Ένα διαστημικό σκάφος περιστρέφεται σε έναν άγνωστο πλανήτη σε απόσταση 5,2 x 107 μ. Από το κέντρο του, η τροχιά της περιόδου είναι 52 ώρες;
Κατανόηση των εννοιών
* Περίοδος τροχιάς: Ο χρόνος που χρειάζεται για ένα αντικείμενο για να ολοκληρώσει μια πλήρη τροχιά γύρω από ένα άλλο αντικείμενο.
* βαρυτική δύναμη: Η δύναμη έλξης μεταξύ δύο αντικειμένων με μάζα.
* Κεντριές δύναμη: Η δύναμη που κρατά ένα αντικείμενο που κινείται σε κυκλική διαδρομή.
Εφαρμογή των εννοιών
1. Η δύναμη της βαρύτητας μεταξύ του διαστημικού σκάφους και του πλανήτη δίνεται από:
`` `
F =g * (m1 * m2) / r^2
`` `
όπου:
* F είναι η βαρυτική δύναμη
* G είναι η βαρυτική σταθερά (6.674 × 10^-11 m^3 kg^-1 s^-2)
* Το M1 είναι η μάζα του διαστημικού σκάφους
* Το M2 είναι η μάζα του πλανήτη
* r είναι η απόσταση μεταξύ των κέντρων τους
2. Το διαστημικό σκάφος βρίσκεται σε τροχιά, που σημαίνει ότι κινείται σε έναν κύκλο. Η δύναμη που τη διατηρεί σε αυτό το μονοπάτι είναι η κεντρομόλος δύναμη:
`` `
F =(m1 * v^2) / r
`` `
όπου:
* V είναι η τροχιακή ταχύτητα του διαστημικού σκάφους
3. Εξισορρόπηση δυνάμεων: Δεδομένου ότι η βαρυτική δύναμη είναι αυτό που παρέχει την κεντρομόλη δύναμη για να διατηρήσει το διαστημικό σκάφος σε τροχιά, μπορούμε να εξισώσουμε τις δύο εξισώσεις από πάνω:
`` `
G * (m1 * m2) / r^2 =(m1 * v^2) / r
`` `
4. τροχιακή ταχύτητα και περίοδος: Μπορούμε να συσχετίσουμε την τροχιακή ταχύτητα (V) στην τροχιακή περίοδο (t) χρησιμοποιώντας:
`` `
v =2 * pi * r / t
`` `
5. Επίλυση για τη μάζα του πλανήτη:
* Αντικαταστήστε την έκφραση της τροχιακής ταχύτητας (V) στην εξίσωση από το βήμα 3.
* Αναδιατάξτε την εξίσωση για επίλυση της μάζας του πλανήτη (M2).
Υπολογισμοί
1. Περίοδος μετατροπής σε δευτερόλεπτα: 52 ώρες * 3600 δευτερόλεπτα/ώρα =187200 δευτερόλεπτα
2. Αντικαταστήστε και επίλυση:
* G * (m1 * m2) / r^2 =(m1 * (2 * pi * r / t)^2) / r
* Απλοποίηση και λύση για M2:
`` `
m2 =(4 * pi^2 * r^3) / (g * t^2)
`` `
3. Συνδέστε τις τιμές:
* m2 =(4 * pi^2 * (5.2 * 10^7 m)^3) / (6.674 × 10^-11 m^3 kg^-1 s^-2 * (187200 s)^2)
* M2 ≈ 1,83 × 10^25 kg
αποτέλεσμα
Η μάζα του άγνωστου πλανήτη είναι περίπου 1,83 × 10^25 kg.
