ενδιαφέρον αλλά είναι και πολύ σημαντικό σε εφαρμογές. Έτσι, η περιγραφή του συστήματος των σωματιδίων πρέπει να είναι όσο το δυνατόν ακριβέστερη, αλλά η δυναμική συνάρτηση στην εξίσωση (1) λειτουργεί μόνο για σφαιρικά σώματα. Επιπλέον, γνωρίζουμε ότι οι εξισώσεις της κλασικής μηχανικής αποτυγχάνουν να περιγράψουν τη συμπεριφορά, για παράδειγμα, της προέλασης του Ερμή στο περιήλιο. Λοιπόν, τι μπορούμε να κάνουμε? Εμφανίζονται δύο ερωτήσεις:
1. Πώς να μοντελοποιήσετε (για παράδειγμα) έναν δορυφόρο που βρίσκεται σε τροχιά γύρω από τη Γη, γνωρίζοντας ότι η Γη και οι πλανήτες γενικά απέχουν πολύ από το να είναι τέλεια σφαιρικά αντικείμενα.
2. Η φυσική θεωρία που γενικεύει τη Νευτώνεια μηχανική είναι η γενική σχετικότητα. Τότε, γιατί να μην το χρησιμοποιήσετε για να επιτύχετε μια καλύτερη περιγραφή της δυναμικής του πλανητικού συστήματος και αντικειμένων όπως κβάζαρ, γαλαξίες και μαύρες τρύπες;
Η απάντηση στην πρώτη ερώτηση, πρέπει να βρούμε μια πιθανή συνάρτηση για κάθε συγκεκριμένο πρόβλημα. Αυτό γίνεται με την επίλυση της εξίσωσης Poisson, η οποία είναι ένα δύσκολο πρόβλημα στις μερικές διαφορικές εξισώσεις, από την οποία είναι γνωστό ότι η απλούστερη συνάρτηση δυναμικού είναι αυτή για την αλληλεπίδραση μεταξύ σφαιρικών σωμάτων (Arredondo et al., 2012).
Για τη δεύτερη ερώτηση, σε αντίθεση με τη Νευτώνεια μηχανική, στη γενική σχετικότητα, ακόμη και η απλούστερη περίπτωση ενός προβλήματος δύο σωμάτων δεν μπορεί να λυθεί.
Ένας τρόπος για να ξεπεραστούν τα εμπόδια που περιγράφηκαν παραπάνω είναι η αναζήτηση μιας συνεχούς, κλασικής περιγραφής του προβλήματος, αλλά με ένα αποτελεσματικό δυναμικό:μια δυνητική συνάρτηση που είναι συνεπής με τις πειραματικές παρατηρήσεις. Κάνοντας αυτό, παίρνουμε ένα N -πρόβλημα σώματος όπου η αλληλεπίδραση μεταξύ των σωμάτων περιγράφεται από ένα δυναμικό της μορφής:
όπου r είναι η απόσταση μεταξύ των σωμάτων και A, B, α και β είναι θετικές σταθερές. Αυτά τα είδη δυναμικών ονομάζονται σχεδόν ομοιογενή. Η έκφραση (4) γενικεύει αρκετά γνωστά σχεδόν ομοιογενή δυναμικά που μοντελοποιούν προβλήματα στη βιολογία, την αστροφυσική ή τη χημεία όπως οι Birkhoff, Manev, Van der Waals, Libhoff, Schwarzschild, Lennard-Jones, ο κλασικός Newton και ο Coulomb (βλ. Sthephani et al., 2003).
Χρησιμοποιώντας οποιοδήποτε από αυτά τα δυναμικά, η εξίσωση (2) γίνεται πιο δύσκολη από ό,τι με το δυναμικό του Νεύτωνα, καθώς ακόμη και το πρόβλημα Κέπλερ δεν έχει αναλυτική λύση. Όλα αυτά μας αναγκάζουν να ψάξουμε πολύ πιο βαθιά για εργαλεία για να λάβουμε απαντήσεις. Αν και αυτή η αναζήτηση είναι ένας πολύ ακανθώδης δρόμος, η ανταμοιβή είναι εκπληκτική.
Αυτά τα ευρήματα περιγράφονται στο άρθρο με τίτλο Relative equilibria in quasi-homogeneous planar three-body problem, που δημοσιεύτηκε πρόσφατα στο περιοδικό Advances in Space Research . Αυτή η εργασία διεξήχθη από τον John A. Arredondo από το Fundación Universitaria Konrad Lorenz.
